Menentukan efek kekuatan variabel kecil pada presesi perihelion planet

Adakah teknik analitik untuk menentukan efek percepatan transversal variabel kecil terhadap laju presesi presi (bukan presesi melainkan rotasi garis aspida) dari sebuah planet yang mengorbit Matahari di dalam bidang 2D menurut hukum gravitasi Newtonian ?

Saya telah memodelkan efek seperti itu dalam model komputer yang berulang dan ingin memverifikasi pengukuran tersebut.

Formula akselerasi melintang adalah

$A t = (K / c^{2}) * V r * V t * A r .$ $At = (K/c^2)*Vr*Vt * Ar.$

Dimana:-

c adalah kecepatan cahaya,

K adalah konstanta besarnya antara 0 dan +/- 3, sehingga . $K/(c^2) << 1$

Ar adalah percepatan planet menuju Matahari karena pengaruh gravitasi Newton dari Matahari, ( ). $Ar = GM/r^2$

Vr adalah komponen radial dari kecepatan planet relatif terhadap Matahari (+ = gerak menjauh dari Matahari)

Vt adalah komponen transversal kecepatan planet relatif terhadap Matahari (+ = arah gerak maju planet di sepanjang jalur orbitnya). Secara Vectorially Vt = V - Vr di mana V adalah total vektor kecepatan sesaat dari planet relatif terhadap Matahari.

Asumsikan massa planet relatif kecil terhadap Matahari

Tidak ada badan lain dalam sistem

Semua gerakan dan akselerasi terbatas pada bidang dua dimensi orbit.

MEMPERBARUI

Alasan mengapa ini menarik bagi saya adalah bahwa nilai K = +3 dalam model komputer saya menghasilkan nilai tingkat rotasi periapse anomali (Non-Newtonian) yang sangat dekat dalam sekitar 1% dari yang diprediksi oleh Relativitas Umum dan dalam beberapa persen dari yang diamati oleh para astronom (Le Verrier, diperbarui oleh Newcomb).

Formula (Einstein, 1915) untuk rotasi periapse yang diturunkan GR (radian per orbit) dari http://en.wikipedia.org/wiki/Apsidal_precession

ω = 24. π^{3} . a^{2} . T^{- 2} . c^{- 2} . (1 - e^{2})^{- 1}

$\boldsymbol{\omega}=24.\pi^3.a^2.T^{-2}.c^{-2}.(1-e^2)^{-1}$

PEMBARUAN 4

Saya telah menerima jawaban Walter. Tidak hanya dia menjawab pertanyaan awal (Apakah ada teknik ...?) Tetapi juga analisisnya menghasilkan formula yang tidak hanya mengkonfirmasi efek simulasi komputer dari rumus percepatan transversal (untuk K = 3) tetapi juga (tanpa diduga) bagi saya) pada dasarnya setara dengan rumus Einstein 1915.

dari Walter's Summary (dalam jawaban Walter di bawah): -

: (dari analisis peturbasi orde pertama) sumbu semi-utama dan eksentrisitas tidak berubah, tetapi arah periapse berputar di bidang orbit dengan kecepatan di mana adalah frekuensi orbital dan dengan sumbu semi-mayor. Perhatikan bahwa (untuk ) ini sesuai dengan tingkat presesi relativitas umum (GR) pada urutan (diberikan oleh Einstein 1915).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

gravity eccentric-orbit

— steveOw
sumber

Apakah Anda masih mencari jawaban?

— Walter

@Walter. Ya, benar. Saya telah mengajukan pertanyaan serupa di physics.stackexchange.com/questions/123685/... tetapi belum ada jawaban yang solid.

— steveOw

@Walter. Saya juga bertanya di math.stackexchange.com/questions/866836/… .

