pengantar

Diberi lima poin di pesawat, tugas Anda adalah menghitung luas elips yang melewati titik-titik ini.

Anda dapat mengasumsikan bahwa satu elips non-degenerasi dapat dibangun dengan nilai input yang diberikan.

Aturan

Input adalah 10bilangan bulat dalam bentuk apa pun, yang sesuai dengan xdan ytitik koordinat. Misalnya, Anda dapat mengambil input sebagai daftar 10bilangan bulat [x1, y1, x2, y2, ..., x5, y5], atau sebagai [[x1, y1], [x2, y2], ..., [x5, y5]], dll. Anda juga dapat menangani angka desimal, tetapi hanya bilangan bulat yang diperlukan.

Output adalah representasi dari area elips. Ini mungkin beberapa ekspresi simbolis, atau nilai desimal dengan setidaknya 8digit presisi.

Ini adalah kode-golf, jadi jawaban tersingkat dalam byte menang.

Contoh Input dan Output

Memasukkan:

[-2, 3, 2, 5, 5, 3, 4, 0, 1, -3]

Keluaran:

62.15326783788685

Penggambaran elips yang melewati titik-titik ini:

Lebih banyak contoh:

f(60, -92, -31, -10, 78, -19, -27, -35, 91, -37) = 9882.59540465108
f(-9, -4, 7, 7, 10, 1, -7, -10, 0, 7) = 269.5966648188643
f(-3, 2, 0, -5, 4, 0, -4, 1, -1, 2) = 98.54937293879908

Mathematica, 87 80 78 byte

Area@ImplicitRegion[+##Sign@#&@@Det[{1,##,1##,#^2,#2^2}&@@@{x|y,##}]>0,{x,y}]&

Membutuhkan waktu 5 input: [{x1, y1}, ... , {x5, y5}].

Mengembalikan nilai simbolik yang tepat.

Bagaimana?

Biarkan f(x, y)menunjukkan vektor (1, x, y, xy, x^2, y^2)untuk beberapa x, y.

Kemudian, penentu matriks dengan vektor baris [f(x, y), f(x1, y1), f(x2, y2), ..., f(x5, y5)]adalah nol iff (x, y)adalah titik pada elips yang kita cari. yaitu determinan memberikan ekspresi untuk elips.

Karena tanda ekspresi mungkin terbalik, kita mengambil istilah konstan dan mengalikan seluruh ekspresi dengan tanda konstanta. Dengan begitu, kita dapat mengatur ekspresi lebih besar dari 0 untuk menemukan area.

MATLAB , 130 124 114 byte

Input diambil sebagai dua vektor kolom, satu untuk x- dan satu untuk koordinat y. Metode ini menggunakan regresi sekuens terkecil, yang memberikan elips tepat jika semua poin tepat pada elips, dan kemudian menerapkan rumus yang disediakan di sini (terima kasih @ orlp) untuk menghitung area.

function A=f(x,y);p=null([x.^2,2*x.*y,y.^2,2*x,2*y,0*x+1]);A=pi*det(p([1,2,4;2,3,5;4:6]))/abs(p(1)*p(3)-p(2)^2)^1.5

Dengan menambahkan baris berikut, Anda bahkan dapat memplot kurva:

X=x;Y=y;
[x,y] = meshgrid(linspace(-7,7,50));
W = [x(:).^2,2*x(:).*y(:),y(:).^2,2*x(:),2*y(:),0*x(:)+1];
Z=x;Z(:) = W*p;
clf;plot(X,Y,'o');hold on;contour(x,y,Z,[0,0]);

Cobalah online!

Mathematica 84 Bytes

Saya menemukan ini menjadi masalah yang menarik. Setiap elips adalah transformasi affine dari lingkaran satuan yang dapat diparameterisasi sebagai {x, y} = {Cos (t), Sin (t)}, sehingga titik-titik pada lingkaran dapat dipetakan ke elips dengan {xE, yE } = A {x, y} + B di mana A adalah matriks konstan dan B a vektor. Memasukkan poin menghasilkan 10 persamaan skalar dan 11 skalar tidak diketahui, tetapi kita dapat memutuskan bahwa parameterisasi dimulai pada t = 0, sehingga sistem dapat dipecahkan. Nilai absolut dari penentu matriks A adalah rasio luas elips dengan lingkaran satuan sehingga kita kalikan dengan Pi. Mengambil Max menyingkirkan solusi negatif.

Max[π(a d-b c)/.Solve@MapThread[#2=={e,f}+{a,b}Cos@#+{c,d}Sin@#&,{{0,u,v,w,x},#}]]&

Pemakaian:

%@{{-2, 3}, {2, 5}, {5, 3}, {4, 0}, {1, -3}}

Hasil:

(1001 π)/(16 Sqrt[10])

Mathematica, 144 byte

x_±y_:=x^2a+b*x*y+y^2c+d*x+e*y+f;n=∞;Integrate[UnitStep[x±y/.FindInstance[And@@(#±#2==0&@@@#),{a,b,c,d,e,f},Reals,2][[1]]],{x,-n,n},{y,-n,n}]& 

bekerja untuk semua kasus uji

Contoh input :[{{-3, 2}, {0, -5}, {4, 0}, {-4, 1}, {-1, 2}}]

Hasil

9882.59540465108163146329
269.596664818864334050934
98.5493729387989852754258

-10 byte dari JungHwan Min
± adalah 1 byte di jendela default pengkodean [CP-1252]

Desmos , 101 byte

u
v
f(a,b,c,h,k,x,y)=(((x-h)cosc+(y-k)sinc)/a)^2+(((x-h)sinc-(y-k)cosc)/b)^2
f(m,n,o,p,q,u,v)~1
mn\pi

Desmos daring tidak suka pasta multiline, jadi Anda harus memasukkannya satu per satu, atau

Cobalah secara Online!

Input diambil dengan dua daftar udan v. Output ditampilkan pada baris terakhir.

Penjelasan:

• Dua baris pertama memberi nama variabel input.

• Baris ketiga mendefinisikan persamaan untuk setiap elips, dengan jari-jari adan b, sudut rotasi c, dan offset (h,k).

  • Prettified, terlihat seperti ini:

• Baris keempat menghitung regresi fatas daftar udan v, menemukan jari m- jari dan n, sudut rotasi o, dan offset (p,q).

• Baris terakhir menghitung luas elips dengan rumus A = pi*r1*r2

Anda juga dapat mencobanya secara online (tautan berbeda) untuk versi visual interaktif yang sedikit diperluas. Anda dapat bergerak di sekitar lima titik dan melihat elips dan area secara real time:

Sebagai alternatif, berikut adalah solusi yang sedikit lebih lama menggunakan rumus ini (sama dengan jawaban @ flawr ):

Desmos, 106 byte

u
v
f(A,B,C,D,E,F,x,y)=Axx+2Bxy+Cyy+2Dx+2Ey+F
f(G,H,I,J,K,L,u,v)~0
\pi(GIL+2HJK-JJK-GKK-HHL)/(GI-HH)^{1.5}

Cobalah secara Online!