Tujuan

Tujuan dari tantangan ini adalah untuk menghasilkan fungsi nyang menghitung sejumlah cara untuk membagi n X 1kisi - kisi menjadi segitiga di mana semua simpul segitiga berada pada titik-titik kisi.

Contoh

Sebagai contoh, ada 14 cara untuk mempartisi kisi 2 x 1, jadi f(2) = 14melalui partisi berikut ini di mana partisi memiliki masing-masing 2, 2, 2, 2, 4, dan 2 orientasi berbeda.

Mencetak gol

Ini kode-golf , jadi kode terpendek menang.

05AB1E , 13 byte

·LÉœÙεÅγo;P}O

Pelabuhan @Bubbler 's Jelly jawabannya .

Sangat lambat karena permutasi bawaan.

Cobalah online atau verifikasi empat input pertama .

Penjelasan:

·                # Double the (implicit) input
 L               # Create a list in the range [1, doubled_input]
  É              # Check for each if they're odd (1 if truthy, 0 is falsey)
                 # We now have a list of n 0s and n 1s (n being the input)
   œ             # Get all permutations of that list
    Ù            # Only leave the unique permutations
     ε     }     # Map each permutation to:
      Åγ         #  Run-length encode the current value (short for `γ€g`)
        o        #  Take 2 to the power for each
         ;       #  Halve each
          P      #  Take the product of the mapped permutation
            O    # Sum all mapped values together (and output implicitly)

Haskell , 60 55 54 52 byte

Setelah menggambar dan memprogram banyak contoh, terlintas dalam benak saya bahwa ini sama dengan masalah benteng:

Pada papan catur , berapa banyak cara untuk naik dari rook ke hanya dengan bergerak ke kanan atau lebih tinggi ?$(n+1) \times (n+1)$$(0,0)$$(n,n)$$+(1,0)$$+(0,1)$

Pada dasarnya Anda memiliki garis atas dan bawah dari kisi . Sekarang Anda harus mengisi garis non-horisontal. Setiap segitiga harus memiliki dua garis non-horizontal. Apakah salah satu sisinya merupakan bagian atas atau garis bawah sesuai dengan arah dan panjang Anda akan pergi dalam masalah benteng. Ini adalah OEIS A051708 . Sebagai ilustrasi korespondensi ini, perhatikan contoh-contoh berikut. Di sini garis atas berhubungan dengan gerakan ke atas, sedangkan garis bawah berhubungan dengan gerakan ke kanan.$1 \times n$

Terima kasih @PeterTaylor untuk -6 byte dan @PostLeftGarfHunter untuk -2 byte!

b 0=1
b 1=2
b n=div((10*n-6)*b(n-1)-9*(n-2)*b(n-2))n

Cobalah online!

Haskell , 42 byte

0?0=1
a?b=sum[a?i+i?a|i<-[0..b-1]]
f n=n?n

Cobalah online!

Implementasi yang cukup langsung yang berulang lebih dari 2 variabel.

Inilah cara kami mendapatkan solusi ini. Mulai dengan kode yang menerapkan formula rekursif langsung:

54 byte

0%0=1
a%b=sum$map(a%)[0..b-1]++map(b%)[0..a-1]
f n=n%n

Cobalah online!

Menggunakan interpretasi benteng bergerak flawr ini , a%badalah jumlah jalur yang mendapatkan benteng dari (a,b)ke (0,0), menggunakan hanya bergerak penurunan koordinat. Langkah pertama mengurangi aatau mengurangi b, menjaga yang lain sama, maka rumus rekursif.

49 byte

a?b=sum$map(a%)[0..b-1]
0%0=1
a%b=a?b+b?a
f n=n%n

Cobalah online!

Kita dapat menghindari pengulangan map(a%)[0..b-1]++map(b%)[0..a-1]dengan memperhatikan bahwa kedua bagiannya sama adan bbertukar. Panggilan tambahan a?bmenghitung jalur di mana langkah pertama menurun a, dan b?amenghitung jalur di mana langkah pertama berkurang b. Ini pada umumnya berbeda, dan mereka menambah a%b.

Penjumlahan dalam a?bjuga dapat ditulis sebagai daftar pemahaman a?b=sum[a%i|i<-[0..b-1]].

42 byte

0?0=1
a?b=sum[a?i+i?a|i<-[0..b-1]]
f n=n?n

Cobalah online!

Akhirnya, kita menyingkirkan %dan hanya menulis rekursi dalam hal ?dengan mengganti a%idengan a?i+i?apanggilan rekursif.

Basis kasus baru menyebabkan ini ?untuk memberikan output dua kali lipat dari ?pada versi 49-byte, karena dengan 0?0=1, kita akan melakukannya 0%0=0?0+0?0=2. Ini memungkinkan penggunaan define f n=n?ntanpa mengurangi separuh yang harus kita lakukan.

CJam (24 byte)

{2,*e!{e`0f=:(1b2\#}%1b}

Demo online

Ini menggunakan pendekatan Bubbler untuk menjumlahkan permutasi n0s dan n1s.

