Mengapa orbit berbentuk bulat panjang bukan bundar?

16

Mengapa planet berputar di sekitar bintang di orbit elips tertentu dengan bintang di salah satu fokusnya? Mengapa orbitnya bukan lingkaran?

star orbit planet

— Devgeet Patel
sumber

2

Jawaban Eduardo meringkas sebagian besar dari itu. Meskipun Anda dapat melihat jawaban saya untuk pertanyaan serupa tentang Fisika SE. physics.stackexchange.com/questions/56657/…

— Cheeku

2

Orbit edaran adalah kasus khusus dari orbit elips.

— asawyer

13

Anggaplah planet ini memiliki massa yang dapat diabaikan dibandingkan dengan bintang, bahwa keduanya simetris berbentuk bulat (begitulah hukum gravitasi Newton berlaku, tetapi ini tetap terjadi pada perkiraan yang sangat baik), dan bahwa tidak ada gaya selain gravitasi di antara keduanya. . Jika kondisi pertama tidak berlaku, maka akselerasi masing-masing akan menuju barycenter sistem, seolah-olah barycenter menarik mereka gaya gravitasi dengan massa berkurang tertentu, sehingga masalahnya setara secara matematis.

Ambil bintang untuk menjadi asal. Menurut hukum gravitasi Newton, gaya adalah , di mana adalah vektor planet ini, adalah miliknya massa, dan adalah parameter gravitasi standar bintang. $\mathbf{F} = -\frac{m\mu}{r^3}\mathbf{r}$ $\mathbf{r}$ $m$ $\mu = GM$

Hukum Konservasi

Karena gaya murni radial , momentum sudut dilestarikan: Jika kecepatan awal bukan nol dan bintang pada titik asal , kemudian dalam hal posisi awal dan kecepatan, orbit harus dibatasi pada bidang semua titik dengan vektor dari asal yang memuaskan $(\mathbf{F}\parallel\mathbf{r})$ $\mathbf{L} = \mathbf{r}\times\mathbf{p}$

\dot{L.} = \frac{d}{d t} (r \times hal) = m (\dot{r} \times \dot{r}) + r \times F = 0 .

$\dot{\mathbf{L}} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\mathbf{r}\times\mathbf{p}\right) = m(\dot{\mathbf{r}}\times \dot{\mathbf{r}}) + \mathbf{r}\times\mathbf{F} = \mathbf{0}\text{.}$

x

$\mathbf{x}$

L \cdot x = 0

$\mathbf{L}\cdot\mathbf{x} = 0$ . Jika kecepatan awal adalah nol, maka gerakannya murni radial, dan kita dapat mengambil salah satu dari banyak pesawat tanpa batas yang mengandung barycenter dan posisi awal.

Energi orbital total diberikan oleh mana bagian suku pertama adalah energi kinetik dan istilah kedua adalah energi potensial gravitasi planet ini. Konservasinya, serta fakta bahwa ia menggunakan energi potensial yang benar, dapat dibuktikan dengan teorema dasar kalkulus untuk integral garis.

E = \frac{{hal}^{2}}{2 m} - \frac{m μ}{r},

$\mathcal{E} = \frac{p^2}{2m} - \frac{m\mu}{r}\text{,}$

Tetapkan vektor Laplace-Runge-Lenz menjadi Ini juga dilestarikan:

A = p \times L - \frac{m^{2} μ}{r} r .

$\mathbf{A} = \mathbf{p}\times\mathbf{L} - \frac{m^2\mu}{r}\mathbf{r}\text{.}$

\begin{array}{rcl} \dot{A} & = & F \times L + p \times \dot{L} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & - \frac{m μ}{r^{3}} \underset{(r \cdot p) r - r^{2} p}{\underset{⏟}{(r \times (r \times p))}} - \frac{m μ}{r} p + \frac{m μ}{r^{3}} (p \cdot r) r \\ = & 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray*} \dot{\mathbf{A}} &=& \mathbf{F}\times\mathbf{L} + \mathbf{p}\times\dot{\mathbf{L}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& -\frac{m\mu}{r^3}\underbrace{\left(\mathbf{r}\times(\mathbf{r}\times\mathbf{p})\right)}_{(\mathbf{r}\cdot\mathbf{p})\mathbf{r} - r^2\mathbf{p}} - \frac{m\mu}{r}\mathbf{p} + \frac{m\mu}{r^3}(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{r}\\ &=& \mathbf{0}\text{.} \end{eqnarray*}$

Akhirnya, mari kita ambil , yang memiliki unit yang sama dengan , dan karena , ia terletak di sepanjang bidang orbital. Karena ini adalah vektor yang dikonservasi yang diskalakan oleh skalar yang dikonservasi, mudah untuk menunjukkan bahwa dilestarikan juga, selama . $\mathbf{f} = \mathbf{A}/(m\mathcal{E})$ $\mathbf{r}$ $\mathbf{L}\cdot\mathbf{f} = 0$ $\mathbf{f}$ $\mathcal{E}\neq 0$

Menyederhanakan

Dengan menggunakan produk triple vektor, kita dapat menulis norma-kuadrat yang mudah dikerjakan engkol: mana digunakan sepanjang untuk beralih antara istilah kinetik dan potensial.

