Latar Belakang

Sebuah jaringan segitiga adalah grid yang dibentuk oleh ubin pesawat secara teratur dengan segitiga sama sisi dengan panjang sisi 1. Gambar di bawah adalah contoh dari grid segitiga.

Sebuah titik kisi segitiga adalah titik dari segitiga membentuk grid segitiga.

The asal adalah titik tetap di pesawat, yang merupakan salah satu poin kisi segitiga.

Tantangan

Dengan bilangan bulat non-negatif n, temukan jumlah titik kisi segitiga yang jarak Euclidean dari titik asal kurang dari atau sama dengan n.

Contoh

Gambar berikut adalah contoh untuk n = 7(hanya menampilkan area 60 derajat untuk kenyamanan, dengan titik A sebagai asal):

Uji Kasus

Input | Output
---------------
    0 |       1
    1 |       7
    2 |      19
    3 |      37
    4 |      61
    5 |      91
    6 |     127
    7 |     187
    8 |     241
    9 |     301
   10 |     367
   11 |     439
   12 |     517
   13 |     613
   14 |     721
   15 |     823
   16 |     931
   17 |    1045
   18 |    1165
   19 |    1303
   20 |    1459
   40 |    5815
   60 |   13057
   80 |   23233
  100 |   36295
  200 |  145051
  500 |  906901
 1000 | 3627559

Petunjuk : Urutan ini bukan OEIS A003215 .

Aturan

Aturan standar untuk kode-golf berlaku. Pengajuan terpendek menang.

Harap sertakan bagaimana Anda memecahkan tantangan dalam kiriman Anda.

Python 2 , 43 byte

f=lambda n,a=1:n*n<a/3or n*n/a*6-f(n,a+a%3)

Cobalah online!

Ini adalah ilmu hitam.

Menawarkan 250 rep untuk bukti tertulis. Lihatjawaban Lynnuntuk bukti dan penjelasan.

Haskell , 48 byte

f n=1+6*sum[(mod(i+1)3-1)*div(n^2)i|i<-[1..n^2]]

Cobalah online!

Menggunakan rumus "ilmu hitam" xnor:

$$f(n)=1+6\sum_{a=0}^\infty \left\lfloor \frac{n^2}{3a+1}\right\rfloor - \left\lfloor \frac{n^2}{3a+2}\right\rfloor$$

Bukti kebenarannya, dan penjelasan tentang bagaimana xnor berhasil mengekspresikannya dalam 43 byte Python, dapat ditemukan di sini .

Singkat cerita: kita menghitung bilangan bulat Eisenstein dari norma , dengan memfaktorkan N $1 \le N \le n^2$ ke dalambilangan prima Eisensteindan menghitung berapa banyak solusi untuk ( x , y ) yang keluar faktorisasi. Kami mengakui jumlah solusi sama dengan$N = (x+y\omega)(x+y\omega^*)$$(x,y)$

$$6 \times ((\text{# of divisors of }N \equiv 1\space(\text{mod }3)) - (\text{# of divisors of }N \equiv 2\space(\text{mod }3)))$$

dan terapkan trik pintar untuk membuatnya sangat mudah dihitung untuk semua bilangan bulat antara dan n 2 sekaligus. Ini menghasilkan formula di atas. Akhirnya, kami menerapkan beberapa sihir golf Python untuk berakhir dengan solusi yang sangat kecil yang ditemukan.$1$$n^2$

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 53 51 50 byte

^{-1 byte terima kasih kepada @miles}

Sum[Boole[x(x+y)+y^2<=#^2],{x,-2#,2#},{y,-2#,2#}]&

Cobalah online!

Bagaimana?

Alih-alih berpikir dalam hal ini:

Pikirkan seperti ini:

Jadi kami menerapkan matriks [[sqrt(3)/2, 0], [1/2, 1]]transformasi untuk mengubah gambar kedua ke yang pertama.

Kemudian, kita harus menemukan lingkaran di kotak segitiga dalam hal koordinat Cartesian.

(sqrt(3)/2 x)^2 + (1/2 x + y)^2 = x^2 + x y + y^2

Jadi kami menemukan poin kisi x, ysedemikian rupax^2 + x y + y^2 <= r^2

Misalnya, dengan r = 3:

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 48 byte

Berdasarkan OEIS A004016 .

