Tantangan

Tulis fungsi / program yang menampilkan nelemen 'th, atau nelemen pertama , dalam urutan angka yang terkenal:

         1, 2, 4, 8, 16 ...

Oh, tunggu ... Saya lupa beberapa angka pertama:

1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16 ...

Heck, saya akan menambahkan beberapa lagi untuk ukuran yang baik:

1, 1, 1, 1, 2, 4, 8, 16, 33, 69, 146, 312, 673, 1463, 3202, 7050, 15605, 34705 ...

Angka-angka tersebut adalah angka Katalan Umum yang diberikan oleh rumus (indeks-nol):

a (n + 1) = a (n) + \sum_{k = 2}^{n - 1} a (k) \cdot a (n - 1 - k)

$a(n+1)= a(n) + \sum_{k=2}^{n-1} a(k)\cdot a(n-1-k)$

dimana

a (0) = a (1) = a (2) = a (3) = 1

$a(0)= a(1)= a(2)= a(3) = 1$

Ini adalah OEIS A004149 .

Anda dapat memilih apakah Anda ingin urutan nol atau satu diindeks. Urutannya tentu saja harus sama, jadi Anda harus menulis ulang rumus jika Anda memilikinya satu-diindeks.

— Stewie Griffin
sumber

Benar saya jika saya salah di sini, tapi modifikasi untuk formula satu-diindeks adalah mengubah a(n-1-k)ke a(n-k), benar?

— Sumner18

9

Ini mengingatkan saya pada hukum kuat jumlah kecil

— Luis Mendo

23

Python , 51 byte

f=lambda n,k=2:n<3or k<n and f(k)*f(n-k-2)+f(n,k+1)

Cobalah online!

Sederhanakan formula ini:

a (n) = \sum_{k = 2}^{n - 1} a (k) \cdot a (n - 2 - k)

$a(n) = \sum_{k=2}^{n-1} a(k)\cdot a(n-2-k)$

a (- 1) = a (0) = a (1) = a (2) = 1

$a(-1) = a(0)= a(1)= a(2) = 1$

— Tidak
sumber

8

Selamat atas 100k !!

— Stewie Griffin

Karena saya juga tiba untuk solusi ini secara mandiri, saya harus mengatakan bahwa jalan menuju itu agak bergelombang ...

— Erik the Outgolfer

10

Perl 6 , 44 byte

{1,1,1,1,{sum @_[2..*]Z*@_[@_-4...0,0]}...*}

Cobalah online!

Blok kode anonim yang mengembalikan urutan nilai malas yang tak terbatas. Ini cukup banyak mengimplementasikan urutan seperti yang dijelaskan, dengan cara pintas yang zip itu mengalikan semua elemen sejauh ini setelah elemen kedua dengan kebalikan dari daftar mulai dari elemen keempat dan menambahkan tambahan 1di akhir.

Penjelasan:

{                                          }  # Anonymous code block
                                       ...*   # Create an infinite sequence
 1,1,1,1,                                     # Starting with four 1s
         {                            }       # Where each new element is:
          sum                                   # The sum of
              @_[2..*]                          # The second element onwards
                      Z*                        # Zip multiplied with
                        @_[@_-4...0  ]          # The fourth last element backwards
                                   ,0           # And 1

— Jo King
sumber

10

05AB1E , 14 13 11 byte

$ƒˆ¯Âø¨¨¨PO

Cobalah online!

Menghasilkan elemen ke-n, diindeks 0.

$                # push 1 and the input
 ƒ               # repeat (input+1) times
  ˆ              #  add the top of the stack (initially 1) to the global array
   ¯             #  push the global array
    Â            #  and a reversed copy of it
     ø           #  zip the two together, giving a list of pairs
      ¨¨¨        #  drop the last 3 pairs
         P       #  take the product of each pair (or 1 if the list is empty)
          O      #  take the sum of those products
                 #  after the last iteration, this is implicitly output;
                 #  otherwise, it's added to the global array by the next iteration

— Grimmy
sumber

7

JavaScript (ES6), 42 byte

Port solusi xnor .