— steveOw

Ya, ada perkiraan metode analitik (teori perturbasi), valid dalam batas . Mungkin Anda bisa sedikit memperjelas pertanyaan Anda. Apa arah percepatan transversal (saya mengerti 'melintang' berarti tegak lurus terhadap kecepatan sesaat, tetapi tidak jelas apakah akselerasi berada di bidang orbit atau tegak lurus atau campuran).

K ≪ 1

$K\ll1$

— Walter

Ada perbedaan antara pertanyaan Anda di sini dan itu pada matematika (dan fisika): di sini akselerasi melintang sebanding dengan akselerasi radial dan adalah angka tanpa dimensi, di sana akselerasi radial tidak berpengaruh pada akselerasi transversal dan harus menjadi akselerasi (meskipun Anda berbicara tentang 'angka').

K

$K$

K

$K$

— Walter

Anda mungkin ingin menggunakan teori perturbasi . Ini hanya memberi Anda jawaban perkiraan , tetapi memungkinkan untuk perawatan analitik. Kekuatan Anda dianggap sebagai gangguan kecil ke orbit elips Keplerian dan persamaan yang dihasilkan dari gerak diperluas dalam kekuatan dari . Untuk teori perturbasi linear, hanya istilah linear dalam yang dipertahankan. Ini hanya mengarah pada pengintegrasian gangguan di sepanjang orbit asli yang tidak terganggu. Menulis kekuatan Anda sebagai vektor, percepatan yang mengganggu adalah dengan kecepatan radial ( ) dan $K$ $K$

a = K \frac{G M}{r^{2} c^{2}} v_{r} v_{t}

$\boldsymbol{a} = K \frac{GM}{r^2c^2}v_r\boldsymbol{v}_t$

v_{r} = v \cdot \hat{r}

$v_r=\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}$

v \equiv \dot{r}

$\boldsymbol{v}\equiv\dot{\boldsymbol{r}}$

v_{t} = (v - \hat{r} (v \cdot \hat{r}))

$\boldsymbol{v}_t=(\boldsymbol{v}-\hat{\boldsymbol{r}}(\boldsymbol{v}{\cdot}\hat{\boldsymbol{r}}))$ komponen rotasi kecepatan ( kecepatan penuh dikurangi kecepatan radial). Di sini, titik di atas menunjukkan turunan waktu dan topi vektor satuan.

Sekarang, itu tergantung apa yang Anda maksud dengan ' efek '. Mari kita selesaikan perubahan sumbu semimajor orbital , eksentrisitas , dan arah periapse. $a$ $e$

Untuk merangkum hasil di bawah ini : sumbu semi-mayor dan eksentrisitas tidak berubah, tetapi arah periapse berputar di bidang orbit dengan kecepatan di mana adalah frekuensi orbital dan dengan sumbu semi-mayor. Perhatikan bahwa (untuk ) ini sesuai dengan tingkat presesi relativitas umum (GR) pada urutan (diberikan oleh Einstein 1915 tetapi tidak disebutkan dalam pertanyaan asli).

ω = Ω \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} \frac{K}{1 - e^{2}},

$\omega=\Omega \frac{v_c^2}{c^2} \frac{K}{1-e^2},$

Ω

$\Omega$

v_{c} = Ω a

$v_c=\Omega a$

a

$a$

K = 3

$K=3$

v_{c}^{2} / c^{2}

$v_c^2/c^2$

perubahan sumbu semimajor

Dari relasi (dengan energi orbital) yang kita miliki untuk perubahan akibat eksternal (non-Keplerian) akselerasi Memasukkan (perhatikan bahwa dengan vektor momentum sudut ), kita mendapatkan Karena rata-rata orbit untuk fungsi apa pun (lihat di bawah), . $a=-GM/2E$ $E=\frac{1}{2}\boldsymbol{v}^2-GMr^{-1}$ $a$

\dot{a} = \frac{2 a^{2}}{G M} v \cdot a .

