Bagaimana Kepler “menebak” hukum ketiganya dari data?

Sungguh menakjubkan bahwa Kepler menentukan tiga hukumnya dengan melihat data, tanpa kalkulator dan hanya menggunakan pena dan kertas. Bisa dibayangkan bagaimana dia membuktikan hukumnya mendeskripsikan data setelah dia memperkirakannya, tetapi yang saya tidak mengerti adalah bagaimana dia menebaknya sejak awal.

Saya akan fokus khususnya pada hukum ketiga Kepler, yang menyatakan bahwa kuadrat dari periode orbit sebuah planet sebanding dengan kubus sumbu semi-mayor orbit.

Saya berasumsi bahwa Kepler bekerja dengan data tentang planet saja, ditambah bulan kita sendiri, dan matahari. Saya membuat asumsi ini karena saya pikir Kepler tidak memiliki data tentang bulan, komet, atau asteroid lain, yang belum diamati oleh teleskop. Jika ini benar, mengetahui bahwa Neptunus, Uranus, dan Pluto belum ditemukan ketika Kepler masih hidup, ini berarti Kepler memiliki kurang dari 9 titik data untuk dikerjakan.

Teman saya mengklaim bahwa benar-benar dapat dipahami bagaimana Kepler menebak hubungan ini (meskipun dia tidak memberikan metode bagaimana Kepler mungkin melakukannya), dan juga bahwa pengamatan Kepler "tidak terlalu sulit". Sebagai tantangan, saya memberi teman saya tabel data dengan satu kolom berlabel , y lainnya , dan 9 koordinat ( x , y ) yang sesuai dengan hubungan x 4 = y 3 . Saya berkata "tolong temukan hubungan antara x dan y ", dan seperti yang Anda duga dia gagal melakukannya.$x$$y$$(x,y)$$x^4=y^3$$x$$y$

Tolong jelaskan kepada saya bagaimana di dunia Kepler menebak hubungan ini bekerja dengan sedikit poin data. Dan jika asumsi saya bahwa jumlah titik data yang dimiliki Kepler kecil, itu salah, maka saya masih berpikir cukup sulit untuk menebak hubungan ini tanpa kalkulator.

Hukum ketiga Kepler adalah sepele (menurut saya) dibandingkan dengan hukum pertamanya. Saya cukup terkesan bahwa dia dapat menyimpulkan bahwa orbitnya adalah elips. Untuk mendapatkan itu, ia harus bolak-balik merencanakan arah Mars dari Bumi dan arah Bumi dari Mars. Dia tahu panjangnya tahun kedua planet, jadi pengamatan yang dilakukan selama satu tahun Mars akan berbeda hanya karena Bumi telah bergerak.

Tapi mungkin tidak sepele. Dia menerbitkan dua undang-undang pertamanya pada 1609. Hukum ketiga tidak muncul sampai sepuluh tahun kemudian, pada 1619. Dengan sepuluh tahun untuk mengerjakannya, bahkan hubungan yang paling tidak jelas akhirnya akan ditemukan.

$x^4 = y^3$$3/4$

Waktunya tepat. Napier menerbitkan bukunya tentang logaritma pada tahun 1614. Kepler mungkin akan menggunakan alat matematika baru yang mengkilap ini pada data lamanya yang kasar.

Hambatan utama adalah bahwa pada saat itu hanya ada enam planet yang diketahui, jadi dia tidak memiliki banyak titik data, dan yang dia miliki tidak berarti tepat.

Masalah lain Kepler adalah bahwa tidak ada hukumnya yang masuk akal baginya. Mereka cocok dengan data, tetapi dia tidak tahu mengapa. Dia tidak memiliki hukum gerak Newton untuk bekerja, dia tidak memiliki pemahaman tentang kekuatan, momentum, momentum sudut, dan tentu saja tidak gravitasi. Sejauh yang dia tahu, planet-planet bergerak dengan cara yang mereka lakukan karena Tuhan yang menentukannya, dan para malaikat ditugaskan mendorong planet-planet di sepanjang orbitnya. Planet-planet luar bergerak lebih lambat karena didorong oleh malaikat yang lebih rendah.

(Feynman berkomentar bahwa kita jauh lebih mengerti sekarang. Kita sekarang tahu bahwa para malaikat berada di luar mendorong masuk ke Matahari.)

Catatan Kepler tentang bagaimana hukum ketiga muncul adalah sebagai berikut (Caspar hal.286; penekanan pada saya):

Pada 8 Maret tahun ini 1618, jika informasi yang tepat tentang waktu diinginkan, itu muncul di kepalaku. Tapi saya tidak beruntung ketika saya memasukkannya ke dalam perhitungan, dan menolaknya sebagai salah. Akhirnya, pada tanggal 15 Mei, datang lagi dan dengan onset baru menaklukkan kegelapan pikiran saya, di mana di sana mengikuti kesepakatan yang sangat baik antara tujuh belas tahun saya bekerja di pengamatan Tychonic dan pertimbangan saya saat ini sehingga saya awalnya percaya bahwa saya memiliki bermimpi dan menganggap yang dicari dalam bukti pendukung. Tetapi sepenuhnya pasti dan tepat bahwa proporsi antara waktu periodik dari dua planet mana pun persis satu setengah kali proporsi jarak rata-rata .

Meskipun Kepler sebenarnya tidak menggambarkan inspirasi yang membuatnya percaya ini, ungkapan penasaran memberikan petunjuk yang sangat kuat ketika dikombinasikan dengan beberapa informasi latar belakang biografi:

1. John Napier menerbitkan Mirifici Logarithmorum Canonis Descripto pada tahun 1614, yang berisi penemuan logaritma yang baru. Kepler menyadari pekerjaan Napier pada 1617 (Caspar hal. 308), mungkin sebelumnya.
2. Joost Bürgi menerbitkan karya tentang logaritma hampir bersamaan dengan Napier, dan Kepler juga mengetahui tentang Bürgi, bahkan memuji kemampuan matematikanya sebagai yang melampaui sebagian besar profesor matematika.

Dengan demikian, pernyataan Kepler setara dengan mengatakan bahwa data membuat kemiringan 1,5 pada grafik log-log, yang merupakan hubungan linier yang sangat sederhana pada skala ini.

Referensi:

1. Caspar, Max, Kepler , (Dover, New York, 1993).