Diindeks 0.

f=(n,k=2)=>n<3||k<n&&f(k)*f(n+~++k)+f(n,k)

Cobalah online!

JavaScript (ES6), 83 75 byte

Solusi yang lebih cepat, kurang rekursif, tetapi jauh lebih lama.

Diindeks 0.

f=(n,i,a=[p=1])=>a[n]||f(n,-~i,[...a,p+=(h=k=>k<i&&a[k]*a[i-++k]+h(k))(2)])

Cobalah online!

— Arnauld
sumber

7

Haskell, 49 43 39 byte

a n=max(sum[a k*a(n-2-k)|k<-[2..n-1]])1

Cobalah online!

Untuk n<3itu sumadalah 0, sehingga max ... 1menimbulkan ke 1.

Sunting: -6 bytes berkat @ Jo King.

— nimi
sumber

6

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 36 byte

Sum[#0@i#0[#-i-1],{i,3,#-1}]/. 0->1&

Cobalah online!

1-diindeks.

2-diindeks urutan 4 byte pendek: Sum[#0@i#0[#-i],{i,#-4}]/. 0->1&. Cobalah online!

— attinat
sumber

2

Mengesankan bahwa ini lebih pendek daripada built-in CatalanNumber!

— erfink

6

05AB1E , 17 13 byte

4Å1λ£₁λ¨Â¦¦s¦¦*O+

Tidak lebih pendek dari jawaban 05AB1E yang ada , tetapi saya ingin mencoba fungsi rekursif dari versi 05AB1E yang baru sebagai latihan untuk diri saya sendiri. ~~Mungkin bisa golf dengan beberapa byte.~~ EDIT: Dan itu memang bisa, melihat versi rekursif dari @Grimy 's 05AB1E jawaban di bawah ini, yang merupakan 13 byte .

Output yang pertama $n$ item: Coba online .

Dapat diubah menjadi berbasis 0 $n$ item ketika mengganti £dengan è: Cobalah online ;
atau daftar tanpa batas dengan menghapus £: Coba online .

Penjelasan:

Ini mengimplementasikan rumus yang digunakan dalam deskripsi tantangan seperti ini:
$a(n)= a(n-1) + \sum_{k=2}^{n-1}(a(k)\cdot a(n-1-k))$

$a(0)=a(1)=a(2)=a(3)=1$

   λ               # Create a recursive environment,
    £              # to output the first (implicit) input amount of results after we're done
4Å1                # Start this recursive list with [1,1,1,1], thus a(0)=a(1)=a(2)=a(3)=1
                   # Within the recursive environment, do the following:
      λ            #  Push the list of values in the range [a(0),a(n)]
       ¨           #  Remove the last one to make the range [a(0),a(n-1)]
        Â          #  Bifurcate this list (short for Duplicate & Reverse copy)
         ¦¦        #  Remove the first two items of the reversed list,
                   #  so we'll have a list with the values in the range [a(n-3),a(0)]
           s       #  Swap to get the [a(0),a(n-1)] list again
            ¦¦     #  Remove the first two items of this list as well,
                   #  so we'll have a list with the values in the range [a(2),a(n-1)]
              *    #  Multiply the values at the same indices in both lists,
                   #  so we'll have a list with the values [a(n-3)*a(2),...,a(0)*a(n-1)]
               O   #  Take the sum of this list
     ₁          +  #  And add it to the a(n-1)'th value
                   # (afterwards the resulting list is output implicitly)

Versi 13 byte dari @Grimy (pastikan untuk meningkatkan jawabannya jika Anda belum melakukannya!):

1λ£λ1šÂ¨¨¨øPO

Output yang pertama $n$ item: Coba online.

Lagi-lagi dapat diubah menjadi pengindeksan berbasis-0 atau daftar yang tidak terbatas:
- Pengindeksan (berbasis-0) 1λèλ1šÂ¨¨¨øPO: Coba online ;
- Daftar Infinite λλ1šÂ¨¨¨øPO: Cobalah online . (Perhatikan bahwa 2 byte disimpan di sini, bukan 1, karena lingkungan rekursif dimulai dengan $a(0)=1$ secara default.)

