Tantangan

Dalam jumlah kode terpendek:

1. Hitung panjang siklus permutasi dari shuffle sempurna pada setumpuk kartu dengan ukuran berapa pun n (di mana n ≥ 2 dan n genap).
2. Keluarkan tabel semua panjang siklus selama 2 ≤ n ≤ 1000 ( n even).

Perhatikan bahwa ada dua cara dasar untuk mendefinisikan shuffle yang sempurna. Ada out-shuffle , yang menjaga kartu pertama di atas dan kartu terakhir di bawah, dan ada di-shuffle , yang memindahkan kartu pertama dan terakhir satu posisi ke arah tengah. Anda dapat memilih apakah Anda melakukan out-shuffle atau in-shuffle; Algoritma ini hampir identik di antara keduanya.

• mengocok kartu 10-kartu: [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10] ↦ [1,6,2,7,3,8,4,9,5, 10].
• in-shuffle dari 10 kartu deck: [1,2,3,4,5,6,7,8,9,10] ↦ [6,1,7,2,8,3,9,4,10, 5].

Contoh grafis

Di sini, kita melihat bahwa out-shuffle pada dek 20-kartu memiliki panjang siklus 18 langkah. (Ini hanya sebagai ilustrasi; solusi Anda tidak diharuskan untuk menghasilkan siklus secara grafis.) Di sisi lain, dek 52 kartu klasik memiliki panjang siklus mengocok hanya 8 langkah (tidak diperlihatkan).

In -shuffle pada dek 20-kartu memiliki panjang siklus hanya 6 langkah.

Contoh output tabular

Program Anda harus menampilkan sesuatu yang mirip dengan ini, meskipun Anda dapat memilih format tabular apa saja yang paling Anda sukai. Ini untuk out-shuffle:

2 1
4 2
6 4
8 3
10 6
12 10
14 12
16 4
18 8
20 18
22 6
24 11
26 20
28 18
30 28
32 5
34 10
36 12
38 36
40 12
...many lines omitted...
1000 36

Pertanyaan

1. Apakah tampaknya ada hubungan antara input angka n dan jumlah siklusnya, ketika n adalah kekuatan 2?
2. Bagaimana kalau n bukan kekuatan 2?
3. Anehnya, kartu 1000-kartu memiliki hitungan siklus out-shuffle hanya 36, ​​sedangkan kartu 500-kartu memiliki jumlah siklus kartu-keluar-166 sebesar 166. Mengapa bisa demikian?
4. Berapa jumlah terbesar yang dapat Anda temukan yang jumlah siklus c- nya jauh lebih kecil dari n , artinya rasio n / c dimaksimalkan?

Haskell, 47 46 44 (acak-acakan)

[[i|i<-[1..],mod(2^i)n<2]!!0|n<-[3,5..1001]]

realisasi dasarnya adalah bahwa ini adalah urutan 2 dalam kelompok modulus multiplikasi n+1.

Pyth, 16 byte

mfq1%^2T+3yd)500

Di-shuffle menggunakan A002326 .

Pyth, 22 byte

V500,JyhNl{.u.iFc2NJUJ

Cobalah online: Peragaan . Ganti 500 dengan angka yang lebih kecil, jika terlalu lambat.

Penjelasan:

V500                     for N in [0, 1, ..., 499]:
      yhN                   (N + 1) * 2
     J                      assign to J
           .u      JUJ      apply the following expression J times
                            to N, starting with N = [0, 1, ..., J - 1],
                            and return all intermediate results:
                c2N            split N into 2 halfs
             .iF               and interleave them
         l{                 remove duplicates and give length
    ,                       make a pair and print

Mathematica, 53 (di-acak-acakan)

Grid[{2#,MultiplicativeOrder[2,2#+1]}&/@Range[1,500]]

atau, tidak ditempatkan secara antagonis

Grid[{2 #, MultiplicativeOrder[2, 2 # + 1]} & /@ Range[1, 501]]

Keluaran:

   2    2
   4    4
   6    3
   8    6
  10   10
  12   12
  14    4
  16    8
  18   18
  20    6
 (* digits, digits, bo bidgits, banana fana, ... *)
  498  166
  500  166
 (* skip a bit, brother ...  *)
  998   36
 1000   60

Setiap entri di kedua kolom secara horizontal terpusat di kolomnya, tapi saya tidak memiliki ruang fraksional  ... di  sini untuk mereplikasi itu.

