Tantangan

Diberikan sembilan angka,, a, b, c, d, e, f, g, h, isebagai input yang sesuai dengan matriks kuadrat:

M = (\begin{matrix} a & b & c \\ d & e & f \\ g & h & i \end{matrix})

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix}a& b& c\\ d& e& f\\ g& h& i\end{pmatrix}$

Temukan kebalikan dari matriks, dan output komponen-komponennya. $\mathbf{M}^{-1}$

Matriks Terbalik

Kebalikan dari matriks 3 oleh 3 mematuhi persamaan berikut:

{M M}^{- 1} = M^{- 1} M = I = (\begin{matrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix})

$\mathbf{MM}^{-1} = \mathbf{M}^{-1}\mathbf{M} = \mathbf{I} = \begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}$

Dan dapat dihitung sebagai:

M^{- 1} = \frac{1}{det (M)} C^{T}

$\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{M})}\mathbf{C}^T$

Di mana $\mathbf{C}$ adalah matriks kofaktor:

C = (\begin{matrix} e i - f h & f g - d i & d h - e g \\ c h - b i & a i - c g & b g - a h \\ b f - c e & c d - a f & a e - b d \end{matrix})

$\mathbf{C}=\begin{pmatrix}ei-fh&fg-di&dh-eg\\ch-bi&ai-cg&bg-ah\\bf-ce&cd-af&ae-bd\end{pmatrix}$

Dan $\mathbf{C}^T$ adalah transposisi dari $\mathbf{C}$ :

C^{T} = (\begin{matrix} e i - f h & c h - b i & b f - c e \\ f g - d i & a i - c g & c d - a f \\ d h - e g & b g - a h & a e - b d \end{matrix})

$\mathbf{C}^T = \begin{pmatrix}ei-fh&ch-bi&bf-ce\\fg-di&ai-cg&cd-af\\dh-eg&bg-ah&ae-bd\end{pmatrix}$

Dan adalah penentu : $\det(\mathbf{M})$ $\mathbf{M}$

det (M) = a (e i - f h) - b (d i - f g) + c (d h - e g)

$\det(\mathbf{M}) = a(ei-fh)-b(di-fg)+c(dh-eg)$

Contoh yang berhasil

Sebagai contoh, katakanlah inputnya 0, -3, -2, 1, -4, -2, -3, 4, 1. Ini sesuai dengan matriks:

M = (\begin{matrix} 0 & - 3 & - 2 \\ 1 & - 4 & - 2 \\ - 3 & 4 & 1 \end{matrix})

$\mathbf{M} = \begin{pmatrix}0&-3&-2\\1&-4&-2\\-3&4&1\end{pmatrix}$

Pertama, mari kita hitung apa yang dikenal sebagai penentu menggunakan rumus di atas:

det (M) = 0 (- 4 \times 1 - (- 2) \times 4) - (- 3) (1 \times 1 - (- 2) \times - 3) + (- 2) (1 \times 4 - (- 4) \times - 3) = 1

$\det(\mathbf{M}) = 0(-4\times1-(-2)\times4) - (-3)(1\times1-(-2)\times-3) + (-2)(1\times4-(-4)\times-3) = 1$

Selanjutnya mari kita hitung matriks kofaktor:

C = (\begin{matrix} - 4 \times 1 - (- 2) \times 4 & - (1 \times 1 - (- 2) \times - 3) & 1 \times 4 - (- 4) \times - 3 \\ - (- 3 \times 1 - (- 2) \times 4) & 0 \times 1 - (- 2) \times - 3 & - (0 \times 4 - (- 3) \times - 3) \\ - 3 \times - 2 - (- 2) \times - 4 & - (0 \times - 2 - (- 2) \times 1) & 0 \times - 4 - (- 3) \times 1 \end{matrix})

$\mathbf{C} = \begin{pmatrix}-4\times1-(-2)\times4& -(1\times1-(-2)\times-3)&1\times4-(-4)\times-3\\-(-3\times1-(-2)\times4)&0\times1-(-2)\times-3&-(0\times4-(-3)\times-3)\\-3\times-2-(-2)\times-4&-(0\times-2-(-2)\times1)&0\times-4-(-3)\times1\end{pmatrix}$

= (\begin{matrix} 4 & 5 & - 8 \\ - 5 & - 6 & 9 \\ - 2 & - 2 & 3 \end{matrix})

