Latar Belakang

Urutan OEIS A272573 menggambarkan spiral pada kisi heksagonal sebagai berikut:

Mulai spiral angka pada ubin heksagonal, dengan heksagon awal sebagai a (1) = 1. a (n) adalah bilangan bulat positif terkecil yang tidak sama dengan atau sebelumnya berdekatan dengan tetangganya.

Urutannya dimulai

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 4, 6, 8, 5, 9, 8, 10, 2, 11, ...

Berikut ilustrasi pola spiral:

• a(11) != 1karena itu 3dan 1akan berdekatan di dua tempat.
• a(11) != 2karena itu 3dan 2akan berdekatan di dua tempat.
• a(11) != 3karena dengan begitu 3akan berbatasan dengan dirinya sendiri.
• a(11) != 4karena itu 3dan 4akan berdekatan di dua tempat.
• Oleh karena itu a(11) = 5.

Tantangan

Tantangannya adalah menulis program yang menghitung A272573 . Ini kode-golf , jadi kode terpendek menang.

JavaScript (ES6),  267 .. 206  199 byte

$N$

n=>(F=v=>++i<n?F([...v,(A=N[i]=[1,!j++||d+1,j%L?d:(j%=L*6)?++d:L++&&d++].map(k=>N[k=i-k].push(i)&&k),g=k=>v[E='every']((V,x)=>V-k|N[x][E](y=>A[E](z=>v[y]-v[z])))?k:g(-~k))()]):v)([L=1],N=[[i=j=d=0]])

Cobalah online!

Bagaimana?

Definisi

Secara konvensional, kita akan menyebut sel sudut sebagai sel yang hanya memiliki satu sisi yang sama dengan lapisan spiral sebelumnya dan sel sisi memiliki sel yang memiliki dua sisi yang sama dengan lapisan sebelumnya. Seperti yang disarankan oleh Ourous, kita juga dapat menganggap mereka sebagai sel urutan-1 dan sel-2 pesanan.

Sel sudut ditunjukkan dengan warna kuning di bawah ini. Semua sel lain adalah sel samping (kecuali sel tengah yang merupakan kasus khusus).

Tentang tetangga sel

Kami tidak benar-benar perlu melacak koordinat sel di grid. Satu-satunya hal yang perlu kita ketahui adalah daftar sel tetangga untuk setiap sel dalam spiral pada waktu tertentu.

Dalam diagram berikut, tetangga di lapisan sebelumnya ditampilkan dalam warna terang dan tetangga tambahan di lapisan saat ini dalam warna lebih gelap.

Sebuah sel memiliki 2 tetangga di antara sel-sel sebelumnya jika:

• ini adalah sel samping pertama dari layer baru (seperti 8 )
• atau itu adalah sel sudut, tetapi bukan yang terakhir dari lapisan (seperti 9 )

Sebuah sel memiliki 3 tetangga di antara sel-sel sebelumnya jika:

• itu adalah sel samping, tetapi bukan yang pertama dari lapisan (seperti 10 )
• atau itu adalah sel sudut terakhir dari lapisan saat ini (seperti 19 )

Implementasi tetangga sel

$1$$i$$n$$A[n]$

$1$$-1$

[                    //
  1,                 // the previous cell is always a neighbor of the current cell
  !j++ || d + 1,     // if this is not the first cell of the layer, the cell at -(d + 1)
                     // is a neighbor (otherwise, we insert 1 twice; doing it that way
                     // saves bytes and having duplicate neighbors is not a problem)
  j % L ?            // if this is a side-cell:
    d                //   the cell at -d is a neighbor
  :                  // else (corner-cell):
    (j %= L * 6) ?   //   if this is not the last cell:
      ++d            //     insert the dummy duplicate neighbor at -(d + 1); increment d
    :                //   else (last cell):
      L++ && d++     //     the cell at -d is a neighbor; increment L; increment d
]                    //

Dalam kode di atas:

• $L$$1$
• $j$$1$$6\times L$
• $d$

map()$k$$i-k$

.map(k =>
  N[k = i - k].push(i) && k
)

