Chebyshev Polynomials adalah keluarga polinomial ortogonal yang muncul di semua jenis tempat dalam matematika, dan mereka memiliki banyak sifat yang cukup menarik. Salah satu karakterisasi dari mereka adalah bahwa mereka adalah polinomial unik yang memuaskan .T_n(cos(x)) = cos(n*x)

Tantangan

Diberikan bilangan bulat negatif n, Anda harus menampilkan nPolinomial-Chebyshev. .T_n(x)

Definisi

The n-th Chebyshev Polinomial diberikan dengan mengikuti tiga istilah rekursi:

T₀(x) = 1
T₁(x) = x
T_n+1(x) = 2*x*T_n(x) - T_n-1(x)

Detail

Jika bahasa Anda memiliki tipe polinomial asli, Anda dapat menggunakannya sebagai output, jika tidak, Anda harus menampilkan daftar koefisien dalam urutan naik atau turun, atau sebagai string yang mewakili polinomial.

Contohnya

T₀(x) = 1
T₁(x) = x 
T₂(x) = 2x^2 - 1
T₃(x) = 4x^3 - 3 x
T₄(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
T₅(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x
T₁₀(x) = 512x^10 - 1280x^8 + 1120x^6 - 400x^4 + 50x^2 - 1

Dalam format daftar derajat menurun kita akan mendapatkan dan dalam format derajat naik kita akan mendapatkanT₃(x) = [4,0,-3,0]T₃(x) = [0,-3,0,4]

— cacat
sumber

Jika saya mengeluarkan daftar, dapatkah saya mengeluarkan 0 1(yaitu 0*x+1) untuk T_0?

— Luis Mendo

Selama urutan monomial konsisten itu ok!

— flawr

@ flawr tidak 2*x*(2*x**2 - 1) - xapa-apa sebagai output untuk 3 untuk bahasa dukungan polynom, atau apakah kita memerlukan representasi sebagai desc coeffs?

— Uriel

11

Diskusi meta tentang topik judul bahasa Inggris

— Mego

2

Apakah ketidaktepatan titik apung dapat diterima? yaituT_5(n) = [0, 5, 3.55271e-15, -20, 0, 16]

— mil

15

Mathematica, 15 byte

#~ChebyshevT~x&

Tentu saja, Mathematica memiliki builtin.

Jika formulir input alternatif diizinkan (10 byte):

ChebyshevT

mengambil bilangan bulat ndan variabel.

— JungHwan Min
sumber

3

Tidak bisa menebak, ya. : P

— HyperNeutrino

14

Oktaf , 39 byte

@(n)round(2^n/2*poly(cos((.5:n)/n*pi)))

Cobalah online!

Penjelasan

cos((.5:n)/n*pi)membangun vektor dengan akar polinomial , yang diberikan oleh

polymemberikan polinomial monik dengan akar tersebut. Mengalikan dengan 2^n/2skala koefisien sesuai kebutuhan. roundmemastikan bahwa hasilnya bilangan bulat meskipun presisi numerik.

— Luis Mendo
sumber

1

Pintar seperti biasa :)

— flawr

11

Pari / GP , 12 byte

Ya, builtin. Lebih pendek dari Mathematica.

polchebyshev

Cobalah online!

Tanpa builtin:

Pari / GP , 34 byte

f(n)=if(n<2,x^n,2*x*f(n-1)-f(n-2))

Cobalah online!

— alephalpha
sumber

Apakah polchebyshevhanya mengambil satu input dan mengembalikan polinomial?

— JungHwan Min

@JungHwanMin Ya. xadalah tak tentu default.

— alephalpha

10

Haskell , 62 byte

t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:0:t(n-2)

Cobalah online!

flawr menyimpan satu byte.

— Lynn
sumber

Ini sangat elegan! (Saya selalu lupa tentang zipWithoperasi vektor.)

— flawr

1

Saya pikir Anda bahkan dapat menyimpan satu byte lagi dengan menggunakan penjaga t n|n<2=1:[0|n>0]|x<-(*2)<$>t(n-1)++[0]=zipWith(-)x$0:t(n-2)

— :, dengan

Saya pikir Anda harus berubah 0:menjadi 0:0:- OP hanya melarang semacam ini nol.

