15

Penguasa Golomb adalah himpunan bilangan bulat non-negatif sehingga tidak ada dua pasang bilangan bulat dalam himpunan yang sama jaraknya.

Misalnya, [0, 1, 4, 6]adalah penggaris Golomb karena semua jarak antara dua bilangan bulat di set ini unik:

0, 1 -> distance 1
0, 4 -> distance 4
0, 6 -> distance 6
1, 4 -> distance 3
1, 6 -> distance 5
4, 6 -> distance 2

Demi kesederhanaan dalam tantangan ini (dan karena penerjemahannya sepele), kami memaksakan bahwa penguasa Golomb selalu berisi angka0 (seperti contoh sebelumnya).

Karena set ini panjang 4, kami mengatakan bahwa ini adalah penguasa ordo Golomb 4. Jarak terbesar di set ini (atau elemen, karena 0selalu di set) adalah 6, oleh karena itu kami mengatakan bahwa ini adalah Penguasa Golomb panjang 6 .

Tugas Anda

Cari Golomb penguasa agar 50 ke 100(inklusif) yang memiliki kecil panjang seperti yang Anda dapat menemukan. Penguasa yang Anda temukan tidak perlu optimal (lihat di bawah).

Optimalitas

Penguasa Golomb N, dikatakan optimal jika tidak ada pengatur Golomb lain Nyang memiliki panjang lebih kecil.

Penguasa Golomb optimal dikenal untuk pesanan kurang dari 28 , meskipun menemukan dan membuktikan optimalitas semakin sulit saat pesanan meningkat.

Oleh karena itu, tidak diharapkan bahwa Anda menemukan penguasa Golomb optimal untuk salah satu perintah di antara 50 dan 100(dan bahkan kurang diharapkan bahwa Anda dapat membuktikan mereka optimal).

Tidak ada batasan waktu dalam pelaksanaan program Anda.

Baseline

Daftar di bawah adalah daftar panjang penguasa Golomb dari 50ke 100(agar) dievaluasi dengan strategi pencarian naif (Terima kasih kepada @PeterTaylor untuk daftar ini):

[4850 5122 5242 5297 5750 5997 6373 6800 6924 7459 7546 7788 8219 8502 8729 8941 9881 10199 10586 10897 11288 11613 11875 12033 12930 13393 14046 14533 14900 15165 15687 15971 16618 17354 17931 18844 19070 19630 19669 20721 21947 22525 23290 23563 23880 24595 24767 25630 26036 26254 27218]

Jumlah dari semua panjang itu adalah 734078 .

Mencetak gol

Skor Anda akan menjadi jumlah dari panjang semua penguasa Golomb Anda di antara 50dan 100, dibagi dengan jumlah panjang penguasa Golomb antara 50dan 100di baseline:734078 .

Jika Anda tidak menemukan penggaris Golomb untuk pesanan tertentu, Anda harus menghitung skor Anda dengan cara yang sama, menggunakan gandakan panjang dalam garis dasar untuk pesanan tertentu.

Jawaban dengan skor terendah menang.

Dalam kasus seri, panjang urutan terbesar di mana dua jawaban berbeda dibandingkan, dan yang terpendek menang. Jika kedua jawaban memiliki panjang yang sama untuk semua pesanan, maka jawaban yang diposting pertama kali menang.

— Fatalisasi
sumber

2

Terkait (Tantangan yang sama dalam 2D.)

— Martin Ender

Dan entri OEIS .

— Martin Ender

Ketika Anda mengatakan penggaris antara 50 dan 100, apakah maksud Anda kisaran [50, 100)? Jadi belum termasuk order 100 penguasa? Karena baseline hanya berisi 50 elemen.

— orlp

1

Catatan: panjang terkecil dari penguasa Golomb nadalah n(n-1)/2, karena itulah berapa banyak perbedaan positif yang ada. Karena itu, skor sekecil mungkin dalam tantangan ini adalah 147050/734078 > 0.2003193.