Menemukan istilah urutan selanjutnya

$k$

$n$$v[n]$

( g =                 // g = recursive function taking
  k =>                // the candidate value k
    v.every((V, x) => // for each previous cell of value V at position x, make sure that:
      V - k           //   V is not equal to k
      |               //   OR
      N[x].every(y => //   for each neighbor y of x:
        A.every(z =>  //     for each neighbor z of the current cell:
          v[y] - v[z] //       the value of y is not equal to the value of z
        )             //     end
      )               //   end
    )                 // end
    ?                 // if the above conditions are fulfilled:
      k               //   stop recursion and return k
    :                 // else:
      g(-~k)          //   try again with k + 1
)()                   // initial call to g with k undefined (this will cause V - k to be
                      // evaluated as NaN and force the 1st iteration to fail)

Bersih , 284 279 272 262 byte

import StdEnv
l=[0,-1,-1,0,1,1]
c(u,v)(p,q)=(u-p)^2+(v-q)^2<2||(u-p)*(q-v)==1
$[h:t]m=hd[[e: $t[(h,e):m]]\\e<-[1..]|and[e<>j\\(u,v)<-m|c h u,(p,q)<-m|q==v,(i,j)<-m|c p i]]

$(scan(\(a,b)(u,v)=(a-u,b-v))(0,0)[(i,j)\\n<-[1..],i<-[1,1:l]&j<-l,_<-[max(~j<<i)1..n]])[]

Cobalah online!

Menghasilkan urutan selamanya.

Pemetaan Hexagon

Sebagian besar kode masuk ke pemetaan segi enam unik untuk (x,y)koordinat sehingga ada fungsi tunggal, sederhana untuk menentukan kedekatan yang berlaku untuk semua pemetaan titik.

Poin yang dipetakan terlihat seperti ini:

              ---
        --- < 2,-2> ---       x-axis ___.X'
  --- < 1,-2> === < 2,-1> ---  /__.X'
< 0,-2> === < 1,-1> === < 2, 0>'
  === < 0,-1> === < 1, 0> ===
<-1,-1> === < 0, 0> === < 1, 1>
  === <-1, 0> === < 0, 1> ===
<-2, 0> === <-1, 1> === < 0, 2>.__
  --- <-2, 1> === <-1, 2> ---  \  'Y.___
        --- <-2, 2> ---       y-axis    'Y.
              ---

Dari sana, menentukan kedekatan adalah sepele, dan terjadi ketika salah satu dari:

• x1 == x2 dan abs(y1-y2) == 1
• y1 == y2 dan abs(x1-x2) == 1
• y1 == y2 - 1 dan x2 == x1 - 1
• y1 == y2 + 1 dan x2 == x1 + 1
• x1 == x2 dan y1 == y2

Point Generation

Perhatikan bahwa ketika melintasi hexagon dalam spiral, perbedaannya berulang untuk setiap lapisan n:

1. n langkah-langkah (1,0)
2. n-1 langkah-langkah (1,-1)
3. n langkah-langkah (0,-1)
4. n langkah-langkah (-1,0)
5. n langkah-langkah (-1,1)
6. n langkah-langkah (0,1)

Ini menghasilkan poin dalam urutan yang benar dengan mengambil sejumlah awalan dari urutan ini:

scan(\(a,b)(u,v)=(a-u,b-v))(0,0)[(i,j)\\n<-[1..],i<-[1,1:l]&j<-l,_<-[max(~j<<i)1..n]]

Menyatukannya

Kode yang benar-benar menemukan urutan dari pertanyaan itu adalah:

$[h:t]m=hd[[e: $t[(h,e):m]]\\e<-[1..]|and[e<>j\\(u,v)<-m|c h u,(p,q)<-m|q==v,(i,j)<-m|c p i]]

Yang pada gilirannya sebagian besar disaring oleh and[r<>j\\(u,v)<-m|c h u,(p,q)<-m|q==v,(i,j)<-m|c p i]

Filter ini mengambil poin dari m(daftar poin yang sudah dipetakan) dengan:

• Mengabaikan bilangan asli yang sama dengan apa pun j
• Untuk setiap (i,j)tempat iyang berdekatanp
• Untuk setiap (p,q)tempat nilainya qsama denganv
• Untuk setiap (u,v)tempat uyang berbatasan dengan titik saat ini