1+6Sum[DivisorSum[i,#~JacobiSymbol~3&],{i,#^2}]&

Cobalah online!

CJam (24 byte)

{_*_,f{)_)3%(@@/*}1b6*)}

Ini adalah blok anonim (fungsi) yang mengambil satu argumen di stack dan meninggalkan hasilnya di stack. Test suite online . Perhatikan bahwa dua case terbesar terlalu lambat.

Penjelasan

alephalpha mencatat dalam komentar pada pertanyaan itu

Ini adalah jumlah dari ketentuan n ^ 2 + 1 pertama OEIS A004016

$$f(n) = 1 + 6 \sum_{a=0}^\infty \left\lfloor\frac{n^2}{3a+1}\right\rfloor - \left\lfloor\frac{n^2}{3a+2}\right\rfloor$$

Bukti saya tentang kebenaran formula itu didasarkan pada beberapa informasi yang diperoleh dari tautan OEIS alephalpha:

Gf: 1 + 6 * Jumlah_ {n> = 1} x ^ (3 * n-2) / (1-x ^ (3 * n-2)) - x ^ (3 * n-1) / (1- x ^ (3 * n-1)). - Paul D. Hanna, 03 Jul 2011

$x^a$

$$\prod_{k=0}^\infty (1-q^{k+1})(1 + xq^{k+1})(1 + x^{-1}q^k) = \sum_{k\in \mathbb{Z}} q^{k(k+1)/2}x^k$$ $$\sum_{m,n \in \mathbb{Z}} \omega^{m-n} q^{m^2+mn+n^2} = \prod_{k=1}^\infty \frac{(1-q^k)^3}{1-q^{3k}}$$ $\omega$ $$\sum_{m,n \in \mathbb{Z}} q^{m^2+mn+n^2} = 1 + 6 \sum_{k \ge 0} \left(\frac{q^{3k+1}}{1-q^{3k+1}} - \frac{q^{3k+2}}{1-q^{3k+2}} \right)$$

Diseksi kode

{          e# Define a block. Stack: ... r
  _*       e#   Square it
  _,f{     e#   Map with parameter: invokes block for (r^2, 0), (r^2, 1), ... (r^2, r^2-1)
    )      e#     Increment second parameter. Stack: ... r^2 x with 1 <= x <= r^2
    _)3%(  e#     Duplicate x and map to whichever of 0, 1, -1 is equal to it (mod 3)
    @@/*   e#     Evaluate (r^2 / x) * (x mod 3)
  }
  1b6*     e#   Sum and multiply by 6
  )        e#   Increment to count the point at the origin
}

J , 27 byte

[:+/@,*:>:(*++&*:)"{~@i:@+:

Cobalah online!

Berdasarkan metode JungHwan Min .

Penjelasan

[:+/@,*:>:(*++&*:)"{~@i:@+:  Input: n
                         +:  Double
                      i:     Range [-2n .. 2n]
                  "{~        For each pair (x, y)
                *:             Square both x and y
              +                Add x^2 and y^2
             +                 Plus
            *                  Product of x and y
        >:                   Less than or equal to
      *:                     Square of n
     ,                       Flatten
  +/                         Reduce by addition

APL (Dyalog Classic) , 23 byte

{1+6×+/-/⌊⍵÷1+3⊥¨⍳⍵2}×⍨

Cobalah online!

upeti kepada xnor ini dan lynn ini jawaban

tes terakhir dikomentari karena membutuhkan lebih banyak memori, misalnya MAXWS=200Mdalam env

Jeli , 14 byte

ḤŒR+²_×ʋþ`F½»ċ

Penggunaan metode @ JungHwanMin .

Cobalah online!

Jelly ,  15  13 byte

-2 terima kasih kepada Dennis (hanya menambah kuadrat untuk menghindari penggabungan nol; hindari kepala dengan menggunakan modulo-slice post-difference daripada slice pra-perbedaan)

^{Menggunakan metode "ilmu hitam" untuk mengasah pada jawaban yang diekspos oleh xnor dalam jawaban Python mereka , tetapi menggunakan iterasi daripada rekursi (dan sedikit perhitungan kurang)}

²:Ѐ‘$Im3S×6C

Tautan monadik yang menerima bilangan bulat non-negatif dan mengembalikan bilangan bulat positif.