— Ørjan Johansen

7

CJam (21 byte)

1a2,qi{0X$+2f*@.-}*;`

Ini adalah program lengkap: ekuivalen dengan blok anonim sama panjangnya:

{1a2,@{0X$+2f*@.-}*;}

Demo online

— Peter Taylor
sumber

6

Python + SymPy , 66 byte

from sympy.abc import*
T=lambda n:n<2and x**n or 2*x*T(n-1)-T(n-2)

Cobalah online!

Dengan representasi koefisien turun

from sympy import*
x=symbols('x')
T=lambda n:n<2and x**n or expand(2*x*T(n-1)-T(n-2))

Cobalah online!

— Uriel
sumber

[1,x][n]->x**n

— alephalpha

5

SageMath, 25 byte

lambda n:chebyshev_T(n,x)

Cobalah online

— Mego
sumber

5

MATL , 17 byte

lFTi:"0yhEbFFh-]x

Koefisien adalah output dalam urutan peningkatan derajat.

Cobalah online! Atau verifikasi semua kasus uji .

Penjelasan

Untuk input n , kode ini menerapkan relasi rekursif n kali. Dua polinomial terbaru selalu disimpan di tumpukan. Ketika polinomial baru dihitung, yang tertua dihapus.

Pada akhirnya, polinomial kedua terakhir ditampilkan (polinomial terakhir dihapus), karena kami telah melakukan satu iterasi yang terlalu banyak.

l        % Push 1
FT       % Push [0 1]. These are the first two polynomials
i:"      % Input n. Do the following n times
  0      %   Push 0
  y      %   Duplicate most recent polynomial
  h      %   Concatenate: prepends 0 to that polynomial
  E      %   Multiply coefficients by 2
  b      %   Bubble up. This moves second-most recent polynomial to top
  FF     %   Push [0 0]
  h      %   Concatenate: appends [0 0] to that polynomial
  -      %   Subtract coefficients
]        % End
x        % Delete. Implicitly display

— Luis Mendo
sumber

4

Jelly , 18 byte

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?

Cobalah online!

Mengembalikan daftar koefisien dalam urutan menaik.

Ada solusi lain untuk 17 byte dengan ketidakakuratan floating-point.

RḤ’÷Ḥ-*ḞÆṛæ«’µ1Ṡ?

Cobalah online!

Penjelasan

Cr1µ’ßḤ0;_’’$ß$µỊ?  Input: integer n
                Ị   Insignificant - abs(n) <= 1
                    If true, n = 0 or n = 1
   µ                  Monadic chain
C                       Complement, 1-x
 r1                     Range to 1
                    Else
               µ      Monadic chain
    ’                   Decrement
     ß                  Call itself recursively
      Ḥ                 Double
       0;               Prepend 0
         _              Subtract with
            $             Monadic chain
          ’’                Decrement twice
              $           Monadic chain
             ß              Call itself recursively

— mil
sumber

14 byte

— Leaky Nun

2

Ruby + polinomial , 59 58 + 13 = 72 71 byte

Menggunakan -rpolynomialbendera.

f=->n{x=Polynomial.new 0,1;n<2?[1,x][n]:2*x*f[n-1]-f[n-2]}

— Nilai Tinta
sumber

2

J , 33 byte

(0>.<:)2&*1:p.@;9:o._1^+:%~1+2*i.

Cobalah online!

Diasumsikan bahwa ketidakakuratan titik mengambang dapat diterima dan menciptakan emoji (0>.<:)

Untuk 41 byte , ada solusi lain yang menghindari mengapung.

(0&,1:)`(-&2((-,&0 0)~2*0&,)&$:<:)@.(>&1)

Cobalah online!

— mil
sumber

2

Python 2 , 79 byte

f=lambda n:n>1and[2*a-b for a,b in zip([0]+f(n-1),f(n-2)+[0,0])]or range(1-n,2)

Cobalah online!

