Diberikan bilangan bulat positif n keluaran jumlah digit n desimal pertama bagian pecahan π ⁿ .

Contoh input dan output:

1 → 1
2 → 14
3 → 6
4 → 13
5 → 24
50 → 211
500 → 2305
5000 → 22852

Fungsi internal menghitung digit π atau mengevaluasi seri daya atau fraksi lanjutan tidak diperbolehkan. Celah standar berlaku. Input / output dapat dalam format yang nyaman (stdin, stdout, fungsi in / output, dll).

Kode terpendek dalam byte menang.

Python - 191 Bytes

t=i=1L;k=n=input();f=2000*20**n;A=range(n+1)
for k in range(2,n):A=[(A[j-1]+A[j+1])*j>>1for j in range(n-k+1)];f*=k
while k:k=(1-~i*n%4)*f/A[1]/i**n;t+=k;i+=2
print sum(map(int,`t`[-n-4:-4]))

~ 4x versi lebih cepat - 206 byte

t=i=1L;k=n=input();f=2000*20**n;A=[0,1]+[0]*n
for k in range(1,n):
 f*=k
 for j in range(-~n/2-k+1):A[j]=j*A[j-1]+A[j+1]*(j+2-n%2)
while k:k=(1-~i*n%4)*f/A[1]/i**n;t+=k;i+=2
print sum(map(int,`t`[-n-4:-4]))

Input diambil dari stdin. Output untuk n = 5000 membutuhkan sekitar 14 detik dengan skrip kedua (atau 60 detik dengan yang pertama).

Penggunaan sampel:

$ echo 1 | python pi-trunc.py
1

$ echo 2 | python pi-trunc.py
14

$ echo 3 | python pi-trunc.py
6

$ echo 4 | python pi-trunc.py
13

$ echo 5 | python pi-trunc.py
24

$ echo 50 | python pi-trunc.py
211

$ echo 500 | python pi-trunc.py
2305

$ echo 5000 | python pi-trunc.py
22852

Rumus yang digunakan adalah sebagai berikut:

di mana A _n adalah n ^th Alternating Nomor , yang dapat secara formal didefinisikan sebagai jumlah permutasi bolak pada satu set ukuran n (lihat juga: A000111 ). Atau, urutannya dapat didefinisikan sebagai komposisi Bilangan Tangen dan Bilangan Garis Potong ( A _2n = S _n , A _{2n + 1} = T _n ), lebih lanjut tentang itu nanti.

Kecil faktor koreksi c _n cepat konvergen ke 1 sebagai n menjadi besar, dan diberikan oleh:

Untuk n = 1 , ini sama dengan mengevaluasi Leibniz Series . Mendekati π sebagai 10 ^½ , jumlah istilah yang diperlukan dapat dihitung sebagai:

yang konvergen (dibulatkan ke 17) , meskipun nilai yang lebih kecil dari n membutuhkan lebih banyak.

Untuk perhitungan A _n ada beberapa algoritma, dan bahkan rumus eksplisit, tetapi semuanya adalah kuadrat oleh n . Saya awalnya mengkodekan implementasi Algoritma Seidel , tetapi ternyata terlalu lambat untuk praktis. Setiap iterasi membutuhkan jangka tambahan untuk disimpan, dan istilah meningkatkan besarnya sangat cepat (yang "salah" jenis O (n ² ) ).

Script pertama menggunakan implementasi algoritma yang awalnya diberikan oleh Knuth dan Buckholtz :

Misalkan T _{1, k} = 1 untuk semua k = 1..n

Nilai T selanjutnya diberikan oleh relasi rekurensi:

T _{n + 1, k} = 1/2 [ (k - 1) T _{n, k-1} + (k + 1) T _{n, k + 1} ]

A _n kemudian diberikan oleh T _{n, 1}

(lihat juga: A185414 )

Meskipun tidak secara eksplisit dinyatakan, algoritme ini menghitung Bilangan Tangen dan Bilangan Secant secara bersamaan. Script kedua menggunakan variasi dari algoritma ini oleh Brent dan Zimmermann , yang menghitung T atau S , tergantung pada paritas n . Peningkatan kuadrat oleh n / 2 , maka peningkatan kecepatan ~ 4x.

Python 2, 246 byte

Saya telah mengambil pendekatan yang serupa dengan jawaban saya di Calculate π dengan konvergensi kuadratik . Baris terakhir mengambil kekuatan N pi dan menjumlahkan digit. Tes N = 5000 membutuhkan satu menit atau lebih.

from decimal import*
d=Decimal
N=input()
getcontext().prec=2*N
j=d(1)
h=d(2)
f=h*h
g=j/h
a=j
b=j/h.sqrt()
t=j/f
p=j
for i in bin(N)[2:]:e=a;a,b=(a+b)/h,(a*b).sqrt();c=e-a;t-=c*c*p;p+=p
k=a+b
l=k*k/f/t
print sum(map(int,`l**N`.split('.')[1][:N]))

Beberapa tes:

$ echo 1 | python soln.py
1
$ echo 3 | python soln.py
6
$ echo 5 | python soln.py
24
$ echo 500 | python soln.py
2305
$ echo 5000 | python soln.py
22852

Kode yang tidak dipisahkan:

from decimal import *
d = Decimal

N = input()
getcontext().prec = 2 * N

# constants:
one = d(1)
two = d(2)
four = two*two
half = one/two

# initialise:
a = one
b = one / two.sqrt()
t = one / four
p = one

for i in bin(N)[2:] :
    temp = a;
    a, b = (a+b)/two, (a*b).sqrt();
    pterm = temp-a;
    t -= pterm*pterm * p;
    p += p

ab = a+b
pi = ab*ab / four / t
print sum(map(int, `pi ** N`.split('.')[1][:N]))

Pyth, 33

s<>j^u+/*GHhyHy^TyQr*TQ0ZQT_y*QQQ

Berdasarkan jawaban ini oleh isaacg . Mungkin bisa bermain golf lebih banyak. Lambat.

s<>j            Digit sum of...
  ^                 
    u               Evaluate pi = 2 + 1/3*(2 + 2/5*(2 + 3/7*(2 + 4/9*(2 + ...))))
      +
        /
          *GH
          hyH
        y^TyQ       Except we generate a large integer containing 2n digits,
                    rather than a fraction.
      r*TQ0         Experimentally verified that 10*n iterations will give enough
                    precision for 2n digits (# digits correct grows faster than 2n).
      Z
    Q               To the nth power.
  T_y*QQQ         Get the last 2n^2 digits (all the fractional digits) and get the
                  first n fractional digits.