\begin{array}{rcl} \frac{1}{m} A & = & \frac{1}{m} [p^{2} r - (p \cdot r) p] - \frac{m μ}{r} r \\ = & (E + \frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p \\ E (f - r) & = & (\frac{p^{2}}{2 m}) r - \frac{1}{m} (p \cdot r) p, \end{array}

$\begin{eqnarray*} \frac{1}{m}\mathbf{A} &=& \frac{1}{m}\left[p^2\mathbf{r}-(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r})\mathbf{p}\right] -\frac{m\mu}{r}\mathbf{r}\\ &=& \left(\mathcal{E}+\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\\ \mathcal{E}(\mathbf{f}-\mathbf{r}) &=& \left(\frac{p^2}{2m}\right)\mathbf{r} - \frac{1}{m}\left(\mathbf{p}\cdot\mathbf{r}\right)\mathbf{p}\text{,} \end{eqnarray*}$

E^{2} | f - r |^{2} = {(E + \frac{m μ}{r})}^{2} r^{2},

$\mathcal{E}^2|\mathbf{f}-\mathbf{r}|^2 = \left(\mathcal{E} + \frac{m\mu}{r}\right)^2r^2\text{,}$

E

$\mathcal{E}$

Mengapa Elips?

Karena adalah energi relatif hingga tak terbatas, untuk memiliki orbit yang terikat kita memerlukan . Jadi, dari bagian sebelumnya, dan karenanya yang mendefinisikan elips dengan fokus dan sumbu utama . $\mathcal{E}$ $\mathcal{E}<0$ $|\mathbf{f}-\mathbf{r}| = -\mathcal{E}^{-1}\left(\mathcal{E}r + m\mu\right)$

| f - r | + | r | = - \frac{m μ}{E},

$|\mathbf{f}-\mathbf{r}| + |\mathbf{r}| = -\frac{m\mu}{\mathcal{E}}\text{,}$

0, f

$\mathbf{0},\,\mathbf{f}$

2 a = - m μ / E

$2a=-m\mu/\mathcal{E}$

Kenapa Tidak Lingkaran?

Lingkaran adalah kasus khusus di mana fokusnya adalah titik yang sama, , yang dapat dinyatakan kembali sebagai Dengan kata lain, orbit melingkar memerlukan energi orbital sebagai energi negatif dari energi kinetik. Ini mungkin, tetapi hampir pasti tidak memiliki tepat. Karena nilai diizinkan untuk orbit terikat, ada banyak cara lain untuk memiliki orbit elips. (Meskipun beberapa dari mereka akan benar-benar jatuh karena bintang dan planet memiliki ukuran positif.) $\mathbf{f} = \mathbf{0}$

E = - \frac{1}{2} \frac{m μ}{r} = - \frac{p^{2}}{2 m} .

$\mathcal{E} = -\frac{1}{2}\frac{m\mu}{r} = -\frac{p^2}{2m}\text{.}$

E < 0

$\mathcal{E}<0$

Perhatikan bahwa orbit hiperbolik memiliki , dan kita masih dapat menemukan fokus menggunakan metode di atas, meskipun berhati-hati dengan tanda-tandanya. Untuk , fokus kedua tidak ditentukan karena ini adalah orbit parabola, dan parabola hanya memiliki satu fokus dalam jarak yang terbatas dari pusat. $\mathcal{E}>0$ $\mathcal{E}=0$ $\mathbf{f}$

Selain itu, vektor eksentrisitas adalah pilihan alternatif untuk vektor LRL; seperti namanya, besarnya adalah eksentrisitas orbital. $\mathbf{e} = \mathbf{A}/(m^2\mu)$

— Stan Liou
sumber

8

Sangat mungkin bagi sebuah planet untuk memiliki orbit melingkar, bagaimanapun juga, sebuah lingkaran adalah elips di mana kedua fokus berada di tempat yang sama; ini dikenal memiliki eksentrisitas 0 . Eksentrisitas didefinisikan dengan cara berikut: mana adalah apoapsis (titik terjauh dalam orbit dari pusat massa), dan adalah periapsis (jarak terdekat). Hanya untuk membangun beberapa intuisi di sini, jika apoapsis adalah dua kali jarak periapsis, eksentrisitas akan menjadi

e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}

$e = \frac{r_{a} - r_{p}}{r_{a} + r_{p}}$

r_{a}

$r_{a}$

r_{p}

$r_{p}$

e = 0.333

$e=0.333$ .

Dari semua planet tata surya, Venus , dengan eksentrisitas 0,007 memiliki orbit paling melingkar.

Mengenai mengapa semua orbit tidak bulat, ia berujung pada energi kinetik . Energi kinetik sebanding dengan kuadrat kecepatan. Di bidang orbital dan koordinat kutub tentang bintang, kita dapat menguraikannya menjadi kombinasi kecepatan radial dan kecepatan sudut : Karena lingkaran memiliki jari-jari konstan, agar orbit melingkar di sekitar bintang, kecepatan radial planet harus persis nol. Selain itu, kecepatan sudut harus sedemikian rupa sehingga gaya sentrifugal $\dot{r}$ $\dot{\phi}$

v^{2} = {\dot{r}}^{2} + r^{2} {\dot{ϕ}}^{2} .

