C
pengantar
Seperti dikomentari oleh David Carraher, cara paling sederhana menganalisis ubin segi enam tampaknya mengambil keuntungan dari isomorfisma dengan Diagram Young 3 dimensi, pada dasarnya x, y persegi diisi dengan bar tinggi bilangan bulat yang z ketinggiannya harus tetap sama atau meningkat sebagai sumbu z didekati.
Saya mulai dengan sebuah algoritma untuk menemukan total yang lebih dapat diterima untuk adaptasi untuk penghitungan simetri daripada algoritma yang dipublikasikan, yang didasarkan pada bias ke salah satu dari tiga sumbu kartesian.
Algoritma
Saya mulai dengan mengisi sel-sel bidang x, y, dan z dengan 1's, sedangkan sisanya berisi nol. Setelah selesai, saya membangun pola lapis demi lapis, dengan setiap lapisan berisi sel-sel yang memiliki jarak manhattan 3D umum dari asal. Sel hanya dapat berisi 1 jika tiga sel di bawahnya juga mengandung 1. jika ada di antara mereka yang mengandung 0, maka sel tersebut harus 0.
Keuntungan membangun pola dengan cara ini adalah bahwa setiap lapisan simetris tentang garis x = y = z. Ini berarti bahwa setiap lapisan dapat diperiksa secara independen untuk simetri.
Pemeriksaan simetri
Simetri padatan adalah sebagai berikut: 3 kali lipat rotasi tentang garis x = y = z -> 3 lipat rotasi tentang pusat segi enam; dan 3 x refleksi tentang 3 bidang yang berisi garis x = y = z dan masing-masing sumbu x, y, z -> refleksi tentang garis-garis melalui sudut-sudut segi enam.
Ini hanya menambah hingga 6 kali lipat simetri. Untuk mendapatkan simetri penuh segi enam, jenis simetri lain harus dipertimbangkan. Setiap padatan (dibangun dari 1's) memiliki padatan komplementer (dibangun dari 0's). Di mana N adalah aneh, padatan komplementer harus berbeda dari padatan asli (karena tidak mungkin bagi mereka untuk memiliki jumlah kubus yang sama). Namun ketika padatan komplementer diputar, akan ditemukan bahwa representasi 2D-nya sebagai ubin berlian identik (kecuali untuk operasi simetri 2 kali lipat) dengan padatan asli. Di mana N adalah genap, adalah mungkin bagi benda padat untuk menjadi terbalik sendiri.
Ini dapat dilihat pada contoh untuk N = 2 dalam pertanyaan. Jika dilihat dari kiri, segi enam pertama tampak seperti kubus padat dengan 8 kubus kecil, sedangkan segi enam terakhir tampak seperti kulit kosong dengan 0 kubus kecil. Jika dilihat dari kanan, kebalikannya benar. Segi 3, 4 dan 5 dan segi enam 16, 17 dan 18 tampak seperti mereka mengandung 2 atau 6 kubus, dan dengan demikian mereka saling melengkapi dalam 3 dimensi. Mereka terkait satu sama lain dalam 2 dimensi dengan operasi simetri 2 kali lipat (rotasi 2 kali lipat, atau refleksi tentang suatu sumbu melalui tepi segi enam.) Di sisi lain segi enam, ke-10, ke-11 dan ke-12 menunjukkan pola 3D yang adalah pelengkap mereka sendiri, dan karena itu memiliki simetri yang lebih tinggi (oleh karena itu ini adalah satu-satunya pola dengan multiplisitas ganjil).
Perhatikan bahwa memiliki (N ^ 3) / 2 kubus adalah kondisi yang diperlukan untuk melengkapi diri sendiri, tetapi secara umum itu bukan kondisi yang memadai jika N> 2. Hasil dari semua ini adalah bahwa untuk N aneh, tilings selalu terjadi berpasangan (N ^ 3) / 2 kubus harus diperiksa dengan cermat.