— Greg Martin

2

@GregMartin Terima kasih, meskipun ini bukan "skor sekecil mungkin", melainkan batas bawah pada skor sekecil mungkin!

— Fatalkan

8

C #, 259421/734078 ~ = 0.3534

Metode

Saya akhirnya menemukan penjelasan yang lebih atau kurang dapat dibaca dari metode bidang proyektif (metode Singer) dalam Konstruksi Set Sidon Generalized , meskipun saya masih berpikir itu bisa sedikit ditingkatkan. Ternyata lebih mirip dengan metode bidang affine (metode Bose) daripada makalah lain yang saya baca telah dikomunikasikan.

$q = p^a$ $F(q)$ menjadi bidang dasar kami.

$F(q^2)$ $g_2$ $F(q^2)$ $k$ $F(q)$

{a : g_{2}^{a} - k g_{2} \in F_{q}}

$\{a : g_2{}^a - k g_2 \in F_q\}$

q^{2} - 1

$q^2 - 1$

q^{2} - 1

$q^2 - 1$

$F(q^3)$ $g_3$ $F(q^3)$ $k$ $F(q)$

{0} \cup {Sebuah : g_{3}^{Sebuah} - k g_{3} \in F_{q}}

$\{0\} \cup \{a : g_3{}^a - k g_3 \in F_q\}$

q^{2} + q + 1

$q^2 + q + 1$

Perhatikan bahwa metode ini di antara mereka memberikan nilai paling dikenal untuk setiap panjang lebih besar dari 16. Tomas Rokicki dan Gil Dogon menawarkan hadiah $ 250 untuk siapa saja yang mengalahkan mereka untuk panjang 36 hingga 40000. Oleh karena itu siapa pun yang mengalahkan jawaban ini untuk uang hadiah.

Kode

C # tidak terlalu idiomatis, tetapi saya perlu mengkompilasi dengan versi Mono yang lama. Selain argumen yang memeriksa, ini bukan kode kualitas produksi. Saya tidak senang dengan tipenya, tapi saya rasa tidak ada solusi yang sangat bagus untuk itu di C #. Mungkin dalam F # atau C ++ dengan templating gila.

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;

namespace Sandbox {
    class Program {
        static void Main(string[] args) {
            var winners = ComputeRulerRange(50, 100);
            int total = 0;
            for (int i = 50; i <= 100; i++) {
                Console.WriteLine("{0}:\t{1}", i, winners[i][i - 1]);
                total += winners[i][i - 1];
            }
            Console.WriteLine("\t{0}", total);
        }

        static IDictionary<int, int[]> ComputeRulerRange(int min, int max) {
            var best = new Dictionary<int, int[]>();

            var naive = Naive(max);
            for (int i = min; i <= max; i++) best[i] = naive.Take(i).ToArray();

            var finiteFields = FiniteFields(max * 11 / 10).OrderBy(x => x.Size).ToArray();

            // The projective plane method generates rulers of length p^a + 1 for prime powers p^a.
            // We can then look at subrulers for a reasonable range, say down to two prime powers below.
            for (int ppi = 0; ppi < finiteFields.Length; ppi++) {
                // Range under consideration
                var field = finiteFields[ppi];
                int q = field.Size;
                int subFrom = Math.Max(min, ppi >= 2 ? finiteFields[ppi - 2].Size : 1);
                int subTo = Math.Min(max, q + 1);
                if (subTo < subFrom) continue;

                int m = q * q + q + 1;
                foreach (var ruler in ProjectiveRulers(field)) {
                    for (int sub = subFrom; sub <= subTo; sub++) {
                        var subruler = BestSubruler(ruler, sub, m);
                        if (subruler[sub - 1] < best[sub][sub - 1]) best[sub] = subruler;
                    }
                }
            }