$\dot{a}=\frac{2a^2}{GM}\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}.$

a

$\boldsymbol{a}$

v \cdot v_{t} = h^{2} / r^{2}

$\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{v}_t=h^2/r^2$

h \equiv r \land v

$\boldsymbol{h}\equiv\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}$

\dot{a} = \frac{2 a^{2} K h^{2}}{c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{4}} .

$\dot{a}=\frac{2a^2Kh^2}{c^2}\frac{v_r}{r^4}.$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = 0

$\langle v_r f(r)\rangle=0$

f

$f$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

perubahan eksentrisitas

Dari , kami menemukan Kita sudah tahu bahwa , jadi hanya perlu mempertimbangkan istilah pertama. Dengan demikian, tempat saya menggunakan identitas dan faktanya $\boldsymbol{h}^2=(1-e^2)GMa$

e \dot{e} = - \frac{h \cdot \dot{h}}{G M a} + \frac{h^{2} \dot{a}}{2 G M a^{2}} .

$e\dot{e}=-\frac{\boldsymbol{h}{\cdot}\dot{\boldsymbol{h}}}{GMa}+\frac{h^2\dot{a}}{2GMa^2}.$

⟨ \dot{a} ⟩ = 0

$\langle\dot{a}\rangle=0$

e \dot{e} = - \frac{(r \land v) \cdot (r \land a)}{G M a} = - \frac{r^{2} v \cdot a}{G M a} = - \frac{K h^{2}}{a c^{2}} \frac{v_{r}}{r^{2}},

$e\dot{e}=-\frac{(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}){\cdot}(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GMa} =-\frac{r^2\;\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a}}{GMa} =-\frac{Kh^2}{ac^2}\frac{v_r}{r^2},$

(a \land b) \cdot (c \land d) = a \cdot c b \cdot d - a \cdot d b \cdot c

$(\boldsymbol{a}\wedge\boldsymbol{b}){\cdot}(\boldsymbol{c}\wedge\boldsymbol{d}) =\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{d}- \boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{d}\;\boldsymbol{b}{\cdot}\boldsymbol{c}$

r \cdot a_{p} = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}_p=0$ . Lagi dan karenanya .

⟨ v_{r} / r^{2} ⟩ = 0

$\langle v_r/r^2\rangle=0$

⟨ \dot{e} ⟩ = 0

$\langle\dot{e}\rangle=0$

perubahan arah periapse

The eksentrisitas vektor poin (dari pusat gravitasi) ke arah periapse, memiliki magnitudo , dan dilestarikan di bawah gerakan Keplerian (validasikan semua itu sebagai latihan!). Dari definisi ini kami menemukan perubahan seketika karena percepatan eksternal $\boldsymbol{e}\equiv\boldsymbol{v}\wedge\boldsymbol{h}/GM - \hat{\boldsymbol{r}}$ $e$

\dot{e} = \frac{a \land (r \land v) + v \land (r \land a)}{G M} = \frac{2 (v \cdot a) r - (r \cdot v) a}{G M} = \frac{2 K}{c^{2}} \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{K}{c^{2}} \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r}

$\dot{\boldsymbol{e}}= \frac{\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{v}) +\boldsymbol{v}\wedge(\boldsymbol{r}\wedge\boldsymbol{a})}{GM} =\frac{2(\boldsymbol{v}{\cdot}\boldsymbol{a})\boldsymbol{r} -(\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{v})\boldsymbol{a}}{GM} =\frac{2K}{c^2}\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4} -\frac{K}{c^2}\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}$ tempat saya menggunakan identitas dan fakta . Rata-rata orbit dari ekspresi ini dipertimbangkan dalam lampiran di bawah ini. Jika akhirnya kita menyatukan semuanya, kita mendapatkan dengan [ dikoreksi lagi ] Ini adalah rotasi periapse dalam bidang orbit dengan frekuensi sudut. Khususnya

a \land (b \land c) = (a \cdot c) b - (a \cdot b) c

$\boldsymbol{a}\wedge(\boldsymbol{b}\wedge\boldsymbol{c})=(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{c})\boldsymbol{b}-(\boldsymbol{a}{\cdot}\boldsymbol{b})\boldsymbol{c}$

r \cdot a = 0

$\boldsymbol{r}{\cdot}\boldsymbol{a}=0$

\dot{e} = ω \land e

$\dot{\boldsymbol{e}}=\boldsymbol{\omega}\wedge\boldsymbol{e}$

ω = Ω K \frac{v_{c}^{2}}{c^{2}} (1 - e^{2})^{- 1} \hat{h} .