Cobalah online! Atau lihat test-suite .

Bagaimana?

²:Ѐ‘$Im3S×6C - Main Link: non-negative integer, n     e.g. 7
²             - square                                     49
     $        - last two links as a monad:
    ‘         -   increment                                50
  Ѐ          -   map across (implicit range of) right with:
 :            -     integer division                       [49,24,16,12,9,8,7,6,5,4,4,4,3,3,3,3,2,2,2,2,2,2,2,2,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,0]
      I       - incremental differences                    [-25,-8,-4,-3,-1,-1,-1,-1,-1,0,0,-1,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1]
       m3     - every third element                        [-25,-3,-1,0,0,-1,0,0,0,0,0,0,0,0,0,0,-1]
         S    - sum (vectorises)                           -31
          ×6  - multiply by six                           -186
            C - complement (1-X)                           187

JavaScript (ES6), 65 byte

Ini adalah port dari solusi @ JungHwanMin .

f=(n,y=x=w=n*2)=>y-~w&&(x*x+x*y+y*y<=n*n)+f(n,y-=--x<-w&&(x=w,1))

Cobalah online!

---

Jawaban asli (ES7), 70 byte

Cukup berjalan melalui grid dan menghitung poin yang cocok.

f=(n,y=x=n*=2)=>y+n+2&&(x*x*3+(y-x%2)**2<=n*n)+f(n,y-=--x<-n&&(x=n,2))

Cobalah online!

Java 8, 65 byte

n->f(n,1)int f(int n,int a){return n*n<a/3?1:n*n/a*6-f(n,a+a%3);}

Port jawaban @xnor dari Python 2 .

Cobalah online.

Pari / GP , 42 byte

Menggunakan built-in qfrep.

n->1+2*vecsum(Vec(qfrep([2,1;1,2],n^2,1)))

qfrep (q, B, {flag = 0}): vektor (setengah) jumlah vektor norma dari 1 ke B untuk bentuk kuadratik integral dan pasti q. Jika flag adalah 1, hitung vektor norma normal dari 1 hingga 2B.

Cobalah online!

C # (Visual C # Interactive Compiler) , 68 byte

n=>{int g(int x,int y)=>x*x<y/3?1:x*x/y*6-g(x,y+y%3);return g(n,1);}

Cobalah online!

Sama seperti orang lain, sayangnya. Saya tahu mungkin ada cara yang lebih baik untuk menulis ini, tetapi menyatakan dan memanggil lambda pada saat yang sama dalam c # bukanlah sesuatu yang saya lakukan, yah, pernah. Meskipun dalam pembelaan saya, saya tidak bisa memikirkan alasan yang bagus (di luar kode golf, tentu saja) untuk melakukannya. Namun, jika seseorang tahu bagaimana Anda bisa melakukan ini, beri tahu saya dan / atau mencuri kreditnya, saya kira.

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 39 byte

Length@Solve[x(x+y)+y^2<=#^2,Integers]&

Cobalah online!

Menggunakan transformasi koordinat JungHwan Min dan hanya menghitung solusi atas bilangan bulat.

05AB1E , 15 byte

nD>L÷¥ā3%ÏO6*±Ì

Port of @JonathanAllan 's Jelly answer , yang pada gilirannya merupakan turunan dari rumus 'ilmu hitam' @ xnor .

Cobalah secara online atau verifikasi semua kasus uji .

Penjelasan:

n                # Square the (implicit) input-integer
 D>              # Duplicate it, and increase the copy by 1
   L             # Create a list in the range [1, input^2+1]
    ÷            # Integer divide input^2 by each of these integers
     ¥           # Take the deltas
      ā          # Push a list in the range [1, length] without popping the deltas itself
       3%        # Modulo each by 3
         Ï       # Only leave the values at the truthy (==1) indices
          O      # Take the sum of this list
           6*    # Multiply it by 6
             ±   # Take the bitwise NOT (-n-1)
              Ì  # And increase it by 2
                 # (after which the result is output implicitly)