Sekakmat KBN vs K pada papan yang tidak standar

Saya tahu bagaimana memenangkan pertandingan akhir dengan uskup dan ksatria, tetapi itu adalah proses yang licin dan tampaknya hampir tidak menang, dengan raja musuh yang hampir melarikan diri. Untuk alasan ini, saya ingin tahu tentang endgame pada ukuran papan lain dan apakah itu masih mungkin dalam kasus umum papan MxN. Sebagai contoh:

• Apakah ada kemenangan yang dipaksakan pada papan 10x10?
• Apakah ada kemenangan yang dipaksakan pada papan 7x7, dengan uskup dengan warna 'salah'? (yaitu seorang uskup yang tidak bisa menyerang kotak sudut)

Mari kita asumsikan aturan 50 langkah tidak berlaku.

Sebenarnya, uskup dan ksatria tidak sel Licin seperti yang terlihat. Saya telah memeriksa ini pada program tablebase yang saya tulis. Pada papan 10x10, sisi dengan uskup dan ksatria (katakanlah putih) dapat memaksa pasangan paling banyak 47 bergerak. Putih bahkan dapat memaksa pasangan pada papan 16x16, dalam paling banyak 93 gerakan. Saya percaya pasangan bisa dipaksa di papan ukuran besar yang sewenang-wenang.

Pertama, pada papan ukuran aneh, saya telah mengonfirmasi bahwa putih tidak dapat memaksa pasangan jika uskup berada di warna yang salah. Mate hanya bisa dipaksa di sudut yang baik (yang dikontrol uskup), jadi jika tidak ada sudut yang baik, pasangan tidak bisa dipaksa.

Pada papan 10x10, berikut ini adalah pasangan optimal di 47. Posisi awal adalah W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2. 1.Bb2 Kb3 2.Ba3 Kc2 3.Ka2 Kd3 4.Kb3 Ke4 5.Kc4 Ke5 6.Bg9 Kf4 7.Kd5 Kf5 8.Be7 Kf4 9.Ke6 Kg4 10.Ke5 Kf3 11.Kf5 Kg2 12.Kg4 Kf2 13. Kf4 Kg2 14.Nd2 Kh1 15.Kg3 Ki2 16.Nf3 Ki1 17.Kh3 Kh1 18.Bf6 Ki1 19.Nh2 Kh1 20.Bj2 Kg1 21.Ng4 Kf1 22.Kg3 Ke2 23.Nf2 Kd2 24.Bf6 Ke3 25.Bg7 Kd2 26.Kf4 Kc2 27.Ke4 Kd2 28.Bd4 Ke1 29.Nh1 Kf1 30.Kf3 Ke1 31.Be3 Kd1 32.Ke4 Kc2 33.Kd4 Kd1 34.Kd3 Ke1 35.Ng3 Kd1 36.Bc4 Ke1 37.Bd4 Ked 37 Bc3 Kc1 39.Nf5 Kd1 40.Ne3 Kc1 41.Kc4 Kb1 42.Kb3 Kc1 43.Be1 Kb1 44.Bd2 Ka1 45.Nc2 + Kb1 46.Na3 + Ka1 47.Bc3 #

Setelah 23. Nf2, kami memiliki posisi seperti yang ditunjukkan dalam jawaban Andrew (tapi terbalik: W: Kg3, Bj2, Nf2; B: Ke2). Jika kita membuat papan ini 8x8 dengan menghapus kolom a dan b (dan baris 9 dan 10), itu akan menjadi pasangan dalam 14, tapi di sini pasangan dalam 25. Dalam garis optimal di atas, raja hitam tidak pernah benar-benar mencoba melarikan diri ke arah sudut a10. Katakanlah dia melakukannya, dengan 23. ... Kd2 24. Bf6 Kc2 . Langkah ini memperpendek pasangan dengan satu langkah, dengan kelanjutan 25.Kf3 Kb3 26.Ke4 Ka4 27.Kd5 Kb5 28.Bd4 Ka4 29.Kc4 Ka5 30.Kc5 Ka6 31.Kc6 .