$= \begin{pmatrix}4&5&-8\\-5&-6&9\\-2&-2&3\end{pmatrix}$

Kita kemudian perlu mengubah posisi (membalik baris dan kolom) untuk mendapatkan : $\mathbf{C}$ $\mathbf{C}^T$

C^{T} = (\begin{matrix} 4 & - 5 & 2 \\ 5 & - 6 & - 2 \\ - 8 & 9 & 3 \end{matrix})

$\mathbf{C}^T = \begin{pmatrix}4&-5&2\\5&-6&-2\\-8&9&3\end{pmatrix}$

Akhirnya, kita dapat menemukan kebalikannya sebagai:

M^{- 1} = \frac{1}{det (M)} C^{T} = \frac{1}{1} (\begin{matrix} 4 & - 5 & 2 \\ 5 & - 6 & - 2 \\ - 8 & 9 & 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 4 & - 5 & 2 \\ 5 & - 6 & - 2 \\ - 8 & 9 & 3 \end{matrix})

$\mathbf{M}^{-1} = \frac{1}{\det(\mathbf{M})}\mathbf{C}^T = \frac{1}{1}\begin{pmatrix}4&-5&2\\5&-6&-2\\-8&9&3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}4&-5&2\\5&-6&-2\\-8&9&3\end{pmatrix}$

Jadi hasilnya akan 4, -5, -2, 5, -6, -2, -8, 9, 3.

Aturan

Matriks yang diberikan akan selalu memiliki invers (yaitu non-singular). Matriksnya mungkin terbalik sendiri
Matriks yang diberikan akan selalu berupa matriks 3 by 3 dengan 9 bilangan bulat
Angka-angka dalam input akan selalu bilangan bulat dalam rentang $-1000 \leq n \leq 1000$
Komponen non-integer dari matriks dapat diberikan sebagai desimal atau pecahan

Contohnya

Input > Output
1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1 > 1, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1
0, -3, -2, 1, -4, -2, -3, 4, 1 > 4, -5, -2, 5, -6, -2, -8, 9, 3
1, 2, 3, 3, 1, 2, 2, 1, 3 > -1/6, 1/2, -1/6, 5/6, 1/2, -7/6, -1/6, -1/2, 5/6
7, 9, 4, 2, 7, 9, 3, 4, 5 > -1/94, -29/94, 53/94, 17/94, 23/94, -55/94, -13/94, -1/94, 31/94

Kemenangan

Kode terpendek dalam byte menang.

— Peluruhan Beta
sumber

18

MATL , 54 byte

th3LZ)t,3:q&XdpswP]w-lw/GtY*tXdsGXdsUw-IXy*2/+GtXds*-*

Cobalah online!

Untuk membuatnya tetap menarik, jangan gunakan divisi matriks bawaan atau fungsi penentu untuk melakukannya.

Sebagai gantinya, hitung determinan menggunakan Aturan Sarrus .

Dan adjugate (transposed cofactor matrix) menggunakan rumus Cayley-Hamilton .

adj (SEBUAH) = \frac{1}{2} ((tr SEBUAH)^{2} - tr {SEBUAH}^{2}) {saya}_{3} - SEBUAH tr SEBUAH + {SEBUAH}^{2} .

$\operatorname {adj} (\mathbf {A} )={\frac {1}{2}}\left((\operatorname {tr} \mathbf {A} )^{2}-\operatorname {tr} \mathbf {A} ^{2}\right)\mathbf {I} _{3}-\mathbf {A} \operatorname {tr} \mathbf {A} +\mathbf {A} ^{2}.$

Kode yang dikomentari:

% Finding determinant
th    % concatenate the matrix to itself sideways
3LZ)  % chop off the last column (since the Rule of Sarrus doesn't need it)
t     % duplicate this matrix (say S)
,     % do this twice:
  3:q&Xd  % get the first three diagonals of S
  ps      % multiply each diagonal's values and add the results
  wP      % switch and flip the matrix (to get the popposing diagonals next time)
]w    % close loop, switch to have correct order of sums
-     % subtract - we now have the determinant
lw/   % invert that

% Finding adjugate using Cayley–Hamilton formula
GtY*  % A^2 term (last term of the formula)
tXds  % trace(A^2) for term 1 of formula
GXdsU % (trace(A))^2 for term1 of formula
w-    % (trace(A))^2 - trace(A^2)
IXy*  % multiply that by the identity matrix
2/    % divide that by 2 - term 1 complete
+
GtXds* % A*trA for term 2 of formula
-      % subtract to get adj(A)

*      % multiply by the inverse of determinant we found earlier
       % implicit output

Kita bahkan bisa menjadi ~~lebih gila~~ dengan mengganti perkalian matriks yang GtY*dilakukan untuk , dengan sesuatu seperti ( Cobalah di MATL Online ). $A^2$ 3:"Gt!@qYS*!s] 3$v t&v 3:K-&Xd

Cara yang lebih langsung dan jelas:

4 byte

-1Y^

Cobalah online!