            // Similarly for the affine plane method, which generates rulers of length p^a for prime powers p^a
            for (int ppi = 0; ppi < finiteFields.Length; ppi++) {
                // Range under consideration
                var field = finiteFields[ppi];
                int q = field.Size;
                int subFrom = Math.Max(min, ppi >= 2 ? finiteFields[ppi - 2].Size : 1);
                int subTo = Math.Min(max, q);
                if (subTo < subFrom) continue;

                int m = q * q - 1;
                foreach (var ruler in AffineRulers(field)) {
                    for (int sub = subFrom; sub <= subTo; sub++) {
                        var subruler = BestSubruler(ruler, sub, m);
                        if (subruler[sub - 1] < best[sub][sub - 1]) best[sub] = subruler;
                    }
                }
            }

            return best;
        }

        static int[] BestSubruler(int[] ruler, int sub, int m) {
            int[] expand = new int[ruler.Length + sub - 1];
            for (int i = 0; i < ruler.Length; i++) expand[i] = ruler[i];
            for (int i = 0; i < sub - 1; i++) expand[ruler.Length + i] = ruler[i] + m;

            int best = m, bestIdx = -1;
            for (int i = 0; i < ruler.Length; i++) {
                if (expand[i + sub - 1] - expand[i] < best) {
                    best = expand[i + sub - 1] - expand[i];
                    bestIdx = i;
                }
            }

            return expand.Skip(bestIdx).Take(sub).Select(x => x - ruler[bestIdx]).ToArray();
        }

        static IEnumerable<int[]> ProjectiveRulers(FiniteField field) {
            var q = field.Size;
            var fq3 = PowerField.Create(field, 3);
            var m = q * q + q + 1;
            var g = fq3.Generators.First();

            // Define the set T<k> = {0} \union {a \in [q^3-1] : g^a - kg \in F(q)} for 0 != k \in F(q)
            // This could alternatively be T<k> = {0} \union {log_g(b - kg) : b in F(q)} for 0 != k \in F(q)
            // Then T<k> % (q^2 + q + 1) gives a Golomb ruler.
            // For a given generator we seem to get the same ruler for every k.
            var t_k = new HashSet<int>();
            t_k.Add(0);
            var ga = fq3.One;
            for (int a = 1; a < fq3.Size; a++) {
                ga = ga * g;
                if (fq3.Convert(ga + g) < q) t_k.Add(a % m);
            }

            // TODO: optimise by detecting duplicates
            for (int s = 1; s < m; s++) {
                if (Gcd(s, m) == 1) yield return t_k.Select(x => x * s % m).OrderBy(x => x).ToArray();
            }
        }

        static IEnumerable<int[]> AffineRulers(FiniteField field) {
            var q = field.Size;
            var fq2 = PowerField.Create(field, 2);
            var m = q * q - 1;
            var g = fq2.Generators.First();

            // Define the set T<k> = {0} \union {a \in [q^2-1] : g^a - kg \in F(q)} for 0 != k \in F(q)
            // Then T<k> % (q^2 - 1) gives a Golomb ruler.
            var t_k = new HashSet<int>();
            var ga = fq2.One;
            for (int a = 1; a < fq2.Size; a++) {
                ga = ga * g;
                if (fq2.Convert(ga + g) < q) t_k.Add(a % m);
            }

            // TODO: optimise by detecting duplicates
            for (int s = 1; s < m; s++) {
                if (Gcd(s, m) == 1) yield return t_k.Select(x => x * s % m).OrderBy(x => x).ToArray();
            }
        }

        static int Gcd(int a, int b) {
            while (a != 0) {
                var t = b % a;
                b = a;
                a = t;
            }

            return b;
        }

        static int[] Naive(int size) {
            if (size == 0) return new int[0];
            if (size == 1) return new int[] { 0 };

            int[] ruler = new int[size];
            var diffs = new HashSet<int>();
            int i = 1, c = 1;
            while (true) {
                bool valid = true;
                for (int j = 0; j < i; j++) {
                    if (diffs.Contains(c - ruler[j])) { valid = false; break; }
                }