Raja hitam hanya bisa melarikan diri sejauh a6, dan akhirnya masih terjebak di sudut a1 yang baik. Sisa kelanjutan ini adalah 31. ... Ka5 32.Nd3 Ka4 33.Kc5 Ka5 34.Nb4 Ka4 35.Kc4 Ka5 36.Be3 Ka4 37.Bb6 Ka3 38.Nd3 Ka4 39.Nb2 Ka3 40.Kc3 Ka2 41. Kc2 Ka3 42.Ba5 Ka2 43.Bb4 Ka1 44.Nd3 + Ka2 45.Nc1 + Ka1 46.Bc3 #

Berikut adalah jumlah gerakan untuk memaksa pasangan pada setiap papan berukuran genap dari 4 hingga 16. 4:15; 6:22; 8:33; 10: 47; 12: 64; 14: 78; 16: 93. Perhatikan bahwa pada papan ukuran apa pun ada beberapa posisi yang ditarik karena hitam dapat memenangkan sepotong segera.

Berikut ini adalah pasangan optimal dalam 92 pada papan 16x16. Posisi awal adalah lagi W: Ka1, Nb1, Bc1; B: Kc2.1.Bb2 Kb3 2.Bi9 Ka4 3.Kb2 Kb5 4.Kc3 Kc6 5.Kd4 Kd7 6.Ke5 Ke8 7.Kf6 Kf8 8.Kg6 Kg8 9.Bg11 Kf9 10.Kh7 Ke10 11.Kg8 Kf11 12.Bi9 Ke10 13. Kh9 Kd11 14.Kg10 Ke10 15.Bg11 Kd9 16.Kf9 Kc10 17.Ke10 Kc11 18.Ke11 Kc12 19.Nd2 Kd13 20.Ne4 Ke14 21.Nf6 Kf13 22.Kf11 Ke14 23.Ke12 Kd15 24.Kd13 Ke16 25.Ke13 K16 ke16 25.Ke13 26.Nd7 Kc16 27.Ne9 Kb15 28.Kd15 Kb14 29.Bf10 + Kb15 30.Nd11 Ka16 31.Nc13 Kb16 32.Kd16 Ka15 33.Kc15 Ka16 34.Kc16 Ka15 35.Na12 + Ka16 36.Nb14 Ka15 37.Nd13 Ka15 37.Nd13 Ka14 38. Nc11 Ka13 39.Bc13 Ka14 40.Kc15 Ka13 41.Kc14 Ka14 42.Bd12 Ka13 43.Na10 Ka12 44.Kc13 Kb11 45.Nc12 Ka12 46.Kc12 Ka13 47.Be11 Ka12 48.Bc12 Ka13 49.Bc15 Ka12 50.Bc15 Ka12 50.Nc11 Ka11 51.Bf12 Ka12 52.Nc13 Ka11 53.Kc11 Ka10 54.Nd11 Ka9 55.Nb10 Kb9 56.Kb11 Ka9 57.Kc10 Ka10 58.Bg13 Ka11 59.Be15 Ka10 60.Nd9 Ka9 61.Bh12 Ka10 62.Nc11 + Ka9 63. Kc9 Ka8 64.Nd9 Kb7 65.Nb8 Ka7 66.Kc8 Ka8 67.Bg11 Ka9 68.Be13 + Ka8 69.Nd7 Ka7 70.Bh10 Ka8 71.Nc9 Ka7 72.Kc7 Ka6 73.Kc6 Ka7 74.Bd6 Ka6 75.Bc5 Ka5 76.Ne8 Ka4 77.Kd5 Kb3 78.Kd4 Kc2 79.Bb4 Kb3 80.Kc4 Kab 81.Kc4 Kb1 82.cc3 83.Nd6 Kd1 84.Kd3 Kc1 85.Nc4 Kd1 86.Ba5 Kc1 87.Bd2 Kb1 88.Kc3 Ka2 89.Kc2 Ka1 90.Kb3 Kb1 91.Na3 + Ka1 92.Bc3 #