Pembedahan

{         e# Define a block
  2,*     e#   Given input n, create an array of n 0s and n 1s
  e!      e#   Generate all permutations of that array
  {       e#   Map:
    e`    e#     Run-length encode
    0f=:( e#     Extract just the lengths and decrement them
    1b    e#     Sum
    2\#   e#     Raise 2 to the power of that sum
  }%
  1b      e#  Sum the mapped values
}

Pendekatan alternatif (28 byte)

{_1aa{_2$,f{j}@@,f{j}+1b}2j}

Demo online

Pembedahan

Segitiga memiliki satu tepi horizontal dan dua tepi yang menghubungkan garis horizontal. Beri label tepi non-horizontal dengan tupel dari dua x-coord dan urutkan secara leksikografis. Kemudian tepi pertama adalah (0,0), tepi terakhir adalah (n,n), dan dua tepi berturut-turut berbeda persis satu dari dua posisi. Ini menghasilkan rekursi sederhana, yang telah saya terapkan menggunakan operator rekursi memoised j:

{            e# Define a block
  _          e#   Duplicate the argument to get n n
  1aa        e#   Base case for recursion: 0 0 => 1
  {          e#   Recursive body taking args a b
    _2$,f{j} e#     Recurse on 0 b up to a-1 b
    @@,f{j}  e#     Recurse on a 0 up to a b-1
    +1b      e#     Combine and sum
  }2j        e#   Memoised recursion with 2 args
}

Catatan

Ini bukan pertama kalinya saya ingin fjdidukung di CJam. Di sini itu akan membawa skor menjadi 24 byte juga. Mungkin saya harus mencoba menulis tambalan ...

Jelly , ₁₅ 14 byte

Ø.xŒ!QŒɠ€’§2*S

Cobalah online!

-1 byte berdasarkan komentar Peter Taylor.

Gunakan ilustrasi flawr secara langsung, bukan formula yang dihasilkan.

Bagaimana itu bekerja

Ø.xŒ!QŒɠ€’§2*S    Main link (monad). Input: positive integer N.
Ø.x               Make an array containing N zeros and ones
   Œ!Q            All unique permutations
      Œɠ€         Run-length encode on each permutation
         ’§       Decrement and sum each
           2*S    Raise to power of 2 and sum

Ambil setiap rute yang memungkinkan pada kotak persegi. Jumlah cara untuk memindahkan unit L dalam satu arah sebagai benteng adalah 2**(L-1). Terapkan ini untuk setiap rute dan jumlah jumlah cara untuk melintasi setiap rute.

Arang , 44 31 byte

dicoret 44 masih teratur 44

Ｆ⊕θ«≔⟦⟧ηＦ⊕θ⊞ηΣ∨⁺ηＥυ§λκ¹⊞υη»Ｉ⊟⊟υ

Cobalah online! Penjelasan: Bekerja dengan menghitung jumlah cara untuk mempartisi trapesium dengan panjang sisi yang berlawanan m,nmenjadi segitiga yang semuanya terletak pada offset bilangan bulat. Ini hanyalah kasus umum dari ukuran persegi panjang ndalam pertanyaan. Jumlah partisi diberikan secara rekursif sebagai jumlah dari jumlah partisi untuk semua sisi m,0..n-1dan n,0..m-1. Ini setara dengan masalah umum dari benteng, OEIS A035002 . Kode hanya menghitung jumlah partisi bekerja dari 0,0hingga n,nmenggunakan nilai-nilai yang sebelumnya dihitung sebagai kelanjutannya.

Ｆ⊕θ«

Lingkari baris 0..n.

≔⟦⟧η

Mulai dengan baris kosong.

Ｆ⊕θ

Ulangi kolom di baris 0..n.

⊞ηΣ∨⁺ηＥυ§λκ¹

Ambil baris sejauh ini dan nilai-nilai di baris sebelumnya di kolom saat ini, dan tambahkan jumlah total ke baris saat ini. Namun, jika tidak ada nilai sama sekali, maka gantikan 1dengan jumlah tersebut.

⊞υη»

Tambahkan baris yang sudah selesai ke daftar baris sejauh ini.

Ｉ⊟⊟υ

Keluarkan nilai akhir yang dihitung.

JavaScript (ES6),  45 44  42 byte

Menggunakan rumus rekursif yang ditemukan oleh Peter Taylor dan flawr .

f=n=>n<2?n+1:(10-6/n)*f(--n)+9/~n*f(--n)*n

Cobalah online!

Pari / GP , 43 byte

Menurut OEIS , fungsi pembangkit dari urutan ini adalah

n->Vec(sqrt((1-x)/(1-9*x)+O(x^n++))+1)[n]/2

Cobalah online!

Python 3 , 51 byte

lambda n:-~n*(n<2)or(10-6/n)*f(n-1)-(9-18/n)*f(n-2)

Cobalah online!

Port of flawr menjawab