Sunting: Ini tidak berfungsi karena saya lupa tentang cek yang ditemukan. Namun, saya pikir kemajuan ini penting, jadi saya akan meninggalkan jawabannya di sini.
Pengulangan tidak mungkin.
Pertama, jelas tidak mungkin ada pion bergerak, kastil atau tangkapan.
Selanjutnya, saya mengklaim bahwa tidak ada raja yang bergerak. Untuk membuktikan ini, perhatikan bahwa langkah raja hanya dapat memberikan cek jika itu adalah cek yang ditemukan. Jadi, agar seorang raja bergerak untuk memberi tanda centang, kedua raja harus dalam satu garis, baik vertikal, horizontal, atau diagonal. Mengingat posisi salah satu raja, himpunan kotak yang dapat dimainkan oleh raja lainnya sehingga dapat memberi cek adalah himpunan kotak yang sejalan dengan raja dan bukan kotak yang sama dengan raja atau kotak di sebelah kotak itu. Tidak ada dua bujur sangkar yang bersebelahan, sehingga raja tidak bisa bergerak dari satu kotak ke kotak lainnya dalam satu gerakan. Perhatikan bahwa kuadrat A dan B berada dalam satu garis jika dan hanya jika kuadrat B dan A berada dalam satu garis, maka begitu salah satu raja bergerak, mereka tidak lagi dalam garis, sehingga tidak ada lagi pergerakan raja yang dapat memberi tanda centang. Jadi, ada paling banyak satu langkah raja dalam siklus,
Karena itu, tidak mungkin ada pemeriksaan ksatria, atau raja harus pindah atau ksatria harus ditangkap.
Oleh karena itu, semua gerakan adalah langkah demi langkah, yang berarti mereka semua harus memblokir cek sebelumnya.
Untuk setiap metrik pada himpunan kotak catur, anggaplah benar bahwa, untuk setiap himpunan posisi untuk raja K1 dan K2 dan setiap bujur sangkar A yang berada dalam beberapa garis (vertikal, horizontal, atau diagonal) dengan raja, sembarang kotak yang menghalangi B tidak dapat menambah jumlah jarak dari kotak ke masing-masing raja (yaitu, d (A, K1) + d (A, K2)> = d (B, K1) + d (B, K2 )). Maka jumlah jarak ke setiap kotak raja harus tetap konstan sepanjang siklus.
Mudah untuk memeriksa apakah metrik berikut memenuhi properti itu: d (A, B) = | baris (A) -row (B) | d (A, B) = | kolom (A) -kolom (B) | d (A, B) = | slope1diagonal (A) -slope1diagonal (B) | (Dengan ini saya maksudkan angka diagonal yang sejajar dengan diagonal A1H8 dari 1-15) d (A, B) = | slope-1diagonal (A) -slope-1diagonal (B) | (Sama seperti sebelumnya, tetapi sejajar dengan diagonal lainnya)
Bahkan, mudah untuk melihat bahwa, untuk salah satu dari metrik di atas, jika kotak pemblokiran tidak berada dalam dua garis paralel dari metrik tersebut (misalnya untuk metrik pertama, dalam persegi panjang dengan sisi yang dibuat oleh baris masing-masing raja-raja, dan kolom sisi papan), maka jumlah jarak akan berkurang dengan blok persegi berikutnya. Yang akan menjadi kontradiksi, sehingga kotak pemblokiran dibatasi berada di dalam masing-masing garis paralel yang terikat.
Jika kedua raja berada di baris, kolom, atau diagonal yang sama, menggunakan argumen dari paragraf di atas menunjukkan bahwa semua kotak blok harus di baris, kolom, atau diagonal, jelas tidak mungkin.
Oleh karena itu, jika kita melihat posisi raja sebagai dua simpul yang berlawanan dari sebuah persegi panjang dengan sisi yang sejajar dengan sisi papan, dengan menggunakan dua metrik pertama, semua kotak pemblokiran harus berada di atau pada persegi panjang yang terikat. Menggunakan dua metrik lainnya memungkinkan kami untuk mengecilkan ini ke jajaran genjang.
Perhatikan bahwa satu-satunya kotak blokir yang mungkin adalah persimpangan baris, kolom, dan diagonal melalui masing-masing kotak raja karena mereka harus memberi tanda centang kepada raja lainnya dan memblokir tanda centang. Sangat mudah untuk melihat bahwa selalu ada 2 kotak yang mungkin menghalangi dalam jajaran genjang yang terikat: dua simpul lainnya dari jajaran genjang. Tetapi kemudian, jika kita memiliki satu lembar pengecekan di masing-masing (yang diperlukan), maka tidak ada kotak dari mereka untuk pindah ke memberi cek, kontradiksi.