(A → B) → (¬B → ¬A)

Yah saya pikir sudah saatnya kita memiliki pertanyaan bukti-golf .

Kali ini kita akan membuktikan kebenaran logis yang terkenal

$(A \rightarrow B) \rightarrow (\neg B \rightarrow \neg A)$

Untuk melakukan ini kita akan menggunakan Skema Aksioma ketiga Łukasiewicz , seperangkat tiga aksioma yang sangat elegan yang lengkap atas logika proposisional .

Inilah cara kerjanya:

Aksioma

Sistem Łukasiewicz memiliki tiga aksioma. Mereka:

$\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

$(\phi\rightarrow(\psi\rightarrow\chi))\rightarrow((\phi\rightarrow\psi)\rightarrow(\phi\rightarrow\chi))$

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

Aksioma adalah kebenaran universal terlepas dari apa yang kita pilih untuk , dan . Kapan saja dalam buktinya kita bisa memperkenalkan salah satu aksioma ini. Saat kami memperkenalkan aksioma, Anda mengganti setiap kasus , dan , dengan "ekspresi kompleks". Ekspresi kompleks adalah setiap ekspresi yang dibuat dari Atom, (diwakili oleh huruf - ), dan operator menyiratkan ( ) dan bukan ( ). $\phi$ $\psi$ $\chi$ $\phi$ $\psi$ $\chi$ $A$ $Z$ $\rightarrow$ $\neg$

Sebagai contoh jika saya ingin memperkenalkan aksioma pertama (LS1) yang bisa saya perkenalkan

$A\rightarrow(B\rightarrow A)$

atau

$(A\rightarrow A)\rightarrow(\neg D\rightarrow(A\rightarrow A))$

Dalam kasus pertama adalah dan adalah , sedangkan dalam kasus kedua keduanya lebih banyak melibatkan ekspresi. adalah dan adalah . $\phi$ $A$ $\psi$ $B$ $\phi$ $(A\rightarrow A)$ $\psi$ $\neg D$

Penggantian apa yang Anda pilih untuk digunakan akan tergantung pada apa yang Anda butuhkan dalam bukti saat ini.

Modus Ponens

Sekarang kita dapat memperkenalkan pernyataan, kita perlu menghubungkannya bersama untuk membuat pernyataan baru. Cara ini dilakukan di Skema Aksioma Łukasiewicz (LS) adalah dengan Modus Ponens. Modus Ponens memungkinkan kita mengambil dua pernyataan dalam formulir

$\phi$

$\phi\rightarrow \psi$

dan instantiate pernyataan baru

$\psi$

Sama seperti dengan Aksioma kami dan dapat mendukung setiap pernyataan sewenang-wenang. $\phi$ $\psi$

Kedua pernyataan itu bisa di mana saja di buktinya, mereka tidak harus bersebelahan atau pesanan khusus apa pun.

Tugas

Tugas Anda adalah membuktikan hukum alat kontrasepsi . Ini pernyataannya

$(A\rightarrow B)\rightarrow(\neg B\rightarrow\neg A)$

Sekarang Anda mungkin memperhatikan bahwa ini agak akrab, ini merupakan contoh kebalikan dari aksioma ketiga kami

$(\neg\phi\rightarrow\neg\psi)\rightarrow(\psi\rightarrow\phi)$

Namun ini bukan hal sepele.

Mencetak gol

Penilaian untuk tantangan ini cukup sederhana, setiap kali Anda membuat contoh aksioma dianggap sebagai poin dan setiap penggunaan modus ponens dianggap sebagai poin. Ini pada dasarnya adalah jumlah baris dalam bukti Anda. Tujuannya adalah untuk meminimalkan skor Anda (membuatnya serendah mungkin).

Contoh Bukti

Ok sekarang mari kita gunakan ini untuk membangun bukti kecil. Kami akan membuktikan . $A\rightarrow A$

Kadang-kadang yang terbaik adalah bekerja mundur karena kita tahu di mana kita ingin berada, kita bisa memikirkan bagaimana kita bisa sampai di sana. Dalam hal ini karena kita ingin mengakhiri dengan dan ini bukan salah satu aksioma kita, kita tahu langkah terakhir pasti modus ponens. Jadi akhir dari bukti kita akan terlihat seperti $A\rightarrow A$

φ
φ → (A → A)
A → A       M.P.