Kode saat ini (menghasilkan total yang tepat untuk N = 1,2,3,5. Kesalahan seperti yang didiskusikan untuk N = 4.)
int n; //side length
char t[11][11][11]; //grid sized for N up to 10
int q[29][192], r[29]; //tables of coordinates for up to 10*3-2=28 layers
int c[9]; //counts arrangements found by symmetry class. c[8] contains total.
//recursive layer counting function. m= manhattan distance, e= number of cells in previous layers, s=symmetry class.
void f(int m,int e,int s){
int u[64], v[64], w[64]; //shortlists for x,y,z coordinates of cells in this layer
int j=0;
int x,y,z;
for (int i=r[m]*3; i; i-=3){
// get a set of coordinates for a cell in the current layer.
x=q[m][i-3]; y= q[m][i-2]; z= q[m][i-1];
// if the three cells in the previous layer are filled, add it to the shortlist u[],v[],w[]. j indicates the length of the shortlist.
if (t[x][y][z-1] && t[x][y-1][z] && t[x-1][y][z]) u[j]=x, v[j]=y, w[j++]=z ;
}
// there are 1<<j possible arrangements for this layer.
for (int i = 1 << j; i--;) {
int d = 0;
// for each value of i, set the 1's bits of t[] to the 1's bits of i. Count the number of 1's into d as we go.
for (int k = j; k--;) d+=(t[u[k]][v[k]][w[k]]=(i>>k)&1);
// we have no interest in i=0 as it is the empty layer and therefore the same as the previous recursion step.
// Still we loop through it to ensure t[] is properly cleared.
if(i>0){
int s1=s; //local copy of symmetry class. 1's bit for 3 fold rotation, 2's bit for reflection in y axis.
int sc=0; //symmetry of self-complement.
//if previous layers were symmetrical, test if the symmetry has been reduced by the current layer
if (s1) for (int k = j; k--;) s1 &= (t[u[k]][v[k]][w[k]]==t[w[k]][u[k]][v[k]]) | (t[u[k]][v[k]][w[k]]==t[w[k]][v[k]][u[k]])<<1;
//if exactly half the cells are filled, test for self complement
if ((e+d)*2==n*n*n){
sc=1;
for(int A=1; A<=(n>>1); A++)for(int B=1; B<=n; B++)for(int C=1; C<=n; C++) sc&=t[A][B][C]^t[n+1-A][n+1-B][n+1-C];
}
//increment counters for total and for symmetry class.
c[8]++; c[s1+(sc<<2)]++;
//uncomment for graphic display of each block stacking with metadata. not recommended for n>3.
//printf("m=%d j=%d i=%d c1=%d-2*%d=%d c3=%d cy=%d(cs=%d) c3v=%d ctot=%d\n",m,j,i,c[0],c[2],c[0]-2*c[2],c[1],c[2],c[2]*3,c[3],c[8]);
//printf("m=%d j=%d i=%d C1=%d-2*%d=%d C3=%d CY=%d(CS=%d) C3V=%d ctot=%d\n",m,j,i,c[4],c[6],c[4]-2*c[6],c[5],c[6],c[6]*3,c[7],c[8]);
//for (int A = 0; A<4; A++, puts(""))for (int B = 0; B<4; B++, printf(" "))for (int C = 0; C<4; C++) printf("%c",34+t[A][B][C]);
//recurse to next level.
if(m<n*3-2)f(m + 1,e+d,s1);
}
}
}
main()
{
scanf("%d",&n);
int x,y,z;
// Fill x,y and z planes of t[] with 1's
for (int a=0; a<9; a++) for (int b=0; b<9; b++) t[a][b][0]= t[0][a][b]= t[b][0][a]= 1;
// Build table of coordinates for each manhattan layer
for (int m=1; m < n*3-1; m++){
printf("m=%d : ",m);
int j=0;
for (x = 1; x <= n; x++) for (y = 1; y <= n; y++) {
z=m+2-x-y;
if (z>0 && z <= n) q[m][j++] = x, q[m][j++] = y, q[m][j++]=z, printf(" %d%d%d ",x,y,z);
r[m]=j/3;
}
printf(" : r=%d\n",r[m]);
}
// Set count to 1 representing the empty box (symmetry c3v)
c[8]=1; c[3]=1;
// Start searching at f=1, with 0 cells occupied and symmetry 3=c3v
f(1,0,3);
// c[2 and 6] only contain reflections in y axis, therefore must be multiplied by 3.