(-1 byte terima kasih kepada @Luis Mendo.)

-1 - Dorong literal -1

Y^ - Naikkan input ke kekuatan itu (input implisit, output implisit)

— sundar - Pasang kembali Monica
sumber

Menarik, saya tidak pernah tahu itu disebut "Aturan Sarrus". Guru saya mengajari kami hal itu, tetapi ia telah membuatnya sendiri saat di uni.

— Beta Decay

@LuisMendo Terima kasih, mengganti versi pendek (tbh versi sebelumnya hanya implementasi buta dari saran manual MATL untuk invers, tidak ada pemikiran yang sebenarnya masuk ke yang :)). Untuk versi panjang, saya pikir ini sedikit lebih jelas untuk membiarkannya, cukup layak untuk mendapatkan hit 1 byte.

— sundar - Reinstate Monica

1

@sundar Heh, saya bahkan tidak ingat saran itu. Saya akan menambahkan saran kekuatan matriks juga

— Luis Mendo

13

APL (Dyalog Classic), 1 byte

⌹

Cobalah online!

jika sebuah flat diperlukan, ini adalah 8 byte

,∘⌹3 3∘⍴

Cobalah online!

— jslip
sumber

9

Selamat datang di PPCG!

— Beta Decay

9

R, 51 35 27 8 5 byte

solve

Cobalah online!

Pertama lakukan salah satu tantangan golf ini. Maaf jika pemformatan saya salah!

Menyimpan total 11 byte tambahan berkat Giuseppe! Menyimpan 19 byte tambahan berkat JAD!

— Robert S.
sumber

5

Selamat datang di PPCG!

— Beta Decay

Menghapus nama variabel parameter dari fungsi matriks yang mengurangi 16 byte!

— Robert S.

1

Bagus! Anda dapat menghapus sebagian besar variabel untuk menghemat byte karena Anda benar-benar hanya merantai operasi bersama-sama: coba online!

— Giuseppe

1

Jika Anda akan menggunakan solve, solusinya adil solve, karena memenuhi semua persyaratan pertanyaan. Dibutuhkan matriks sebagai input dan mengembalikan matriks.

— JAD

1

seperti ini

— Giuseppe

4

Jelly , 3 byte

æ*-

Cobalah online!

Dengan asumsi kita dapat mengambil input dan memberikan daftar bilangan bulat 2D. Jika daftar datar bilangan bulat benar-benar diperlukan untuk input dan output, maka ini berfungsi selama 6 byte.

— Tuan Xcoder
sumber

æ*-

- 1

$-1$ -

- 1

$-1$

12

Komentar tidak harus berumur panjang. Jika Anda memasukkan penjelasan dalam komentar, Anda harus memindahkannya ke jawabannya.

— Poke

4

JavaScript (ES6), 123 byte

Disimpan 2 byte berkat @ Mr.Xcoder
Disimpan 1 byte berkat @ETHproduksi

Mengambil input sebagai 9 nilai berbeda.

(a,b,c,d,e,f,g,h,i)=>[x=e*i-h*f,c*h-b*i,b*f-c*e,y=f*g-d*i,a*i-c*g,d*c-a*f,z=d*h-g*e,g*b-a*h,a*e-d*b].map(v=>v/=a*x+b*y+c*z)

Cobalah online!

— Arnauld
sumber

Hei, saya sudah mengizinkan fungsi matriks bawaan sekarang. Artinya, jika JS memiliki

— Beta Decay

@BetaDecay JS tidak punya. :-)

— Arnauld

Apakah tanda kurung itu benar -

— Tn. Xcoder

4

J , 2 byte

%.

Hanya primitif bawaan

Cobalah online!

— Galen Ivanov
sumber

3

Python 2 , 139 byte

def F(a,b,c,d,e,f,g,h,i):x=e*i-f*h;y=f*g-d*i;z=d*h-e*g;print[j/(a*x+b*y+c*z)for j in x,c*h-b*i,b*f-c*e,y,a*i-c*g,c*d-a*f,z,b*g-a*h,a*e-b*d]

Cobalah online! (Telah returnbukannya printuntuk kemudahan pengujian.)