Pengamatan:

• Out-shuffle adalah in-shuffle pada setumpuk dua kartu yang lebih kecil. (Perhatikan bahwa kartu pertama dan terakhir berada dalam posisi tetap di sepanjang demonstrasi out-shuffle.) Akibatnya, dua pilihan akan menghasilkan daftar output yang serupa - kolom kedua akan digeser oleh satu baris. Mengenai "kekuasaan dua" hint, dalam mengocok kekuasaan dari dua deck memiliki pola {2^n - 2, n}, {2^n, 2n}. (Mengocok pasangan 2^ndengan n.)
• Perhatikan pada contoh in-shuffle bahwa jarak dari 2ujung terdekat dari geladak berlipat ganda pada setiap langkah. {2, 4, 8, 15 = -5, -10, -20}. Faktanya, ini berlaku untuk setiap kartu. Karena itu kita hanya perlu tahu kekuatan mana yang 2kongruen dengan 1mod di n+1mana njumlah kartu. (Perhatikan bahwa dalam contoh, kartu di kolom terakhir, kolom -1, digandakan ke kolom kedua dari belakang -2,, yang berarti 0kongruen dengan satu kartu lebih banyak daripada di geladak, dengan demikian "mod n+1".) Oleh karena itu, MultiplicativeOrder [] Fungsi adalah cara untuk pergi (dalam Mathematica).
• Secara default, orang akan mencoba TableForm [] alih-alih Grid [], tetapi hasilnya serupa.

C, 86 (atau 84)

Skor tidak termasuk spasi putih yang tidak perlu, termasuk untuk kejelasan.

i,j,n;
main(){
  for(;n<1002;printf("%d %d\n",n,j),n+=2)
    for(i=n,j=1;i=i*2%(n+1),i-n;)j++;
}

Ini adalah in-shuffle, yang seperti ditunjukkan oleh orang lain, hanya shuffle keluar dengan kartu stasioner di kedua ujungnya dilepas.

Seperti yang ditunjukkan oleh orang lain, dalam in-shuffle, posisi setiap kartu berlipat ganda setiap kali, tetapi ini harus diambil modulo n+1. Saya suka memikirkan posisi kartu tambahan yang posisinya nol di sebelah kiri tabel (Anda dapat menganggap ini sebagai memegang kedua kartu stasioner dari out-shuffle juga). Jelas posisi kartu harus selalu positif, maka posisi nol selalu tetap kosong untuk case in-shuffle.

Kode diinisialisasi ike nilai n. Kemudian dikalikan dengan 2, mengambil mod hasil (n+1)dan memeriksa untuk melihat apakah itelah kembali ke nilai awal ( i-nadalah nol.) Peningkatan juntuk setiap iterasi, kecuali yang terakhir (maka kebutuhan diinisialisasi jke 1.)

Pada prinsipnya, ibisa dengan nilai apa pun dalam kisaran 1..n, asalkan perbandingan pada akhirnya diperiksa jika itu diinternalisasi ke nomor yang sama. Alasan memilih nadalah untuk memastikan program bekerja untuk kasus ini n==0. masalahnya adalah bahwa angka apa pun modulo (0+1)adalah nol, sehingga loop tidak pernah berakhir dalam kasus ini jika idiinisialisasi ke konstanta seperti 1.

Contoh-contoh pertanyaan mencakup kasus yang setara n==2untuk pengocokan keluar, sehingga ditafsirkan bahwa kasus ini diperlukan. Jika tidak, dua byte n,dapat disimpan dengan menginisialisasi ike 1, nilai yang sama dengan j.