// Similarly the reflections in x and z axis must be subtracted from c[0] and c[4].
c[0]-=c[2]*2; c[2]*=3;
c[4]-=c[6]*2; c[6]*=3;
int cr[9];cr[8]=0;
printf("non self-complement self-complement\n");
printf("c1 %9d/12=%9d C1 %9d/6=%9d\n", c[0], cr[0]=c[0]/12, c[4], cr[4]=c[4]/6);
if(cr[0]*12!=c[0])puts("c1 division error");if(cr[4]*6!=c[4])puts("C1 division error");
printf("c3 %9d/4 =%9d C3 %9d/2=%9d\n", c[1], cr[1]=c[1]/4, c[5], cr[5]=c[5]/2);
if(cr[1]*4!=c[1])puts("c3 division error");if(cr[5]*2!=c[5])puts("C3 division error");
printf("cs %9d/6 =%9d CS %9d/3=%9d\n", c[2], cr[2]=c[2]/6, c[6], cr[6]=c[6]/3);
if(cr[2]*6!=c[2])puts("cs division error");if(cr[6]*3!=c[6])puts("CS division error");
printf("c3v %9d/2 =%9d C3V %9d/1=%9d\n", c[3], cr[3]=c[3]/2, c[7], cr[7]=c[7]);
if(cr[3]*2!=c[3])puts("c3v division error");
for(int i=8;i--;)cr[8]+=cr[i];
printf("total =%d unique =%d",c[8],cr[8]);
}
Keluaran
Program ini menghasilkan tabel keluaran 8 entri, sesuai dengan 8 simetri padatan. Padatan dapat memiliki salah satu dari 4 simetri sebagai berikut (notasi Schoenflies)
c1: no symmetry
c3: 3-fold axis of rotation (produces 3-fold axis of rotation in hexagon tiling)
cs: plane of reflection (produces line of reflection in hexagon tiling)
c3v both of the above (produces 3-fold axis of rotation and three lines of reflection through the hexagon corners)
Selain itu, ketika padatan memiliki tepat setengah sel dengan 1 dan setengah dengan 0, ada kemungkinan membalik semua 1 dan 0, kemudian membalikkan koordinat melalui pusat ruang kubus. Inilah yang saya sebut pelengkap diri, tetapi istilah yang lebih matematis akan menjadi "antisimetris sehubungan dengan pusat inversi."
Operasi simetri ini memberikan sumbu rotasi 2 kali lipat dalam ubin segi enam.
Pola yang memiliki simetri ini tercantum dalam kolom terpisah. Mereka hanya terjadi di mana N adalah genap.
Hitungan saya tampaknya sedikit tidak aktif untuk N = 4. Dalam diskusi dengan Peter Taylor, tampaknya saya tidak mendeteksi miring yang hanya memiliki simetri garis melalui tepi segi enam. Ini mungkin karena saya belum menguji komplemen diri (antisimetri) untuk operasi selain (inversi) x (identitas.) Pengujian komplemen mandiri untuk operator (inversi) x (refleksi) dan (inversi) x (rotasi 3 kali lipat ) dapat mengungkap simetri yang hilang. Saya kemudian akan mengharapkan baris pertama data untuk N = 4 terlihat seperti ini (16 lebih sedikit di c1 dan 32 lebih banyak di C1):
c1 224064/12=18672 C1 534/6=89
Ini akan membuat total sejalan dengan jawaban Peter dan https://oeis.org/A066931/a066931.txt
output saat ini adalah sebagai berikut.