                if (valid) {
                    for (int j = 0; j < i; j++) diffs.Add(c - ruler[j]);
                    ruler[i++] = c;
                    if (i == size) return ruler;
                }

                c++;
            }
        }

        static IEnumerable<FiniteField> FiniteFields(int max) {
            bool[] isComposite = new bool[max + 1];
            for (int p = 2; p < isComposite.Length; p++) {
                if (!isComposite[p]) {
                     FiniteField baseField = new PrimeField(p); yield return baseField;
                    for (int pp = p * p, pow = 2; pp < max; pp *= p, pow++) yield return PowerField.Create(baseField, pow);
                    for (int pq = p * p; pq <= max; pq += p) isComposite[pq] = true;
                }
            }
        }
    }

    public abstract class FiniteField {
        private Lazy<FiniteFieldElement> _Zero;
        private Lazy<FiniteFieldElement> _One;

        public FiniteFieldElement Zero { get { return _Zero.Value; } }
        public FiniteFieldElement One { get { return _One.Value; } }
        public IEnumerable<FiniteFieldElement> Generators {
            get {
                for (int _g = 1; _g < Size; _g++) {
                    int pow = 0;
                    FiniteFieldElement g = Convert(_g), gpow = One;
                    while (true) {
                        pow++;
                        gpow = gpow * g;
                        if (gpow == One) break;
                        if (pow > Size) {
                            throw new Exception("Is this really a field? " + this);
                        }
                    }
                    if (pow == Size - 1) yield return g;
                }
            }
        }

        public abstract int Size { get; }
        internal abstract FiniteFieldElement Convert(int i);
        internal abstract int Convert(FiniteFieldElement f);

        internal abstract bool Eq(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b);
        internal abstract FiniteFieldElement Negate(FiniteFieldElement a);
        internal abstract FiniteFieldElement Add(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b);
        internal abstract FiniteFieldElement Mul(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b);

        protected FiniteField() {
            _Zero = new Lazy<FiniteFieldElement>(() => Convert(0));
            _One = new Lazy<FiniteFieldElement>(() => Convert(1));
        }
    }

    public abstract class FiniteFieldElement {
        internal abstract FiniteField Field { get; }

        public static FiniteFieldElement operator -(FiniteFieldElement a) {
            return a.Field.Negate(a);
        }

        public static FiniteFieldElement operator +(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != b.Field) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");
            return a.Field.Add(a, b);
        }

        public static FiniteFieldElement operator *(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != b.Field) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");
            return a.Field.Mul(a, b);
        }

        public static bool operator ==(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (Equals(a, null)) return Equals(b, null);
            else if (Equals(b, null)) return false;

            if (a.Field != b.Field) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");
            return a.Field.Eq(a, b);
        }

        public static bool operator !=(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) { return !(a == b); }

        public override bool Equals(object obj) {
            return (obj is FiniteFieldElement) && (obj as FiniteFieldElement).Field == Field && this == (obj as FiniteFieldElement);
        }

        public override int GetHashCode() { return Field.Convert(this).GetHashCode(); }

        public override string ToString() { return Field.Convert(this).ToString(); }
    }

    public class PrimeField : FiniteField {
        private readonly int _Prime;
        private readonly PrimeFieldElement[] _Featherweight;

        internal int Prime { get { return _Prime; } }
        public override int Size { get { return _Prime; } }

        public PrimeField(int prime) {
            if (prime < 2) throw new ArgumentOutOfRangeException("prime");

            // TODO A primality test would be nice...

