Dari mana Formula Presesi Planet yang terkenal ini berasal?

Persamaan berikut (singkatnya saya akan menyebut Formula Presesi Planetary, PPF) terkenal muncul dalam publikasi 1915 oleh Einstein di mana ia menunjukkan bagaimana hal itu dapat diturunkan dari General Theory of Relativity (GTR).

$$\epsilon = \frac{24 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}$$

di mana adalah presesi sudut (anomali, non-Newtonian) per orbit, adalah sumbu semi-mayor orbit, adalah kecepatan cahaya, adalah periode orbital, adalah elipsitas orbit.$\epsilon$$a$$c$$T$$e$

Formula PPF secara akurat memprediksi presesi Merkuri dan planet Surya lainnya (anomali, non-Newtonian).

Rumus ini dikenal di kalangan ilmiah jauh sebelum 1915. Misalnya Gerber (1898) mendapatkannya dari model gravitasinya sendiri (banyak diejek). Dalam artikel internet Gravitasi Gerber tertulis bahwa

Ini menjadi kegiatan yang cukup populer di tahun 1890-an bagi fisikawan untuk mengusulkan berbagai potensi gravitasi berdasarkan kecepatan perambatan terbatas untuk menjelaskan beberapa atau semua presesi orbit Merkurius. Oppenheim menerbitkan ulasan proposal ini pada tahun 1895. Hasil khas dari proposal tersebut adalah prediksi non-Newtonian perihelia orbital per revolusi ...>

$$k\,\frac {\pi\,m}{L \,c^2} = k \frac{4 \, \pi^3a^2}{c^2 T^2(1-e^2)}.$$

di mana adalah rektum semi-latus elips, adalah fungsi dari kecepatan sudut dari planet yang mengorbit: dengan dan adalah konstanta yang mungkin diturunkan dari teori.$L = a(1 - e^2)$$m$$\omega$$m = a^3 \omega^2$$\omega = 2\pi/T$$k$

Jelas dengan kita mendapatkan formula PPF yang diberikan di atas.$k = 6$

Saya ingin tahu dari mana ekspresi berasal. Dari artikel itu tampaknya berasal dari makalah ulasan 28 halaman oleh Oppenheim, 1895 yang dipindai di sini . Saya telah melalui pemindaian makalah ini tetapi tanpa menemukan persamaan itu secara eksplisit (makalah ini dalam bahasa Jerman yang saya tahu sangat buruk, Google Translate sedikit membantu tetapi menyisakan banyak ambiguitas). Mungkin penulis anonim dari artikel tersebut mengekstraksi ekspresi dari ulasan makalah Oppenheim atau bahkan makalah asli (Prancis & Jerman) sendiri, tetapi ia tidak dapat dihubungi. Mungkin seseorang di sini akrab dengan era sejarah astrofisika ini dan dapat mengarahkan saya ke arah yang benar?$k\pi m/Lc^2$

Saya tidak tahu di mana formula itu pertama kali diterbitkan secara penuh, tetapi Oppenheim setidaknya melakukan sesuatu yang sangat dekat dengannya. Pertama, ingatlah beberapa simbol yang relevan di Oppenheim, meskipun itu agak standar: Kita dapat melihat bahwa jika kita memijat notasi, proporsionalitas yang kita cari dinyatakan setara:

$$\def\anode{☊}\begin{eqnarray*} k &=& \small\sqrt{G} = \small\text{Gaussian gravitational constant}\\ \anode &=& \small\text{longitude of the ascending node}\\ \omega &=& \small\text{argument of perihelion}\\ \varpi &=& \omega+\anode = \small\text{longitude of perihelion}\\ n &=& \small{k\sqrt{(m_0+m_1)/a^3}} = \small\text{mean motion} \end{eqnarray*}$$ $$\frac{\pi m}{Lc^2} \leadsto \frac{\pi GM}{a(1-e^2)c^2} \leadsto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}\text{.}$$ Karena gerakan rata-rata adalah , di mana adalah periode orbital, yang berarti bahwa jika kita ingin berbicara tentang kemajuan perihelion dari per orbit, itu setara dengan berbicara tentang istilah dalam bentuk Saya tidak dapat menemukan di mana, jika memang di mana saja , Oppenheim mempertimbangkan faktor yang hilang$n\equiv 2\pi/T$$T$ $$\frac{n^3a^2}{c^2} = 2\pi\frac{n^2a^2}{c^2}\frac{1}{T}\text{,}$$ $\delta\varpi \propto \frac{\pi n^2a^2}{(1-e^2)c^2}$ $$\frac{\mathrm{d}\varpi}{\mathrm{d}t} \propto \frac{n^3a^2}{(1-e^2)c^2} = \frac{n^3a^2}{c^2}\left(1+e^2+\mathcal{O}(e^4)\right)\text{.}$$ $(1-e^2)$sebagai milik presesi anomali, tetapi sebaliknya formula pasti ada. Saya menduga bahwa ia hanya menggunakan perkiraan orbit melingkar, , karena tidak ditemukan di Sec. IV (teori Weber 1846) dan melakukan perhitungannya (tanpa ) memberi saya per abad untuk Merkurius, dalam perjanjian yang baik dengan hasil yang dinyatakannya dari , sedangkan menempatkan faktor dengan tangan memberikan sebagai gantinya.$e^2\approx 0$$1-e^2$$\delta\varpi = 13.72''$$\delta\varpi = 13.65''$$(1-e^2)$$\delta\varpi = 14.32''$

Mungkin Oppenheim tidak menganggapnya secara eksplisit dan penulis MathPagesmenganggapnya sebagai faktor eksentrisitas yang seharusnya ada di sana. Atau mungkin ada komentar sampingan dalam teks yang tidak saya lihat; Sayangnya, saya tidak cukup fasih berbahasa Jerman untuk memahami banyak hal.