$\boldsymbol{\omega}=\Omega K \frac{v_c^2}{c^2} (1-e^2)^{-1}\, \hat{\boldsymbol{h}}.$

ω = | ω |

$\omega=|\boldsymbol{\omega}|$

⟨ e \dot{e} ⟩ = ⟨ e \cdot \dot{e} ⟩ = 0

$\langle e\dot{e}\rangle=\langle\boldsymbol{e}{\cdot}\dot{\boldsymbol{e}}\rangle=0$ sesuai dengan temuan kami sebelumnya.

Jangan lupa bahwa karena penggunaan teori perturbasi orde pertama kami, hasil ini hanya benar dalam batas . Namun, pada teori gangguan orde dua, baik dan / atau dapat berubah. Dalam percobaan numerik Anda, Anda harus menemukan bahwa perubahan orbit-rata-rata dari dan yang baik nol atau skala lebih kuat dari linear dengan gangguan amplitudo . $K(v_c/c)^2\to0$ $a$ $e$ $a$ $e$ $K$

Penafian Tidak ada jaminan bahwa aljabar itu benar. Periksa!

Lampiran: rata-rata orbit

Rata-rata orbit dari dengan fungsi yang abitrary (tetapi terintegrasi) dapat langsung dihitung untuk semua jenis orbit periodik. Misalkan menjadi antiderivatif dari , yaitu , maka rata-rata orbitnya adalah: dengan periode orbital. $v_rf(r)$ $f(r)$ $F(r)$ $f(r)$ $F'\!=f$

⟨ v_{r} f (r) ⟩ = \frac{1}{T} \int_{0}^{T} v_{r} (t) f (r (t)) d t = \frac{1}{T} {[F (r (t))]}_{0}^{T} = 0

$\langle v_r f(r)\rangle = \frac{1}{T}\int_0^T v_r(t)\,f\!\left(r(t)\right) \mathrm{d}t = \frac{1}{T} \left[F\left(r(t)\right)\right]_0^T = 0$

T

$T$

Untuk rata-rata orbit yang diperlukan dalam , kita harus menggali sedikit lebih dalam. Untuk orbit elips Keplerian dengan vektor eksentrisitas dan vektor tegak lurus terhadap dan . Di sini, adalah anomali eksentrik, yang terkait dengan anomali rata-rata melalui sehingga $\langle\dot{\boldsymbol{e}}\rangle$

r = a ((\cos η - e) \hat{e} + \sqrt{1 - e^{2}} \sin η \hat{k}) and r = a (1 - e \cos η)

$\boldsymbol{r}=a\left((\cos\eta-e)\hat{\boldsymbol{e}}+\sqrt{1-e^2}\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}\right)\qquad\text{and}\qquad r=a(1-e\cos\eta)$

e

$\boldsymbol{e}$

\hat{k} \equiv \hat{h} \land \hat{e}

$\hat{\boldsymbol{k}}\equiv\hat{\boldsymbol{h}}\wedge\hat{\boldsymbol{e}}$

e

$\boldsymbol{e}$

h

$\boldsymbol{h}$

η

$\eta$

ℓ

$\ell$

ℓ = η - e \sin η,

$\ell=\eta-e\sin\eta,$

d ℓ = (1 - e \cos η) d η

$\mathrm{d}\ell=(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta$ dan rata-rata orbit menjadi Mengambil turunan waktu (perhatikan bahwa frekuensi orbital) dari , kami temukan untuk kecepatan orbital sesaat (tidak terganggu) tempat saya memperkenalkan , kecepatan orbit melingkar dengan sumbu semimajor . Dari ini, kami menemukan kecepatan radial

⟨ \cdot ⟩ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot d ℓ = (2 π)^{- 1} \int_{0}^{2 π} \cdot (1 - e \cos η) d η .