N=1
non self-complement self-complement
c1 0/12= 0 C1 0/6= 0
c3 0/4 = 0 C3 0/2= 0
cs 0/6 = 0 CS 0/3= 0
c3v 2/2 = 1 C3V 0/1= 0
total =2 unique =1
non self-complement self-complement
N=2
c1 0/12= 0 C1 0/6= 0
c3 0/4 = 0 C3 0/2= 0
cs 12/6 = 2 CS 3/3= 1
c3v 4/2 = 2 C3V 1/1= 1
total =20 unique =6
N=3
non self-complement self-complement
c1 672/12=56 C1 0/6= 0
c3 4/4 = 1 C3 0/2= 0
cs 288/6 =48 CS 0/3= 0
c3v 16/2 = 8 C3V 0/1= 0
total =980 unique =113
N=4 (errors as discussed)
non self-complement self-complement
c1 224256/12=18688 C1 342/6=57
c3 64/4 =16 C3 2/2= 1
cs 8064/6 =1344 CS 54/3=18
c3v 64/2 =32 C3V 2/1= 2
total =232848 unique =20158
N=5
non self-complement self-complement
c1 266774112/12=22231176 C1 0/6= 0
c3 1100/4 =275 C3 0/2= 0
cs 451968/6 =75328 CS 0/3= 0
c3v 352/2 =176 C3V 0/1= 0
total =267227532 unique =22306955
Daftar tugas (diperbarui)
Rapikan kode saat ini.
Dilakukan, kurang lebih
Terapkan pemeriksaan simetri untuk lapisan saat ini, dan berikan parameter untuk simetri lapisan sebelumnya (tidak ada gunanya memeriksa apakah lapisan terakhir asimetris.)
Selesai, hasil untuk N aneh setuju dengan data yang dipublikasikan
Tambahkan opsi untuk menekan penghitungan angka asimetris (harus berjalan lebih cepat)
Ini dapat dilakukan dengan menambahkan kondisi lain ke panggilan rekursi: if(s1 && m<n*3-2)f(m + 1,e+d,s1)Ini mengurangi waktu lari untuk N = 5 dari 5 menit menjadi sekitar satu detik. Sebagai hasilnya, baris pertama dari output menjadi total sampah (seperti halnya total keseluruhan) tetapi jika total sudah diketahui dari OEIS, jumlah tiling asimetris dapat disusun kembali, setidaknya untuk N. aneh.
Tetapi bahkan untuk N, jumlah padatan asimetris (menurut simetri c3v) yang melengkapi diri sendiri akan hilang. Untuk kasus ini, program terpisah yang didedikasikan untuk padatan dengan tepat (N ** 3) / 2 sel dengan 1 mungkin berguna. Dengan ini tersedia (dan menghitung dengan benar) dimungkinkan untuk mencoba N = 6, tetapi akan membutuhkan waktu lama untuk dijalankan.
Terapkan penghitungan sel untuk mengurangi pencarian hingga (N ^ 3) / 2 kubus.
Tidak selesai, tabungan diharapkan menjadi marjinal
Terapkan simetri (komplementer padatan) memeriksa pola yang mengandung tepat (N ^ 3) / 2 kubus.
Selesai, tetapi tampaknya memiliki kelalaian, lihat N = 4.
Temukan cara untuk memilih angka terendah secara leksikal dari yang asimetris.
Penghematan tidak diharapkan menjadi sebesar itu. Menekan angka asimetris menghilangkan sebagian besar dari ini. Satu-satunya refleksi yang diperiksa adalah bidang melalui sumbu y (x dan z dihitung kemudian dengan mengalikan dengan 3.) Angka-angka dengan hanya simetri rotasi dihitung dalam kedua bentuk enansiomernya. Mungkin itu akan berjalan hampir dua kali lebih cepat jika hanya satu yang dihitung.
Untuk memfasilitasi ini, mungkin meningkatkan cara koordinat di setiap lapisan terdaftar (mereka membentuk kelompok degenerasi 6 atau 3, dengan kemungkinan sekelompok 1 di pusat tepat lapisan).
Menarik tapi mungkin ada pertanyaan lain di situs ini untuk dijelajahi.
N = 6memberikan output lebih dari 10 ^ 12, solusi non-konstruktif hampir pasti diperlukan untuk mencapai sejauh itu.