TeX

Di mana adalah ekspresi yang belum kita ketahui nilainya. Sekarang kita akan fokus pada . Ini dapat diperkenalkan baik oleh mode ponens atau LS3. LS3 mengharuskan kita untuk membuktikan yang tampaknya sama sulitnya dengan , jadi kita akan menggunakan modus ponens. Jadi sekarang buktinya bukti kami $\phi$ $\phi\rightarrow(A\rightarrow A)$ $(\neg A\rightarrow\neg A)$ $(A\rightarrow A)$

φ
ψ
ψ → (φ → (A → A))
φ → (A → A)        M.P.
A → A              M.P.

TeX

Sekarang sangat mirip dengan aksioma LS2 kedua kami sehingga kami akan mengisinya sebagai LS2 $\psi\rightarrow(\phi\rightarrow(A\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

Sekarang pernyataan kedua kami dapat dibuat dengan jelas dari LS1 sehingga kami akan mengisinya dengan demikian $(A\rightarrow(\chi\rightarrow A))$

A → χ
A → (χ → A)                         L.S.1
(A → (χ → A)) → ((A → χ) → (A → A)) L.S.2
(A → χ) → (A → A)                   M.P.
A → A                               M.P.

TeX

Sekarang kita hanya perlu menemukan $\chi$ sehingga kita bisa membuktikan $A\rightarrow\chi$ . Ini sangat mudah dilakukan dengan LS1 sehingga kami akan mencobanya

A → (ω → A)                                     L.S.1
A → ((ω → A) → A)                               L.S.1
(A → ((ω → A) → A)) → ((A → (ω → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (ω → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

Sekarang karena semua langkah kami dibenarkan, kami dapat mengisi $\omega$ , karena setiap pernyataan yang kami inginkan dan buktinya akan valid. Kita bisa memilih $A$ tapi saya akan memilih $B$ sehingga jelas bahwa hal itu tidak perlu $A$ .

A → (B → A)                                     L.S.1
A → ((B → A) → A)                               L.S.1
(A → ((B → A) → A)) → ((A → (B → A)) → (A → A)) L.S.2
(A → (B → A)) → (A → A)                         M.P.
A → A                                           M.P.

TeX

Cobalah online!

Dan itu adalah bukti.

Sumber daya

Program verifikasi

Berikut adalah program Prolog yang dapat Anda gunakan untuk memverifikasi bahwa bukti Anda sebenarnya valid. Setiap langkah harus ditempatkan pada jalurnya sendiri. ->harus digunakan untuk menyiratkan dan -harus digunakan untuk tidak, atom dapat diwakili oleh string karakter alfabet.

Metamath

Metamath menggunakan sistem Łukasiewicz sebagai buktinya dalam kalkulus proposisional, jadi Anda mungkin ingin melihat-lihat sedikit di sana. Mereka juga memiliki bukti teorema yang ditanyakan oleh tantangan ini yang dapat ditemukan di sini . Ada penjelasan di sini tentang cara membaca buktinya.

Mesin Bukti Luar Biasa

@ Antony membuat saya sadar akan alat yang disebut The Incredible Proof machine yang memungkinkan Anda membuat bukti di sejumlah sistem menggunakan sistem bukti grafis yang bagus. Jika Anda menggulir ke bawah, Anda akan menemukan mereka mendukung sistem Łukasiewicz. Jadi, jika Anda adalah orang yang lebih berorientasi visual, Anda dapat mengerjakan bukti Anda di sana. Skor Anda akan menjadi jumlah blok yang digunakan minus 1.

logic proof-golf

— Wisaya Gandum
sumber

Tunggu sebentar, biarkan aku mengambil buku catatan Matematika

— Diskritku

@DigitalTrauma Saya seorang mahasiswa sekarang dan ini adalah tugas pekerjaan rumah yang saya miliki (minus bagian golf), jadi sangat mungkin bahwa Anda mungkin telah mempelajarinya. Saya mendorong Anda untuk mencobanya walaupun Anda tidak memiliki "keahlian", saya pikir tantangan ini dapat didekati bahkan untuk orang-orang yang latar belakangnya kebanyakan dalam pemrograman.