            _Prime = prime;
            _Featherweight = new PrimeFieldElement[Math.Min(prime, 256)];
        }

        internal override FiniteFieldElement Convert(int i) {
            if (i < 0 || i >= _Prime) throw new ArgumentOutOfRangeException("i");
            if (i >= _Featherweight.Length) return new PrimeFieldElement(this, i);
            if (Equals(_Featherweight[i], null)) _Featherweight[i] = new PrimeFieldElement(this, i);
            return _Featherweight[i];
        }

        internal override int Convert(FiniteFieldElement f) {
            if (f == null) throw new ArgumentNullException("f");
            if (f.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("f");

            return (f as PrimeFieldElement).Value;
        }

        internal override bool Eq(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            return (a as PrimeFieldElement).Value == (b as PrimeFieldElement).Value;
        }

        internal override FiniteFieldElement Negate(FiniteFieldElement a) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            var fa = a as PrimeFieldElement;
            return fa.Value == 0 ? fa : Convert(_Prime - fa.Value);
        }

        internal override FiniteFieldElement Add(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            return Convert(((a as PrimeFieldElement).Value + (b as PrimeFieldElement).Value) % _Prime);
        }

        internal override FiniteFieldElement Mul(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            return Convert(((a as PrimeFieldElement).Value * (b as PrimeFieldElement).Value) % _Prime);
        }

        public override string ToString() { return string.Format("F({0})", _Prime); }
    }

    internal class PrimeFieldElement : FiniteFieldElement {
        private readonly PrimeField _Field;
        private readonly int _Value;

        internal override FiniteField Field { get { return _Field; } }
        internal int Value { get { return _Value; } }

        internal PrimeFieldElement(PrimeField field, int val) {
            if (field == null) throw new ArgumentNullException("field");
            if (val < 0 || val >= field.Prime) throw new ArgumentOutOfRangeException("val");

            _Field = field;
            _Value = val;
        }
    }

    public class PowerField : FiniteField {
        private readonly FiniteField _BaseField;
        private readonly FiniteFieldElement[] _Polynomial;

        internal FiniteField BaseField { get { return _BaseField; } }
        internal int Power { get { return _Polynomial.Length; } }
        public override int Size { get { return (int)Math.Pow(_BaseField.Size, Power); } }

        public PowerField(FiniteField baseField, FiniteFieldElement[] polynomial) {
            if (baseField == null) throw new ArgumentNullException("baseField");
            if (polynomial == null) throw new ArgumentNullException("polynomial");
            if (polynomial.Length < 2) throw new ArgumentOutOfRangeException("polynomial");
            for (int i = 0; i < polynomial.Length; i++) if (polynomial[i].Field != baseField) throw new ArgumentOutOfRangeException("polynomial[" + i + "]");

            // TODO Check that the polynomial is irreducible over the base field.

            _BaseField = baseField;
            _Polynomial = polynomial.ToArray();
        }

        internal override FiniteFieldElement Convert(int i) {
            if (i < 0 || i >= Size) throw new ArgumentOutOfRangeException("i");

            var vec = new FiniteFieldElement[Power];
            for (int j = 0; j < vec.Length; j++) {
                vec[j] = BaseField.Convert(i % BaseField.Size);
                i /= BaseField.Size;
            }

            return new PowerFieldElement(this, vec);
        }

        internal override int Convert(FiniteFieldElement f) {
            if (f == null) throw new ArgumentNullException("f");
            if (f.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("f");

            var pf = f as PowerFieldElement;
            int i = 0;
            for (int j = Power - 1; j >= 0; j--) i = i * BaseField.Size + BaseField.Convert(pf.Value[j]);
            return i;
        }

        internal override bool Eq(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            var fa = a as PowerFieldElement;
            var fb = b as PowerFieldElement;
            for (int i = 0; i < Power; i++) if (fa.Value[i] != fb.Value[i]) return false;
            return true;
        }

        internal override FiniteFieldElement Negate(FiniteFieldElement a) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            return new PowerFieldElement(this, (a as PowerFieldElement).Value.Select(x => -x).ToArray());
        }

        internal override FiniteFieldElement Add(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            var fa = a as PowerFieldElement;
            var fb = b as PowerFieldElement;
            var vec = new FiniteFieldElement[Power];
            for (int i = 0; i < Power; i++) vec[i] = fa.Value[i] + fb.Value[i];
            return new PowerFieldElement(this, vec);
        }

        internal override FiniteFieldElement Mul(FiniteFieldElement a, FiniteFieldElement b) {
            if (a.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("a");
            if (b.Field != this) throw new ArgumentOutOfRangeException("b");

            var fa = a as PowerFieldElement;
            var fb = b as PowerFieldElement;