Itu panjang, tetapi memainkannya pasti membantu meyakinkan saya bahwa putih bisa memaksa pasangan di papan besar yang sewenang-wenang. Pada fase pertama, raja putih dan uskup dapat mengelilingi raja hitam sambil membeli tempi untuk ksatria putih untuk mengejar ketinggalan. Setelah raja hitam terperangkap di sudut yang buruk (misalnya dalam kasus ini), raja hitam itu dibongkar-bawa dengan file yang hanya memiliki sedikit ruang bernafas. Meskipun prosedur ini secara signifikan lebih rumit daripada manuver W, putih tampaknya selalu dalam kendali penuh.

Mari kita mulai dengan pertanyaan 7x7:

Apakah ada kemenangan yang dipaksakan pada papan 7x7, dengan uskup dengan warna 'salah'?

Ini sepertinya lebih mudah dari dua pertanyaan untuk dijawab. Pertama, yakinkan diri Anda bahwa ini adalah satu-satunya pola kawin (raja hitam juga bisa berada di alun-alun gelap langsung ke kiri):

Poin kuncinya adalah bahwa tidak mungkin bagi putih untuk memaksakan posisi ini. Raja Black akan mengalami kebuntuan pada langkah sebelumnya. Atau, jika raja kulit hitam dipindahkan satu kotak ke kiri, satu-satunya langkah hukum yang bisa dimainkan oleh orang kulit putih adalah dengan memindahkan uskup ke diagonal itu, mengantar pasangan. Jika ini masalahnya, di mana raja kulit hitam sebelum itu? Itu akan berada di f2 (dua ke kiri, satu ke atas). Jadi hitam tidak dipaksa untuk pindah ke sudut dan malah bisa menghindari jodohnya. Untuk menyimpulkan, tidak ada cara untuk memaksa pasangan di sudut yang salah, memperpendek papan tidak mengubah fakta ini.

Sekarang pertanyaan pertama:

Apakah ada kemenangan yang dipaksakan pada papan 10x10?

Dalam hal ini, putih akan memiliki sudut yang tepat, tetapi mari kita asumsikan bahwa putih dapat memaksa raja hitam ke sudut yang salah. Pada papan standar 8x8, putih harus melepaskan raja dari samping untuk beberapa gerakan dalam proses mengemudi raja ke sudut kawin (lihat wikipedia untuk tutorial lengkap). Berikut adalah posisi normal ketika hitam meninggalkan tepi (sementara):

Hitam biasanya bermain ...Kc6dan setelah Bd3!raja tidak memiliki jalan keluar. Pada papan 10x10, bagaimanapun, hitam bisa diputar ...Kb7diikuti oleh ...Ka7dan akhirnya ...Kz6(sebut saja file pertama ke kiri "z"). Putih tidak memiliki cara untuk mendapatkan raja dan kesatria untuk membantu mencegah raja hitam melarikan diri dari ikatan. Jadi sekali lagi, adalah hal yang baik bahwa papan hanya 8x8 kalau tidak uskup dan ksatria tidak akan pernah bisa kawin dengan raja!

_{Penafian: Saya belum membuktikan salah satu pernyataan saya dengan tablebase}

Jelas ada banyak kemenangan yang dipaksakan pada papan mana pun di mana M dan N setidaknya 8 (termasuk M atau N atau keduanya tak terbatas) asalkan ada sudut dengan warna yang sama dengan kotak uskup.

Jika semua bagian dalam sub-papan berwarna kuning dan raja hitam tidak dapat lepas dari segitiga d10-j4-j10, posisinya juga dimenangkan pada papan penuh, karena posisi tersebut dapat (secara optimal) dimenangkan pada sub-papan tersebut. papan tanpa membiarkan raja hitam melarikan diri dari segitiga. Begitu pula untuk papan hijau. Hal yang sama berlaku pada papan MXN.

