Saya juga memiliki masalah ini (Mac 2012 menjalankan El Capitan 10.11.5). Saya tidak memiliki masalah ini pada 2007 Mac Mini saya menjalankan 10.6.8 dengan konfigurasi yang sama (kecuali menggunakan DVI bukan HDMI). Ketika saya menutup berbagi layar Mac atau TouchPad di iOS, atau beralih aplikasi iOS atau mengunci telepon, Mac Mini mematikan video eksternal.
Solusi yang saya temukan adalah: Hit pause / play di Apple Remote (remote inframerah fisik - bukan aplikasi) setelah memulai video, sebelum menutup berbagi layar. Maka Anda harus dapat menutup berbagi layar dan layar akan tetap menyala. Saya juga melakukan ini dengan mouse Bluetooth Apple dan berfungsi juga.
Anda juga dapat melakukannya dengan membangunkan Mac Mini dengan remote sebelum memulai berbagi layar, jika Anda ingat. Mengganggu meskipun karena akan sering terbuka dan mulai bermain iTunes.
Mac sepertinya membutuhkan beberapa input dari perangkat fisik (mouse atau remote) setelah bangun untuk mencegahnya membuat layar kembali tidur.
Akan mencoba kotak centang Manajemen Jarak Jauh juga untuk melihat apakah itu membantu.