Penjelasan:

Alih-alih ini mengimplementasikan rumus yang ditemukan oleh @xnor untuk jawaban Python-nya seperti ini:
$a(n) = \sum_{k=2}^{n-1}(a(k)\cdot a(n-2-k))$

$a(-1) = a(0) = a(1) = a(2) = 1$

 λ             # Create a recursive environment,
  £            # to output the first (implicit) input amount of results after we're done
1              # Start this recursive list with 1, thus a(0)=1
               # Within the recursive environment, do the following:
   λ           #  Push the list of values in the range [a(0),a(n)]
    1š         #  Prepend 1 in front of this list
      Â        #  Bifurcate the list (short for Duplicate & Reverse copy)
       ¨¨¨     #  Remove (up to) the last three value in this reversed list
          ø    #  Create pairs with the list we bifurcated earlier
               #  (which will automatically remove any trailing items of the longer list)
           P   #  Get the product of each pair (which will result in 1 for an empty list)
            O  #  And sum the entire list
               # (afterwards the resulting list is output implicitly)

— Kevin Cruijssen
sumber

1

Menarik bahwa ini dapat menyelesaikan (1.200) dalam 40 detik pada tio, sementara pendekatan rekursif lainnya menyendiri untuk angka n dari 100 ...

— Stewie Griffin

1

Saya juga membuat (tetapi tidak menerbitkan) versi rekursif. Ini 13 byte untuk n istilah pertama , atau 11 byte untuk daftar yang tak terbatas . Casing khusus a (n-1) menghabiskan banyak byte dan tidak diperlukan (lihat misalnya rumus xnor ).

— Grimmy

@Grimy Apakah Anda keberatan jika saya menambahkan solusi rekursif Anda ke jawaban saya (tentu saja, memberi Anda kredit)? Saya akan meninggalkan jawaban asli saya juga. Tapi senang melihat perbedaan antara formula asli dan formula byte-saving xnor. :)

— Kevin Cruijssen

1

Tentu, tidak apa-apa!

— Grimmy

@StewieGriffin Ya, saya juga terkesan dengan kecepatan fungsi tak terbatas rekursif ini. Mungkin salah satu kekuatan Elixir, dan pastinya karena pemuatan yang malas. Ini menghitung n=100dalam 0,65 detik , tetapi ketika saya menonaktifkan lazy-loading, itu akan habis setelah 60 detik, bahkan untukn=25 .

— Kevin Cruijssen

5

Python 3 , 59 byte

sangat tidak efisien, a(13)tidak selesai di TIO.

a=lambda n,k=2:n<4or(n-k<2)*a(n-1)or a(k)*a(n-k-2)+a(n,k+1)

Cobalah online!

— ovs
sumber

3

Jelly , 17 byte

1WṪ;+¥×Uṫ3SƲ;@Ʋ⁸¡

Cobalah online!

Tautan monadik yang mengambil indeks-nol $n$ dan mengembalikan daftar nomor Katalan umum dari $0$ untuk $n$ .

— Nick Kennedy
sumber

2

Haskell , 76 byte

1:1:1:f[1,1,1]
f(x:z)|y<-x+sum(zipWith(*)(init$init z)$reverse z)=y:f(y:x:z)

Cobalah online!

— cacat
sumber

2

APL (Dyalog Extended) , 34 byte ^SBCS

-2 Berkat dzaima.

Lambda awalan anonim.

{⍵≤3:1⋄+/(∇⍵-1),⍵(-×⍥∇¯2+⊢)¨4…⍵}

Cobalah online!

— Adm
sumber

@ Azza Terima kasih. TFW seseorang tahu bahasa saya lebih baik daripada saya :-)

— Adám

2

Japt , 19 17 16 byte

Menghasilkan nistilah th, 1-diindeks.