— Wheat Wizard

@ mbomb007 Anda tidak dapat menggunakan Teorema Pengurangan, dan karena sistem Łukasiewicz selesai, Anda tidak perlu menggunakannya.

— Wheat Wizard

Setidaknya Anda tidak membatasi aksioma pada skema universal tunggal:((P → Q) → R) → ((R → P) → (S → P))

— mbomb007

Mesin Bukti Luar Biasa semuanya seret dan lepas dan mendukung Łukasiewicz's. Gulir hampir ke bawah dan cari "sistem Hilbert". Sebagai contoh di sini adalah bukti @ user56656 memberi bahwa A → A

— Antony

Jawaban:

88 82 77 72 langkah

Terima kasih kepada H.PWiz untuk konversi kombinator yang lebih baik yang menyelamatkan 10 langkah!

Penjelasan

Anda mungkin akrab dengan korespondensi Curry-Howard , di mana teorema sesuai dengan jenis dan bukti terkait dengan program dari jenis tersebut. Dua aksioma pertama dalam sistem Łukasiewicz sebenarnya adalah kombinasi K dan S , dan diketahui bahwa kita dapat menerjemahkan ekspresi kalkulus lambda ke dalam ekspresi kombinasi SK.

Jadi, mari kita tuliskan beberapa ekspresi yang berhubungan dengan aksioma kita (berikut ini adalah sintaks Haskell yang valid, yang nyaman karena kita dapat memeriksa bukti kita menggunakan kompiler Haskell):

data Not φ

k :: φ -> (ψ -> φ)
k x _ = x

s :: (φ -> (ψ -> χ)) -> ((φ -> ψ) -> (φ -> χ))
s x y z = x z (y z)

c :: (Not φ -> Not ψ) -> (ψ -> φ)
c = error "non-computational axiom"

Kemudian kita dapat menulis bukti pernyataan yang diinginkan sebagai program dalam hal c(bagian ini membutuhkan sedikit kepintaran, tetapi jauh lebih mudah untuk menulis ini daripada bukti aksiomatik 72-baris):

pf :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf x y = c (\z -> c (\_ -> y) (x (c (c (\_ -> z)) x))) k

dan mengubahnya menjadi ekspresi kombinasi SK:

pf' :: (a -> b) -> (Not b -> Not a)
pf' =
  s (k (s (k (s c (k k)))))
    (s (k (s (s (k s) (s (k k) (s (k c) k)))))
       (s (k k) (s (k (s s (s (s (k c) (s (k c) k))))) k)))

Kombinator 17 k, 16 s, dan 4 di catas sesuai dengan pemanggilan 16 LS1, 16 LS2, dan 4 LS3 dalam bukti di bawah ini, dan 38 aplikasi fungsi untuk nilai di atas sesuai dengan pemanggilan 38 MP di bawah ini.

Mengapa hanya 16 pemanggilan LS1? Ternyata salah satu kkombinator di atas memiliki variabel tipe bebas, dan instantiasi dengan hati-hati mengubahnya menjadi duplikat dari yang lain yang sudah diturunkan.