$v^2 = \dot{r}^2 + r^2\dot{\phi}^2\text{.}$ dalam kerangka corotating persis menyeimbangkan gaya gravitasi - sedikit lebih atau sedikit kurang, ketidakseimbangan akan mengubah kecepatan radial, merusak lingkaran.

Mengingat fakta bahwa kecepatan bervariasi untuk sejumlah besar alasan, tidak mengherankan bahwa hanya beberapa orbit yang berakhir melingkar, dan mengingat bahwa orbit yang sebenarnya berubah seiring waktu , kami tahu mereka tidak bisa tetap seperti ini lama.

Jika Anda mencari bukti matematis, tautan ini membagikan beberapa detail tentangnya .

Berikut adalah gambar yang menunjukkan eksentrisitas beberapa benda di tata surya yang diambil dari sini :

Beberapa badan tata surya dan eksentrisitasnya

— Eduardo Serra
sumber

Ini benar-benar salah: "Agar orbitnya bulat, kecepatan planet harus persis minimun yang dibutuhkan untuk berada di orbit; ... sedikit kurang dan itu akan menabrak planet yang mengorbit." Paragraf ini juga cukup bingung tentang apa yang mengorbit apa. Jelas, mereka meminimalkan kecepatan radial , tetapi itu berbeda dan tidak terhubung dengan diskusi energi kinetik. Memecah energi kinetik menjadi bagian radial dan sudut, orbit melingkar juga meminimalkan potensi efektif jika momentum sudut dipertahankan.

— Stan Liou,

@Stan Anda dapat mengusulkan pengeditan atau memberikan jawaban Anda sendiri. Bisakah Anda menjelaskan mengapa pernyataan itu salah? Jika satelit menggambarkan orbit melingkar dan Anda memperlambatnya, itu akan menabrak planet ini; jika Anda mempercepatnya, itu akan membentuk dan orbit elips.

— Eduardo Serra

r_{a} = r_{p}

$r_a = r_p$

r_{p}^{'}

$r'_p$

1

@EduardoSerra - Memperlambat objek dalam orbit melingkar dan akan berada di orbit elips dengan jari-jari orbit bundar yang sekarang menjadi jarak apofokal.

— David Hammen

1

Saya selalu lebih suka jawaban yang mencoba menghindari formula apa pun dan membalasnya dengan argumentasi. Mengenai bagian dari pertanyaan mengapa tidak semua orbit melingkar, argumennya akan seperti ini:

Pertimbangkan bintang stasioner dan planet yang bergerak. Untuk setiap dorongan yang bisa dimiliki planet ini, kurva untuk pergerakan selanjutnya dapat diprediksi. Jika dorongan ini diarahkan tepat orthogonal ke garis dari bintang ke planet, dan jika kecepatannya memiliki jumlah yang tepat , maka kurva gerakan ini bisa menjadi lingkaran yang tepat.

Tetapi untuk setiap penyimpangan dari impuls yang tepat ini, kurva yang dihasilkan tidak bisa menjadi lingkaran:

Jika kecepatan terlalu rendah, planet akan jatuh ke arah bintang (dalam kasus ekstrim impuls nol, musim gugur ini akan berada di garis lurus).
Jika kecepatannya terlalu tinggi, planet akan mendapatkan jarak dari bintang (mirip dengan katapel).
Jika impuls tidak langsung ortogonal ke garis ke bintang, gerakan pertama akan menggerakkan ke arah atau dari bintang, jadi sekali lagi kurva tidak akan menjadi lingkaran.

Jadi, orang dapat dengan mudah berargumentasi, lingkaran adalah kasus yang sangat khusus untuk kurva yang dapat diambil planet di sekitar bintang.

— Alfe
sumber

(1) Argumen ortogonalitas awal adalah awal yang baik. (2) Tetapi pertimbangan "kecepatan terlalu rendah / tinggi" tidak dapat dibenarkan: bagaimana orang bisa tahu bahwa orbit melingkar dengan kecepatan ganda tidak diizinkan untuk jarak yang sama? Seseorang dapat menentang kemungkinan kecepatan ganda dengan menyeimbangkan gaya gravitasi dan sentrifugal, tetapi kemudian keduanya (1) dan (2) berubah menjadi apa yang diuraikan dalam jawaban Eduardo Serra.

— Stan Liou

Jadi maksud Anda seseorang dapat berada di bawah kesan bahwa gaya gravitasi bisa seperti tali yang ketat dalam arti bahwa itu akan menerapkan lebih banyak kekuatan di planet ini ke arah bintang ketika lebih banyak kekuatan "dibutuhkan" untuk menjaga planet pada jalur melingkar ? Hmm ... ya, tergantung pada latar belakang orang awam ini bisa jadi apa yang diharapkan. Terima kasih atas pengertiannya; mungkin saya dapat meningkatkan jawaban saya untuk mengatasi masalah ini juga!

— Alfe