$\langle\cdot\rangle = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;\mathrm{d}\ell = (2\pi)^{-1}\int_0^{2\pi}\cdot\;(1-e\cos\eta)\mathrm{d}\eta.$

\dot{ℓ} = Ω = \sqrt{G M / a^{3}}

$\dot{\ell}=\Omega=\sqrt{GM/a^3}$

r

$\boldsymbol{r}$

v = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} \cos η \hat{k} - \sin η \hat{e}}{1 - e \cos η}

$\boldsymbol{v}=v_c\frac{\sqrt{1-e^2}\cos\eta\,\hat{\boldsymbol{k}}-\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{1-e\cos\eta}$

v_{c} \equiv Ω a = \sqrt{G M / a}

$v_c\equiv\Omega a=\sqrt{GM/a}$

a

$a$

v_{r} = \hat{r} \cdot v = v_{c} e \sin η (1 - e \cos η)^{- 1}

$v_r=\hat{\boldsymbol{r}}{\cdot}\boldsymbol{v}=v_c e\sin\eta(1-e\cos\eta)^{-1}$ dan kecepatan rotasi

v_{t} = v_{c} \frac{\sqrt{1 - e^{2}} (\cos η - e) \hat{k} - (1 - e^{2}) \sin η \hat{e}}{(1 - e \cos η)^{2}} .

$\boldsymbol{v}_t = v_c\frac{\sqrt{1-e^2}(\cos\eta-e)\,\hat{\boldsymbol{k}}-(1-e^2)\sin\eta\,\hat{\boldsymbol{e}}}{(1-e\cos\eta)^2}.$

Dengan ini, kita memiliki [ diperbaiki lagi ] khususnya, komponen dalam arah rata-rata ke nol. Jadi [ diperbaiki lagi ]

⟨ \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e (1 - e^{2})^{3 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = \frac{Ω v_{c}^{2} e}{2 (1 - e^{2})} \hat{k} ⟨ \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = Ω v_{c}^{2} \hat{k} \frac{e^{2} (1 - e^{2})^{1 / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} \frac{\sin^{2} η (\cos η - e)}{(1 - e \cos η)^{4}} d η = 0,

$\left\langle \frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}\right\rangle = \Omega v_c^2\,\hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e(1-e^2)^{3/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta =\frac{\Omega v_c^2e}{2(1-e^2)}\hat{\boldsymbol{k}} \\ \left\langle \frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle = \Omega v_c^2\, \hat{\boldsymbol{k}}\, \frac{e^2(1-e^2)^{1/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}\frac{\sin^2\!\eta(\cos\eta-e)}{(1-e\cos\eta)^4}\mathrm{d}\eta=0,$

\hat{e}

$\hat{\boldsymbol{e}}$

⟨ 2 \frac{h^{2} v_{r} r}{r^{4}} - \frac{v_{r}^{2} v_{t}}{r} ⟩ = \frac{Ω v_{c}^{2} e \hat{k}}{(1 - e^{2})}

$\left\langle 2\frac{h^2v_r\boldsymbol{r}}{r^4}-\frac{v_r^2\boldsymbol{v}_t}{r}\right\rangle =\frac{\Omega v_c^2e\,\hat{\boldsymbol{k}}}{(1-e^2)}$

— Walter
sumber

Komentar bukan untuk diskusi panjang; percakapan ini telah dipindahkan ke obrolan .

— dipanggil2voyage