            // We consider fa and fb as polynomials of a variable x and multiply modulo (x^Power - _Polynomial).
            // But to keep things simple we want to manage the cascading modulo.
            var vec = Enumerable.Repeat(BaseField.Zero, Power).ToArray();
            var fa_xi = fa.Value.ToArray();
            for (int i = 0; i < Power; i++) {
                for (int j = 0; j < Power; j++) vec[j] += fb.Value[i] * fa_xi[j];
                if (i < Power - 1) ShiftLeft(fa_xi);
            }

            return new PowerFieldElement(this, vec);
        }

        private void ShiftLeft(FiniteFieldElement[] vec) {
            FiniteFieldElement head = vec[vec.Length - 1];
            for (int i = vec.Length - 1; i > 0; i--) vec[i] = vec[i - 1] + head * _Polynomial[i];
            vec[0] = head * _Polynomial[0];
        }

        public static FiniteField Create(FiniteField baseField, int power) {
            if (baseField == null) throw new ArgumentNullException("baseField");
            if (power < 2) throw new ArgumentOutOfRangeException("power");

            // Since the field is cyclic, there is only one finite field of a given prime power order (up to isomorphism).
            // For most practical purposes that means that we can pick any arbitrary monic irreducible polynomial.
            // We can abuse PowerField to do polynomial multiplication in the base field.
            var fakeField = new PowerField(baseField, Enumerable.Repeat(baseField.Zero, power).ToArray());
            var excluded = new HashSet<FiniteFieldElement>();
            for (int lpow = 1; lpow <= power / 2; lpow++) {
                int upow = power - lpow;
                // Consider all products of a monic polynomial of order lpow with a monic polynomial of order upow.
                int xl = (int)Math.Pow(baseField.Size, lpow);
                int xu = (int)Math.Pow(baseField.Size, upow);
                for (int i = xl; i < 2 * xl; i++) {
                    var pi = fakeField.Convert(i);
                    for (int j = xu; j < 2 * xu; j++) {
                        var pj = fakeField.Convert(j);
                        excluded.Add(-(pi * pj));
                    }
                }
            }

            for (int p = baseField.Size; true; p++) {
                var pp = fakeField.Convert(p) as PowerFieldElement;
                if (!excluded.Contains(pp)) return new PowerField(baseField, pp.Value.ToArray());
            }
        }

        public override string ToString() {
            var sb = new System.Text.StringBuilder();
            sb.AppendFormat("GF({0}) with primitive polynomial x^{1} ", Size, Power);
            for (int i = Power - 1; i >= 0; i--) sb.AppendFormat("+ {0}x^{1}", _Polynomial[i], i);
            sb.AppendFormat(" over base field ");
            sb.Append(_BaseField);
            return sb.ToString();
        }
    }

    internal class PowerFieldElement : FiniteFieldElement {
        private readonly PowerField _Field;
        private readonly FiniteFieldElement[] _Vector; // The version of Mono I have doesn't include IReadOnlyList<T>

        internal override FiniteField Field { get { return _Field; } }
        internal FiniteFieldElement[] Value { get { return _Vector; } }

        internal PowerFieldElement(PowerField field, params FiniteFieldElement[] vector) {
            if (field == null) throw new ArgumentNullException("field");
            if (vector == null) throw new ArgumentNullException("vector");
            if (vector.Length != field.Power) throw new ArgumentOutOfRangeException("vector");
            for (int i = 0; i < vector.Length; i++) if (vector[i].Field != field.BaseField) throw new ArgumentOutOfRangeException("vector[" + i + "]");

            _Field = field;
            _Vector = vector.ToArray();
        }
    }
}

Hasil

Sayangnya menambahkan penggaris akan membawa saya sekitar 15k karakter melewati batas ukuran posting, jadi mereka menggunakan pastebin .