— Chas Brown
sumber

2

Aksioma, 40 byte

f(n,x)==(n<2=>x^n;2*x*f(n-1,x)-f(n-2,x))

hasil

(9) -> for i in [0,1,2,3,4,5,10] repeat output ["f(y)",i,"=", f(i,y)]
   ["f(y)",0,"=",1]
   ["f(y)",1,"=",y]
                   2
   ["f(y)",2,"=",2y  - 1]
                   3
   ["f(y)",3,"=",4y  - 3y]
                   4     2
   ["f(y)",4,"=",8y  - 8y  + 1]
                    5      3
   ["f(y)",5,"=",16y  - 20y  + 5y]
                      10        8        6       4      2
   ["f(y)",10,"=",512y   - 1280y  + 1120y  - 400y  + 50y  - 1]
                                                               Type: Void

dimungkinkan mendefinisikan satu hukum substitusi untuk rumus dalam Aksioma penggunaan fungsi f () untuk ekspansi cos (n * x) di mana n adalah satu bilangan bulat

(9) -> o:=rule cos(n*%y)==f(n,cos(%y))
   (9)  cos(%y n) == 'f(n,cos(%y))
                    Type: RewriteRule(Integer,Integer,Expression Integer)
                                                              Time: 0 sec
(10) -> b:=o cos(20*x)
   (10)
                 20                18                16                14
     524288cos(x)   - 2621440cos(x)   + 5570560cos(x)   - 6553600cos(x)
   +
                  12                10               8              6
     4659200cos(x)   - 2050048cos(x)   + 549120cos(x)  - 84480cos(x)
   +
               4            2
     6600cos(x)  - 200cos(x)  + 1
                                                 Type: Expression Integer
                       Time: 0.48 (EV) + 0.02 (OT) + 0.10 (GC) = 0.60 sec

— RosLuP
sumber

1

C # (.NET Core) , 126 byte

f=n=>n==0?new[]{1}:n==1?new[]{0,1}:new[]{0}.Concat(f(n-1)).Select((a,i)=>2*a-(i<n-1?f(n-2)[i]:0)).ToArray();

Hitungan byte juga mencakup:

using System.Linq;

Cobalah online!

Fungsi mengembalikan polinomial sebagai array koefisien dalam urutan menaik (dari x^0ke x^n)

Penjelasan:

f = n =>                          // Create a function taking one parameter (int)
    n == 0 ? new[] { 1 } :        // If it's 0, return collection [1]
    n == 1 ? new[] { 0, 1 } :     // If it's 1, return collection [0,1] (so x + 0)
    new[] { 0 }                   // Else create new collection, starting with 0
        .Concat(f(n - 1))         // Concatenate with f(n-1), effectively multiplying polynomial by x
        .Select((a, i) => 2 * a - (i < n - 1 ? f(n - 2)[i] : 0))
                                  // Multiply everything by 2 and if possible, subtract f(n-2)
        .ToArray();               // Change collection to array so we have a nice short [] operator
                                  // Actually omitting this and using .ElementAt(i) is the same length, but this is my personal preference

— Grzegorz Puławski
sumber

1

JavaScript (ES6), 65 byte

f=n=>n?n>1?[0,...f(n-1)].map((e,i)=>e+e-(f(n-2)[i]||0)):[0,1]:[1]

Tidak efisien untuk ukuran besar n. Menarik tapi sayangnya juga tidak efisien:

n=>[...Array(n+1)].map(g=(m=n,i)=>i<0|i>m?0:m<2?i^m^1:g(m-1,i-1)*2-g(m-2,i))

Sangat efisien untuk 68 byte:

f=(n,a=[1],b=[0,1])=>n?f(n-1,b,[0,...b].map((e,i)=>e+e-(a[i]||0))):a

Mengembalikan array koefisien dalam urutan menaik.

— Neil
sumber

Многочлены Чебышёва (Chebyshev Polynomials)

Tantangan

Definisi

Detail

Contohnya

Mathematica, 15 byte

Oktaf , 39 byte

Penjelasan

Pari / GP , 12 byte

Pari / GP , 34 byte

Haskell , 62 byte

CJam (21 byte)

Python + SymPy , 66 byte

Dengan representasi koefisien turun

SageMath, 25 byte

MATL , 17 byte

Penjelasan

Jelly , 18 byte

Penjelasan

Ruby + polinomial , 59 58 + 13 = 72 71 byte

J , 33 byte

Python 2 , 79 byte

Aksioma, 40 byte

C # (.NET Core) , 126 byte

JavaScript (ES6), 65 byte