Bukti

(A → B) → (¬¬ → (A → B)) LS1
¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬) LS1
(¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B)) LS3
(¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B))) → (¬¬A → ((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬¬ A → ¬ (A → B)))) LS1
¬¬A → ((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B))) MP 4,3
(¬¬A → ((¬¬ (A → B) → ¬¬A) → (¬A → ¬ (A → B)))) → ((¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬ ¬A)) → (¬¬A → (¬A → ¬ (A → B)))) LS2
(¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → ¬ (A → B))) MP 6,5
¬¬A → (¬A → ¬ (A → B)) MP 7,2
(¬ A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A) LS3
((¬ A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A ))) LS1
¬¬A → ((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A)) MP 10,9
(¬¬A → ((¬A → ¬ (A → B)) → ((A → B) → A))) → ((¬ A → (¬A → ¬ (A → B))) → ( ¬¬A → ((A → B) → A))) LS2
(¬¬A → (¬A → ¬ (A → B))) → (¬¬ → ((A → B) → A)) MP 12,11
¬¬A → ((A → B) → A) MP 13,8
(¬¬A → ((A → B) → A)) → ((¬¬ → (A → B)) → (¬¬A → A)) LS2
(¬¬A → (A → B)) → (¬¬ → A) MP 15,14
(¬¬A → (A → B)) → ((¬¬ → A) → (¬¬A → B)) LS2
((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → A)) → ((¬¬ → (A → B)) → (¬¬ → B))) LS2
((¬¬ A → (A → B)) → (¬¬ A → A)) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬ A → B)) MP 18,17
(¬¬A → (A → B)) → (¬¬ → B) MP 19,16
((¬¬A → (A → B)) → (¬¬ → → B)) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → (¬¬A → B)) ) LS1
(A → B) → ((¬¬ → (A → B)) → (¬¬ → B)) MP 21,20
((A → B) → ((¬¬ → (A → B)) → (¬¬ → B))) → (((A → B) → (¬¬ → → (A → B))) → ((A → B) → (¬¬ → B))) LS2
((A → B) → (¬¬ → (A → B))) → ((A → B) → (¬¬ → → B)) MP 23,22
(A → B) → (¬¬ → B) MP 24,1
(¬¬ → B) → (¬B → (¬¬ → B)) LS1
((¬ A → B) → (¬ B → (¬¬ A → B))) → ((A → B) → ((¬ A → B) → (¬B → (¬ A → B) ))) LS1
(A → B) → ((¬¬ → B) → (¬B → (¬¬ → B))) MP 27,26
((A → B) → ((¬A → B) → (¬B → (¬¬A → B)))) → ((A → B) → (¬¬ → B)) → (( A → B) → (¬B → (¬¬ → B)))) LS2
((A → B) → (¬¬ → B)) → ((A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) MP 29,28
(A → B) → (¬B → (¬¬ → B)) MP 30,25
¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) LS1
(¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) ) LS3
((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) ))) → (¬B → ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬ A)))))) LS1
¬B → ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → → (¬ (A → B) → ¬ ¬A)))) MP 34,33
(¬B → ((¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B) → (B → ¬ (¬¬A → → (¬ (A → B) →) ¬¬A))))) → ((¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B)) → (¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) LS2
(¬B → (¬¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬B)) → (¬B → (B → ¬ (¬¬ A → (¬¬ A) → B) → ¬¬ A)))) MP 36,35
¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) MP 37,32
(B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬) A)))) LS1
((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → → (¬¬ (A → B) → ¬) ¬ A))))) → (¬B → ((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬ A → (¬¬ (A → B) → ¬¬))))))) LS1
¬B → ((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) ) → ¬¬A))))) MP 40,39
(¬B → ((B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) → ((¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → (¬B → (¬B → ¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))))) LS2
(¬B → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬) ¬ (A → B) → ¬¬))))) MP 42,41
¬B → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 43,38
(¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬ (A → B) → ¬¬))))) LS2
((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬ A → (¬ (A → B) → ¬¬ A))))) → (¬B → ((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬) A)))) → ((¬¬ → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS1
¬B → ((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ((¬¬ → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) MP 46,45
(¬B → ((¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬))))) → ((¬¬ → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))))) ((¬B → (¬ B → (B → ¬ (¬¬ A → (¬¬ (A → B) → ¬¬ A))))) → (¬B → ((¬ A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) )))) LS2
(¬B → (¬¬A → (B → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ((¬A → B) → ( ¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) MP 48,47
¬B → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 49,44
(¬B → ((¬¬ → B) → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((¬B → (¬¬ B → (¬¬ A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬))))) LS2
(¬B → (¬¬ → B)) → (¬B → (¬¬ → → ¬ (¬¬ A → (¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 51,50
((¬B → (¬¬ → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬ (A → B) → ¬¬A))))) → ((A → B) → ((¬B → (¬¬ → → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))))) ) LS1
(A → B) → ((¬B → (¬¬ → → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) )) MP 53,52
((A → B) → ((¬B → (¬ A → B)) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) )))) → (((A → B) → (¬B → (¬¬A → B))) → ((A → B) → (¬B → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → ( ¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) LS2
((A → B) → (¬B → (¬¬ → → B))) → ((A → B) → (¬B → (¬A → ¬ (¬¬A → → (¬¬ (A → B) ) → ¬¬ A))))) MP 55,54
(A → B) → (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) MP 56,31
(¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬ ¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬)))) LS1
(¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) MP 58,2
(¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ((¬¬ → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬A ) LS3
((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ((¬¬ → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)) → ¬ A)) → (((¬¬ → → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A ))) → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A)) LS2
((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬¬ → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ( (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) MP 61,60
(¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → ¬A MP 62,59
((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) → (¬B → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ ¬ (A → B) → ¬¬)))) → ¬A)) LS1
¬B → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A) MP 64,63
(¬B → ((¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))) → ¬A)) → ((¬B → (¬¬A → ¬ (¬) ¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A)) LS2
(¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A) MP 66,65
((¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ( (¬B → (¬¬A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))) → (¬B → ¬A))) LS1
(A → B) → ((¬B → (¬¬ → → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ¬A)) MP 68, 67
((A → B) → ((¬ B → (¬ A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A))))) → (¬B → ¬A))) → → (((A → B) → (¬B → (¬ A → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) → ((A → B) → (¬ B → ¬A))) LS2
((A → B) → (¬B → (¬¬ → → ¬ (¬¬A → (¬¬ (A → B) → ¬¬A)))))) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 70,69
(A → B) → (¬B → ¬A) MP 71,57