— Peter Taylor
sumber

Apakah Anda akan berbaik hati memposting penggaris Anda untuk [50, 100] di suatu tempat? Saya memiliki algoritma genetika yang ingin saya coba, memberinya beberapa nilai benih.

— orlp

@ orlp, menambahkan tautan.

— Peter Taylor

2

Seperti yang saya duga, algoritma evolusi tidak dapat mengekstraksi dari spesimen superior ini. Meskipun pada awalnya kelihatannya algoritma evolusioner dapat bekerja (cukup banyak langsung bergerak dari penguasa yang tidak valid ke penguasa yang sebenarnya), ada terlalu banyak struktur global yang diperlukan agar algoritma evolusi bekerja.

— orlp

5

Python 3, skor 603001/734078 = 0.82144

Pencarian naif dikombinasikan dengan konstruksi Erd – Turan:

2 hal k + (k^{2} mod hal), k \in [0, hal - 1]

$2pk + (k^2\bmod p),\, k \in [0, p-1]$

Untuk bilangan prima p, ini memberikan penguasa golomb optimal asimptotik.

def isprime(n):
    if n < 2: return False
    if n % 2 == 0: return n == 2
    k = 3
    while k*k <= n:
         if n % k == 0: return False
         k += 2
    return True

rulers = []
ruler = []
d = set()
n = 0
while len(ruler) <= 100:
    order = len(ruler) + 1
    if order > 2 and isprime(order):
        ruler = [2*order*k + k*k%order for k in range(order)]
        d = {a-b for a in ruler for b in ruler if a > b}
        n = max(ruler) + 1
        rulers.append(tuple(ruler))
        continue

    nd = set(n-e for e in ruler)
    if not d & nd:
        ruler.append(n)
        d |= nd
        rulers.append(tuple(ruler))
    n += 1


isuniq = lambda l: len(l) == len(set(l))
isruler = lambda l: isuniq([a-b for a in l for b in l if a > b])

assert all(isruler(r) for r in rulers)

rulers = list(sorted([r for r in rulers if 50 <= len(r) <= 100], key=len))
print(sum(max(r) for r in rulers))

— orlp
sumber

Saya tidak berpikir konstruksi ini asimtotik optimal: ia menghasilkan penguasa Golomb dengan urutan pdan panjang sekitar 2p^2, sedangkan ada penguasa Golomb ketertiban ndan panjang tentang n^2asimptotik.

— Greg Martin

@GregMartin Asimptotik tidak ada perbedaan antara 2p^2dan p^2.

— orlp

Tergantung pada definisi Anda tentang "tanpa gejala", saya kira, tetapi bagi saya, dalam konteks ini mereka sangat berbeda.

— Greg Martin

3

Mathematica, skor 276235/734078 <0,376302

ruzsa[p_, i_] := Module[{g = PrimitiveRoot[p]},
  Table[ChineseRemainder[{t, i PowerMod[g, t, p]}, {p - 1, p}], {t, 1, p - 1}] ]

reducedResidues[m_] := Select[Range@m, CoprimeQ[m, #] &]

rotate[set_, m_] := Mod[set - #, m] & /@ set

scaledRuzsa[p_] := Union @@ Table[ Sort@Mod[a b, p (p - 1)],
  {a, reducedResidues[p (p - 1)]}, {b, rotate[ruzsa[p, 1], p (p - 1)]}]

manyRuzsaSets = Join @@ Table[scaledRuzsa[Prime[n]], {n, 32}];

tryGolomb[set_, k_] := If[Length[set] < k, Nothing, Take[set, k]]