Tetapi posisi yang dimenangkan sama sekali tidak terbatas pada posisi tersebut. Dalam posisi yang ditunjukkan, misalnya, Putih dapat kawin di paling banyak 33 bergerak melawan pertahanan Hitam. Tentu saja ada persentase yang signifikan dari posisi yang sama.

Tidak ada kemenangan yang dipaksakan jika M dan atau N terlalu kecil. Misalnya tidak ada posisi skakmat di papan 1xN.

Secara tegas ada juga sejumlah kecil kemenangan yang dipaksakan pada papan (cukup besar, yaitu M, N> 2, M + N> 6) papan yang tidak menyertakan sudut dengan warna yang sama dengan kotak uskup tetapi termasuk sudut warna yang berlawanan. Ini termasuk papan 7x7 dengan sudut berwarna "salah" yang Anda tanyakan. Ini juga dimungkinkan di sudut "salah" dari papan mana pun yang menyertakan sudut tersebut. Misalnya di papan 8x8:

1.Ng6 + Kg8 2.Bd5 #

Tidak ada kemenangan di papan yang tidak memiliki sudut, yaitu di mana satu atau kedua belah pihak memperpanjang tanpa batas di kedua arah.

Ada posisi yang ditarik pada berbagai ukuran papan (ini adalah kasus umum di papan yang tidak memiliki sudut warna sama dengan kotak uskup dan di papan di mana satu atau kedua M dan N terlalu kecil dan, saya percaya, di papan di mana M dan N keduanya besar), satu contoh di papan 8x8:

1 ... Kf3 dll.

Posisi yang digambar adalah pengecualian pada papan standar (kurang dari 10% dari semua posisi menurut Nalimov EGTB).

Tapi saya percaya bahwa pada papan 10x10 ada juga pengundian, di mana raja tunggal tidak bisa memaksa penangkapan sepotong, tetapi sisi dengan potongan juga tidak bisa memaksa pasangan. Saya pikir ini menjadi kasus umum untuk M dan N besar karena jelas untuk M dan N aneh dengan uskup berwarna "salah".

Selama papan berisi sudut dengan warna yang sama dengan kotak uskup dan M atau N tetap di 8 atau kurang (tetapi tidak terlalu kecil) pasangan masih akan secara paksa untuk umumnya nilai-nilai terbatas yang lain dan (agak tidak relevan) dalam posisi sebanyak tidak untuk nilai tak terbatas dari yang lain.

Edit:

Setelah membaca posting DanStronger saya pikir komentar saya pada undian dengan pengulangan di papan yang lebih besar salah. Ini didasarkan pada analisis berusia 45 tahun yang saya buat ketika saya pertama kali belajar memainkan akhirnya (rinciannya sekarang kabur) tetapi saya cenderung berpikir analisisnya cacat. Dalam hal ini, persentase pengundian harus benar-benar berkurang seiring dengan meningkatnya ukuran papan.

Saya pikir perbedaan terbesar yang bisa kita buat di sini adalah berapa banyak gerakan yang diperlukan untuk mengawinkan raja. Ada banyak bukti di atas yang membuktikan bahwa adalah mungkin untuk kawin di papan yang hampir tak terhingga (dengan asumsi itu tetap persegi bukan persegi panjang (untuk itu saya tidak tahu)) Dalam sebuah turnamen ada aturan 50 langkah untuk mencegah terlalu lama pertandingan. Dimungkinkan untuk kawin dengan skenario ini pada papan 8x8 dalam batas 50 gerakan tetapi dengan sedikit ruang untuk kesalahan. Semakin besar papan, semakin banyak ruang yang Anda butuhkan untuk memasukkan Raja ke sudut yang menghasilkan 90+ pasangan bergerak.

Untuk meringkas, Selama papan adalah persegi (Panjang = Lebar) maka pasangan KBN vs K dapat dicapai. Saya tidak dapat menjawab jika papan berbentuk persegi panjang, orang lain dapat menjawabnya jika mereka mau atau Anda dapat mengedit pertanyaan Anda!