Cobalah online!

— Anders Kaseorg
sumber

Wow, ini luar biasa.

— Zacharý

Saya tidak tahu apakah langkahnya lebih pendek, dan harus pergi sekarang. Tapi saya punya s(s(k s)(s(k(s(k c)))(s(k(s(s(k s)(s(k k)(s(k c)k)))))(s(k k)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))))k yang mirip dengan Anda tetapi dengan akhir yang sedikit lebih pendek

— H.PWiz

@ H.PWiz Rapi, yang sebenarnya sesuai dengan program bukti yang sedikit berbeda. Diperbarui.

— Anders Kaseorg

Bagaimana dengan s(k(s(k(s c(k s)))))(s(k(s(s(k s)(s(k k)(s(k c)k)))))(s(k k)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))?

— H.PWiz

@ H.PWiz Bagus untuk −5 lain bersama dengan trik variabel tipe gratis.

— Anders Kaseorg

91 Langkah

Bukti Lengkap:

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B)) LS1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) LS2
3. ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS1
4. (A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 3,2
5. ((A → B) → ((¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) → (((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)))) LS2
6. ((A → B) → (¬¬A → (A → B))) → ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) MP 5,4
7. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B)) MP 6,1
8. ¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) LS1
9. (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))) LS3
10. ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS1
11. ¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 10,9
12. (¬A → ((¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A) → (A → ¬(B → (¬A → A))))) → ((¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))))) LS2
13. (¬A → (¬¬(B → (¬A → A)) → ¬A)) → (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) MP 12,11
14. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A))) MP 13,8
15. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) LS2
16. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))) MP 15,14
17. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A) LS3
18. ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) → ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS1
19. (¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 18,17
20. ((¬A → A) → ((¬A → ¬(B → (¬A → A))) → ((B → (¬A → A)) → A))) → (((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A))) LS2
21. ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))) → ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) MP 20,19
22. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A) MP 21,16
23. (¬A → A) → (B → (¬A → A)) LS1
24. ((¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)) → (((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A)) LS2
25. ((¬A → A) → (B → (¬A → A))) → ((¬A → A) → A) MP 24,22
26. (¬A → A) → A MP 25,23
27. ¬¬A → (¬A → ¬¬A) LS1
28. (¬A → ¬¬A) → (¬A → A) LS3
29. ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) → (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) LS1
30. ¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A)) MP 29,28
31. (¬¬A → ((¬A → ¬¬A) → (¬A → A))) → ((¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A))) LS2
32. (¬¬A → (¬A → ¬¬A)) → (¬¬A → (¬A → A)) MP 31,30
33. ¬¬A → (¬A → A) MP 32,27
34. ((¬A → A) → A) → (¬¬A → ((¬A → A) → A)) LS1
35. ¬¬A → ((¬A → A) → A) MP 34,26
36. (¬¬A → ((¬A → A) → A)) → ((¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A)) LS2
37. (¬¬A → (¬A → A)) → (¬¬A → A) MP 36,35
38. ¬¬A → A MP 37,33
39. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A)) LS1
40. (A → B) → (¬¬A → A) MP 39,38
41. ((A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))) → (((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B))) LS2
42. ((A → B) → (¬¬A → A)) → ((A → B) → (¬¬A → B)) MP 41,7
43. (A → B) → (¬¬A → B) MP 42,40
44. ¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) LS1
45. (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) LS3
46. ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS1
47. ¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 46,45
48. (¬¬B → ((¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B) → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) → ((¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))))) LS2
49. (¬¬B → (¬¬(B → (¬¬B → ¬B)) → ¬¬B)) → (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) MP 48,47
50. ¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 49,44
51. (¬¬B → (¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) LS2
52. (¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) MP 51,50
53. (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) LS3
54. ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS1
55. (¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 54,53
56. ((¬¬B → ¬B) → ((¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B))) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) → (((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B))) LS2
57. ((¬¬B → ¬B) → (¬¬B → ¬(B → (¬¬B → ¬B)))) → ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) MP 56,55
58. (¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B) MP 57,52
59. (¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B)) LS1
60. ((¬¬B → ¬B) → ((B → (¬¬B → ¬B)) → ¬B)) → (((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS2
61. ((¬¬B → ¬B) → (B → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 60,58
62. (¬¬B → ¬B) → ¬B MP 61,59
63. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B) LS1
64. (¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B) LS3
65. ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) LS1
66. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B)) MP 65,64
67. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬¬¬B) → (¬¬B → ¬B))) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B))) LS2
68. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬¬¬B)) → (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) MP 67,66
69. ¬¬¬B → (¬¬B → ¬B) MP 68,63
70. ((¬¬B → ¬B) → ¬B) → (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) LS1
71. ¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B) MP 70,62
72. (¬¬¬B → ((¬¬B → ¬B) → ¬B)) → ((¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B)) LS2
73. (¬¬¬B → (¬¬B → ¬B)) → (¬¬¬B → ¬B) MP 72,71
74. ¬¬¬B → ¬B MP 73,69
75. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B) LS3
76. B → ¬¬B MP 75,74
77. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B)) LS1
78. ¬¬A → (B → ¬¬B) MP 77,76
79. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) LS2
80. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 79,78
81. ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS1
82. (A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 81,80
83. ((A → B) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) → (((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B))) LS2
84. ((A → B) → (¬¬A → B)) → ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) MP 83,82
85. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B) MP 84,43
86. (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A) LS3
87. ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) → ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) LS1
88. (A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)) MP 87,86
89. ((A → B) → ((¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A))) → (((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A))) LS2
90. ((A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) → ((A → B) → (¬B → ¬A)) MP 89,88
91. (A → B) → (¬B → ¬A) MP 90,85

Cobalah online!

Versi yang lebih bisa dibaca manusia menggunakan 5 lemmas:

Lemma 1: From A → B and B → C, instantiate A → C. (5 steps)

1. B → C                                         given
2. (B → C) → (A → (B → C))                       L.S.1
3. A → (B → C)                                   M.P. (1,2)
4. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
5. (A → B) → (A → C)                             M.P. (3,4)
6. A → B                                         given
7. A → C                                         M.P. (6,5)

Lemma 2: ¬A → (A → B) (7 steps)

1. ¬A → (¬B → ¬A)                                L.S.1
2. (¬B → ¬A) → (A → B)                           L.S.3
3. ¬A → (A → B)                                  Lemma 1 (1,2)

Lemma 3: From A → (B → C) and A → B, instantiate A → C. (3 steps)

1. A → (B → C)                                   given
2. (A → (B → C)) → ((A → B) → (A → C))           L.S.2
3. (A → B) → (A → C)                             M.P. (1,2)
4. A → B                                         given
5. A → C                                         M.P. (4,3)

Lemma 4: ¬¬A → A (31 steps)

1. ¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))                    Lemma 2
2. (¬A → (A → ¬(B → (¬A → A)))) → 
   ((¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A))))           L.S.2
3. (¬A → A) → (¬A → ¬(B → (¬A → A)))             M.P. (1,2)
4. (¬A → ¬(B → (¬A → A))) →((B → (¬A → A)) → A)  L.S.3
5. (¬A → A) → ((B → (¬A → A)) → A)               Lemma 1 (3,4)
6. (¬A → A) → (B → (¬A → A))                     L.S.1
7. (¬A → A) → A                                  Lemma 3 (5,6)
8. ¬¬A → (¬A → A)                                Lemma 2
9. ¬¬A → A                                       Lemma 1 (8,7)

Lemma 5: (A → B) → (¬¬A → B) (43 steps)

1. (A → B) → (¬¬A → (A → B))                     L.S.1
2. (¬¬A → (A → B)) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))     L.S.2
3. (A → B) → ((¬¬A → A) → (¬¬A → B))             Lemma 1 (1,2)
4. ¬¬A → A                                       Lemma 4
5. (¬¬A → A) → ((A → B) → (¬¬A → A))             L.S.1
6. (A → B) → (¬¬A → A)                           M.P. (4,5)
7. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 3 (3,6)

Theorem: (A → B) → (¬B → ¬A)

1. (A → B) → (¬¬A → B)                           Lemma 5
2. ¬¬¬B → ¬B                                     Lemma 4
3. (¬¬¬B → ¬B) → (B → ¬¬B)                       L.S.3
4. B → ¬¬B                                       M.P. (2,3)
5. (B → ¬¬B) → (¬¬A → (B → ¬¬B))                 L.S.1
6. ¬¬A → (B → ¬¬B)                               M.P. (4,5)
7. (¬¬A → (B → ¬¬B)) → ((¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)) L.S.2
8. (¬¬A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                       M.P. (6,7)
9. (A → B) → (¬¬A → ¬¬B)                         Lemma 1 (1,8)
10.(¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)                       L.S.3
11.(A → B) → (¬B → ¬A)                           Lemma 1 (9,10)

— Poon Levi
sumber

Selamat datang di situs dan jawaban yang mengesankan! Sudahkah Anda memverifikasi jawaban Anda dengan skrip Prolog? Jika demikian, apakah Anda keberatan dengan menyertakan tautan ke verifikasi tersebut?

— caird coinheringaahing

@cairdcoinheringaahing Saya telah menambahkan tautan tio ke skrip prolog ke jawabannya sehingga dapat diverifikasi (tidak berfungsi). Biasanya saya akan mengomentari tautan tetapi tautannya terlalu panjang untuk ditampung dalam komentar.

— Wheat Wizard

Pada dasarnya itu adalah bukti saya sedang dalam proses pembuatan, kecuali bahwa Anda menggunakan lemma berbeda. Saya menggunakan Prinsip Identitas. Juga, saya belum membuktikan Penghapusan Negasi Ganda, karena bukti bahwa saya sedang membuat diperlukan Kontradiksi Realisasi.

— mbomb007

Apakah Anda dapat memotong Lemma 5 dan bukannya membuktikan dan menggunakan Teorema Pergantian untuk mendapatkan dari (¬¬A → ¬¬B) → (¬B → ¬A)ke (A → B) → (¬B → ¬A)dalam langkah lebih sedikit?

— mbomb007

Saya pikir langkah pertama adalah mubazir? Saya tidak dapat menemukan referensi apa pun jadi saya mencoba menjalankannya di TIO tanpa garis itu dan tidak mendapat peringatan "Langkah tidak valid".

— Antony

59 langkah

Norman Megill, penulis Metamath telah memberi tahu saya tentang bukti 59 langkah, yang akan saya posting di wiki komunitas ini. Aslinya dapat ditemukan dalam teorema 2.16 di halaman ini.

http://us.metamath.org/mmsolitaire/pmproofs.txt

Norm mengatakan: Halaman ini akan memberikan banyak tantangan bagi Anda untuk dikalahkan!

Inilah buktinya

((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! *2.16
((P -> Q) -> (~ Q -> ~ P)); ! Result of proof
DD2D1DD2D13DD2D1DD22D2DD2D13DD2D1311D2D1D3DD2DD2D13DD2D1311
; ! 59 steps

Buktinya ada dalam notasi Polandia, jadi itu dimulai dari kesimpulan dan berlanjut mundur sampai setiap istilah dipuaskan oleh aksioma. Pemetaan karakter adalah sebagai berikut: "1" adalah aksioma LS 1, "2" adalah aksioma LS 2, "3" adalah aksioma LS 3, dan "D" adalah Modus Ponens.