Table[First@MinimalBy[tryGolomb[#, k] & /@ manyRuzsaSets, Max], {k, 50, 100}]

Fungsi ruzsamengimplementasikan konstruksi penguasa Golobm (juga disebut set Sidon) yang ditemukan di Imre Z. Ruzsa. Memecahkan persamaan linear dalam satu set bilangan bulat. I. Acta Arith., 65 (3): 259–282, 1993 . Diberikan prima p, konstruksi ini menghasilkan penguasa Golomb dengan p-1elemen yang terkandung dalam bilangan bulat modulo p(p-1)(itu adalah kondisi yang bahkan lebih kuat daripada menjadi penguasa Golomb dalam bilangan bulat itu sendiri).

Keuntungan lain dari bekerja dalam bilangan bulat modulo madalah bahwa setiap penguasa Golomb dapat diputar (konstanta yang sama ditambahkan ke semua elemen modulo m), dan diskalakan (semua elemen dikalikan dengan konstanta yang sama, selama konstanta itu relatif prima m), dan hasilnya masih penguasa Golomb; terkadang bilangan bulat terbesar berkurang secara signifikan dengan melakukannya. Jadi fungsi scaledRuzsamencoba semua pengukuran ini dan mencatat hasilnya. manyRuzsaSetsberisi hasil melakukan konstruksi ini dan penskalaan untuk semua 32 bilangan prima pertama (dipilih sedikit sewenang-wenang, tetapi perdana ke-32, 131, jauh lebih besar dari 100); ada hampir 57.000 penguasa Golomb di set ini, yang membutuhkan beberapa menit untuk dihitung.

Tentu saja, kelemen pertama penguasa Golomb itu sendiri membentuk penguasa Golomb. Jadi fungsinya tryGolombmelihat penggaris yang dibuat dari set yang dihitung di atas. Baris terakhir Table...memilih penguasa Golomb terbaik yang dapat, dari setiap urutan dari 50hingga 100, dari semua penguasa Golomb yang ditemukan dengan cara ini.

Panjang yang ditemukan adalah:

{2241, 2325, 2399, 2578, 2640, 2762, 2833, 2961, 3071, 3151, 3194, 3480, 3533, 3612, 3775, 3917, 4038, 4150, 4237, 4368, 4481, 4563, 4729, 4974, 5111, 5155, 5297, 5504, 5583, 5707, 5839, 6077, 6229, 6480, 6611, 6672, 6913, 6946, 7025, 7694, 7757, 7812, 7969, 8139, 8346, 8407, 8678, 8693, 9028, 9215, 9336}

Saya awalnya akan menggabungkan ini dengan dua konstruksi lainnya, yaitu Singer dan Bose; tetapi tampaknya jawaban Peter Taylor telah menerapkan ini, jadi mungkin saya hanya akan memulihkan panjang itu.

— Greg Martin
sumber

Saya bingung dengan klaim Anda bahwa bekerja di modulo integer mAnda dapat memutar / skala secara bebas. Lihatlah [0, 1, 4, 6]mod 7. Jika saya menambahkan 1 kita dapatkan [0, 1, 2, 5], yang bukan merupakan penguasa Golomb.

— orlp

Itu karena Anda harus mulai dengan penguasa mod-7 Golomb agar dapat berfungsi. [0, 1, 4, 6]bukan penguasa mod-7 Golomb karena 1 – 0sama dengan 0 – 6modulo 7, misalnya.

— Greg Martin

1

Sementara saya menulis dan men-debug implementasi bidang terbatas saya di C # Saya berharap saya tahu Mathematica lebih baik. Jelas salah satu bahasa yang tepat untuk pekerjaan itu.

— Peter Taylor

Temukan penguasa Golomb terpendek

Tugas Anda

Optimalitas

Baseline

Mencetak gol

C #, 259421/734078 ~ = 0.3534

Metode

Kode

Hasil

Python 3, skor 603001/734078 = 0.82144

Mathematica, skor 276235/734078 <0,376302