— Lynn
sumber

1

Bersih , 143 byte

import StdEnv
$a b c d e f g h i#p=e*i-h*f
#q=f*g-d*i
#r=d*h-g*e
=[v/(a*p+b*q+c*r)\\v<-[p,c*h-b*i,b*f-c*e,q,a*i-c*g,d*c-a*f,r,g*b-a*h,a*e-d*b]]

Cobalah online!

— Suram
sumber

1

Python 3, 77 byte

import numpy
lambda l:(numpy.matrix(l).reshape(-1,3)**-1).ravel().tolist()[0]

Mengambil input sebagai daftar datar.

Ini 63 byte jika input diambil sebagai array 2D:

import numpy
lambda l:(numpy.matrix(l)**-1).ravel().tolist()[0]

— Peluruhan Beta
sumber

0

Perl, 226 + 4 ( `-plF,`flag) = 230 byte

$_=join', ',map$_/($a*$x+$b*$y+$c*$z),$x=($e=$F[4])*($i=$F[8])-($f=$F[5])*($h=$F[7]),($c=$F[2])*$h-($b=$F[1])*$i,$b*$f-$c*$e,$y=$f*($g=$F[6])-($d=$F[3])*$i,($a=$F[0])*$i-$c*$g,$c*$d-$a*$f,$z=$d*$h-$e*$g,$b*$g-$a*$h,$a*$e-$b*$d

Cobalah online .

— Denis Ibaev
sumber

0

Perl 5, 179 byte

sub{($a,$b,$c,$d,$e,$f,$g,$h,$i)=@_;map$_/($a*$x+$b*$y+$c*$z),$x=$e*$i-$f*$h,$c*$h-$b*$i,$b*$f-$c*$e,$y=$f*$g-$d*$i,$a*$i-$c*$g,$c*$d-$a*$f,$z=$d*$h-$e*$g,$b*$g-$a*$h,$a*$e-$b*$d}

Cobalah online .

— Denis Ibaev
sumber

0

Noether, 168 byte

I~aI~bI~cI~dI~eI~fI~gI~hI~iei*fh*-a*di*fg*-b*-dh*eg*-c*+~zei*fh*-z/P","~nPch*bi*-z/PnPbf*ce*-z/PnPfg*di*-z/PnPai*cg*-z/PnPcd*af*-z/PnPdh*eg*-z/PnPbg*ah*-z/PnPae*bd*-z/P

Cobalah online

— Peluruhan Beta
sumber

0

Google Sheets , 16 byte

=MINVERSE(A1:C3)

Input ada dalam kisaran A1:C3

^{^{^{^{Built-in membosankan}}}}

— Toast insinyur
sumber

0

Pari / GP , 6 byte

m->1/m

Membawa inversi multiplikatif di ring matriks $\mathrm{M}_n$ .

Cobalah online!

— alephalpha
sumber

0

Clojure, 165 byte

(fn[a b c d e f g h i](let[M map C(M -(M *[e f d c a b b c a][i g h h i g f d e])(M *[f d e b c a c a b][h i g i g h e f d]))](for[i C](/ i(apply +(M *[a b c]C))))))

Saya minta maaf ini menghasilkan C dalam transpos, dan saya merasa malas untuk melakukan kembali urutan karakter panjang untuk memperbaikinya saat ini.

— NikoNyrh
sumber

0

APL (Dyalog), 7 byte

,⌹3 3⍴⎕

Mengambil input sebagai daftar datar dan keluaran sebagai daftar datar

Cobalah online!

— Peluruhan Beta
sumber

Temukan kebalikan dari matriks 3 oleh 3

Tantangan

Matriks Terbalik

Contoh yang berhasil

Aturan

Contohnya

Kemenangan

MATL , 54 byte

Kode yang dikomentari:

4 byte

R, 51 35 27 8 5 byte

Jelly , 3 byte

JavaScript (ES6), 123 byte

J , 2 byte

Python 2 , 139 byte

Bersih , 143 byte

Python 3, 77 byte

Perl, 226 + 4 ( -plF,flag) = 230 byte

Perl 5, 179 byte

Noether, 168 byte

Google Sheets , 16 byte

Pari / GP , 6 byte

Clojure, 165 byte

APL (Dyalog), 7 byte

Perl, 226 + 4 ( `-plF,`flag) = 230 byte