Inilah buktinya dalam format yang disarankan @ WW

01 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) )
02 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) )
03 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
04 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
05 3,4 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
06 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) ) )
07 5,6 ax-mp     $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) )
08 2,7 ax-mp     $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) )
09 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
10 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
11 9,10 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
12 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) ) )
13 11,12 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ ¬ B → ¬ ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) )
14 8,13 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) )
15 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) → ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) ) )
16 14,15 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ( ¬ B → ¬ ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) )
17 1,16 ax-mp    $a |- ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B )
18 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ¬ B → ¬ B ) → ( B → ¬ ¬ B ) )
19 17,18 ax-mp   $a |- ( B → ¬ ¬ B )
20 ax-1          $a |- ( ( B → ¬ ¬ B ) → ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) )
21 19,20 ax-mp   $a |- ( A → ( B → ¬ ¬ B ) )
22 ax-2          $a |- ( ( A → ( B → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
23 21,22 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) )
24 ax-1          $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) )
25 ax-1          $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) )
26 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
27 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
28 26,27 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
29 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) ) )
30 28,29 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ ¬ ( A → ¬ ¬ B ) → ¬ ¬ A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) )
31 25,30 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) )
32 ax-3          $a |- ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
33 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
34 32,33 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
35 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) ) )
36 34,35 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ¬ A → ¬ ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) )
37 31,36 ax-mp   $a |- ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) )
38 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( ( A → ¬ ¬ B ) → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) )
39 37,38 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) )
40 ax-2          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
41 ax-2          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( ¬ ¬ A → A ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
42 40,41 ax-mp   $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → A ) ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
43 39,42 ax-mp   $a |- ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
44 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
45 43,44 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
46 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) ) )
47 45,46 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ( A → ¬ ¬ B ) ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) )
48 24,47 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) )
49 ax-3          $a |- ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
50 ax-1          $a |- ( ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
51 49,50 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
52 ax-2          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
53 51,52 ax-mp   $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ ¬ A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
54 48,53 ax-mp   $a |- ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )
55 ax-1          $a |- ( ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) → ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
56 54,55 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
57 ax-2          $a |- ( ( ( A → B ) → ( ( A → ¬ ¬ B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) → ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) ) )
58 56,57 ax-mp   $a |- ( ( ( A → B ) → ( A → ¬ ¬ B ) ) → ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) ) )
59 23,58 ax-mp   $a |- ( ( A → B ) → ( ¬ B → ¬ A ) )

Cobalah online!

Ini dia di The Incredible Proof Machine

png svg

— Antony
sumber

Saya tidak ingat menyarankan format seperti itu ... Untuk apa nilainya, ekspresi sk yang sesuai adalah s(k(s(k c)(s(k(s s(s(s(k c)(s(k c)k)))))k)))(s(k(c(s(s(k c)(s(k c)k))k)))). Saya tidak punya cara untuk mengubahnya kembali menjadi lambdas

— H.PWiz

@ H.Piz. Ini

\x -> c (\y -> c (\z -> c (c (\_ -> z)) (\_ -> z)) (x (c (c (\_ -> y)) (\z -> c (\t -> c (c (\_ -> t)) (\_ -> t)) (x z)))))

. (Mungkin bukan yang akan Anda tulis jika Anda mendekatinya dari arah itu.)

— Anders Kaseorg

@AndersKaseorg Ya, saya baru saja menemukan itu dan mengeluarkan teorema yang berguna: di sini

— H.PWiz

@ H.PWiz, maaf, tidak, Anda tidak menyarankan format itu. Maksud saya (tanpa margin) kompatibel dengan verlog Prolog Anda.

— Antony

Saya minta maaf karena salah mengira Anda sebagai OP, @ H.PWiz. Saya khawatir nama pengguna Anda terlihat seperti salah satu dari sekian banyak nama WW i.imgur.com/VoSVoqI.png

— Antony