@Zí*Zz2)Å¤x}g4Æ1

Cobalah

@Zí*Zz2)Å¤x}g4Æ1     :Implicit input of integer U
@                    :Function taking an array as an argument via parameter Z
 Zí                  :  Interleave Z with
    Zz2              :  Z rotated clockwise by 180 degrees (simply reversing would be a bye shorter but would modify the original array)
   *                 :  Reduce each pair by multiplcation
       )             :  End interleave
        Å            :  Slice off the first element
         ¤           :  Slice off the first 2 elements
          x          :  Reduce by addition
           }         :End function
            g        :Pass the following as Z, push the result back to it and repeat until it has length U
             4Æ1     :Map the range [0,4) to 1s
                     :Implicit output of the last element

— Shaggy
sumber

1

Haskell , 65 byte

f a|a<4=1|z<-g[2..a]=sum$zipWith(*)z$reverse(1:g[0..a-4])
g=map f

Cobalah online!

Anda bisa menggunakan salah satu funtuk mendapatkan elemen tunggal dari urutan, atau meneruskan daftar nilai ke gdan mendapatkan semua indeks untuk daftar itu.

— Jo King
sumber

1

Keempat (gforth) , 99 81 byte

: f recursive dup 4 > if 0 over 3 do over 1- i - f i f * + loop else 1 then nip ;

Cobalah online!

Output adalah istilah ke-n dan input diindeks 1

Sunting: Disimpan 17 byte dengan beralih ke rumus xnor. Disimpan 1 byte lagi dengan menggunakan 1-diindeks

Penjelasan Kode

: f                     \ start a new word definition
  recursive             \ mark that this word will be recursive
  dup 4 >               \ duplicate the input and check if it is greater than 4
  if                    \ if it is:
    0 over              \ create an accumulator and copy n to top of stack
    3 do                \ start counted loop from 3 to n-1
      over 1- i - f     \ recursively calculate f(n-1-i)
      i f               \ recursively calculate f(i)
      * +               \ multiply results and add to accumulator
    loop                \ end the counted loop        
  else                  \ otherwise, if n < 5
    1                   \ put 1 on the stack
  then                  \ end the if block
  nip                   \ drop n from the stack
;                       \ end the word definition

— reffu
sumber

1

Arang , 26 byte

Ｆ⁵⊞υ¹ＦＮ⊞υΣ✂Ｅ⮌υ×κ§υλ³→Ｉ§υ±⁴

Cobalah online! Tautan adalah untuk mengucapkan versi kode. Mencetak angka ke-0 yang diindeks, meskipun menghitung menggunakan pengindeksan 1 secara internal. Penjelasan:

Ｆ⁵⊞υ¹

Mulai dengan a[0] = a[1] = a[2] = a[3] = a[4] = 1. Ya, ini adalah 1-diindeks, tetapi kemudian dengan nilai nol ekstra. Itu kode golf untukmu.

ＦＮ

Hitung nketentuan tambahan . Ini berlebihan, tetapi itu membuat menemukan istilah yang diinginkan lebih mudah ketika n<5.

⊞υΣ✂Ｅ⮌υ×κ§υλ³

Untuk setiap istilah, hitung istilah berikutnya sebagai jumlah dari ketentuan sejauh ini secara bertahap dikalikan dengan kebalikan dari ketentuan sejauh ini, tidak termasuk tiga istilah.

→

Ini adalah no-op yang digunakan untuk mengelabui Charcoal agar menguraikan bentuk 2-argumen Slice, jika tidak saya harus menggunakan cara yang kurang golf untuk menghilangkan tiga istilah.

Ｉ§υ±⁴

Keluarkan 4 semester terakhir.

— Neil
sumber

1

Pyth , 30 byte

J*4]1VQ=+J+eJsPP*M.t,PJ_PJ0;<J

Cobalah online!

Mengembalikan yang pertama $n$ elemen urutan.

J*4]1VQ=+J+eJsPP*M.t,PJ_PJ0;<JQ # Full program, last Q = input (implicitly added)
J*4]1                  # J = 4 * [1] (=[1,1,1,1])
VQ                     # for N in range(Q):
  =+J                  #  J +=
     +eJ               #   J[-1] + 
        s              #    sum(                           )
           *M          #     map(__operator_mul,          )
             .t      0 #      transpose(          , pad=0)
               ,       #       [       ,         ]
                PJ     #         J[:-1] 
                  _PJ  #                 J[1::-1]
<JQ                    # J[::Q]

Alternatif: Ganti <dengan @untuk mengembalikan $n$ elemen ke-urutan, 0-diindeks.

— ar4093
sumber

1

Ruby , 42 41 byte

f=->n{n<4?1:(4..n).sum{|i|f[i-1]*f[n-i]}}

Cobalah online!

1-diindeks (untuk menyimpan 1 byte)

— GB
sumber

1

Oktaf , 73 byte

g=(1:4).^0;for(i=3:(n=input('')))g(i+2)=g(4:i+1)*g(i-(2:i-1))';end;g(end)

Cobalah online!

-2 byte terima kasih kepada Stewie Griffin. Sekali lagi, pendekatan imperatif menang atas pendekatan rekursif fungsional. Yang itu ditunjukkan di bawah ini.

Oktaf , 75 byte

f(f=@(a)@(n){@()sum(arrayfun(@(k)a(a)(k)*a(a)(n-2-k),2:n-1)),1}{2-(n>3)}())

Cobalah online!

Captcha ingin memverifikasi saya adalah manusia ketika memposting ini. Sejujurnya, saya tidak begitu yakin .

— Sanchises
sumber

Saya tidak bisa melihat cara yang jelas untuk mempersingkat pendekatan loop ... Ini terlihat golf dengan cukup baik! Juga, tidak sering saya melihat pengindeksan berbasis nol di Oktaf :)

— Stewie Griffin

@StewieGriffin Karena rekursi memiliki beberapa offset, maka tidak benar-benar peduli jika Anda memilih nol atau satu pengindeksan. Saya pikir mungkin saya bisa mencukur beberapa byte jika saya melakukan 2-indexing, tapi itu sepertinya curang. Bagaimanapun, intuisi Anda benar - entah bagaimana, ini memang lebih pendek dengan cara rekursif anonim. Saya pikir keuntungan utama adalah menangani menangani empat nilai awal dengan sangat baik karena hanya mengembalikan 1 untuk n<4.

— Sanchises

1

@StewieGriffin Tentu saja, perkalian matriks yang baik. Sudah selesai dilakukan dengan baik!

— Sanchises

0

Perl 5 `-MList::Util=sum` , 61 byte

sub a{my$b=-2+pop;$b<2||sum a($b+1),map{a($_)*a($b-$_)}2..$b}

Cobalah online!

— Xcali
sumber

0

C / C ++ , 70 69 67 byte

-1 byte, terima kasih kepada Jonathan.

int a(int n){int k=2,s=0;while(++k<n)s+=a(k)*a(n+~k);return s?s:1;}

Cobalah online!

— polfosol ఠ_ఠ
sumber

Bisa a(n-1-k)menjadi a(n+~k)?

— Jonathan Frech

@JonathanFrech bahkan a(++k)*a(n-k)mungkin berfungsi, dan turun 2 byte lebih lanjut dari for. Tapi aku mencium perilaku yang tidak jelas.

— polfosol ఠ_ఠ

Itu tampaknya menjadi masalah pengurutan; paling pasti UB.

— Jonathan Frech

1, 2, 4, 8, 16,… 33?

Tantangan

Python , 51 byte

Perl 6 , 44 byte

Penjelasan:

05AB1E , 14 13 11 byte

JavaScript (ES6), 42 byte

JavaScript (ES6), 83 75 byte

Haskell, 49 43 39 byte

Bahasa Wolfram (Mathematica) , 36 byte

05AB1E , 17 13 byte

Python 3 , 59 byte

Jelly , 17 byte

Haskell , 76 byte

APL (Dyalog Extended) , 34 byte SBCS

Japt , 19 17 16 byte

Haskell , 65 byte

Keempat (gforth) , 99 81 byte

Penjelasan Kode

Arang , 26 byte

Pyth , 30 byte

Ruby , 42 41 byte

Oktaf , 73 byte

Oktaf , 75 byte

Perl 5 -MList::Util=sum , 61 byte

C / C ++ , 70 69 67 byte

APL (Dyalog Extended) , 34 byte ^SBCS

Perl 5 `-MList::Util=sum` , 61 byte