Sebagai tindak lanjut dari tantangan ini , kami sekarang ingin menghitung jumlah persegi panjang dalam grid dengan r baris dan kolom c di mana ada garis yang melintasi setiap diagonal dari sebuah persegi di grid. Sekarang, kami masih menghitung persegi panjang yang sama seperti sebelumnya, tapi kali ini kami juga harus memasukkan persegi panjang yang dimiringkan 45 derajat.

Tujuan Anda adalah membuat fungsi atau program yang memberikan jumlah baris r dan kolom c menghasilkan jumlah persegi panjang dalam kisi diagonal dengan dimensi ( r , c ).

Sebagai demonstrasi, ini adalah animasi yang diputar melalui semua 37 persegi panjang yang dibentuk oleh kisi diagonal (2 x 3).

Uji Kasus

Each case is [rows, columns] = # of rectangles
[0, 0] = 0
[0, 1] = 0
[1, 0] = 0
[1, 1] = 1
[3, 2] = 37
[2, 3] = 37
[6, 8] = 2183
[7, 11] = 5257
[18, 12] = 40932
[42, 42] = 2889558
[51, 72] = 11708274

Aturan

• Ini adalah kode-golf sehingga kode terpendek menang.
• Orang bawaan yang memecahkan masalah ini tidak diizinkan.

Ruby, 58 byte

Ini adalah implementasi langsung dari algoritma dalam Melepaskan jawaban C Helium Nuclei .

g=->m,n{n>m ?g[n,m]:m*~m*n*~n/4+n*((2*m-n)*(4*n*n-1)-3)/6}

Saya telah menyelidiki mengapa formula ini bekerja, dengan keberhasilan yang terbatas. Sangat mudah untuk mengkonfirmasi bahwa jumlah persegi panjang tegak sama dengan (m+1)*m/2 * (n+1)*n/2, jumlah persegi panjang diagonal sedikit lebih sulit dipahami.

Neil punya dikonfirmasi untuk m==nbahwa jumlah persegi panjang miring dalam n*npersegi (4*n**4-n*n-3*n)/6dan bahwa ketika m>n Anda perlu menambahkan tambahan (m-n)(n*(4*n*n-1)/3)(terkait dengan Oei A000447 ), meskipun ini tidak menjelaskan di mana dua formula berasal. Saya telah menemukan bagian dari jawabannya.

Sebab m==n, bentuk di dalam grid adalah berlian Aztec .

Jumlah persegi panjang dalam berlian Aztec adalah jumlah dari jumlah persegi panjang besar ditumpangkan untuk membuatnya (untuk diamond keempat, yang ditemukan dalam 5x5grid, 2x8, 4x6, 6x4, dan 8x2) dikurangi jumlah persegi panjang dihitung dua kali (jumlah persegi panjang di berlian Aztec sebelumnya ).

Rumusnya di sini adalah (TeX akan ditambahkan nanti):

# superimposed rectangles, 2x(2n-2), 4*(2n-4), ...
f = lambda n: sum( (2*k)*(2*k+1)/2 * (2*n-2*k)*(2*n-2*k+1)/2 for k in range(1, n) )
aztec_rect = f(n) - f(n-1)

Menurut Wolfram Alpha, bentuk tertutup untuk fadalah 1/30*(n-1)*n*(4*n**3+14*n**2+19*n+9)dan bentuk tertutup aztec_rectadalah, seperti yang ditemukan Neil 1/6*n*(n-1)*(4*n**2+4*n+3) == 1/6*(4*n**4-n**2-3*n),.

Saya belum menemukan alasannya (m-n)(n*(4*n*n-1)/3) bekerja, meskipun saya curiga itu karena satu definisi A000447 adalah binomial(2*n+1, 3). Saya akan membuat Anda tetap diposting.

Memperbarui: Saya punya alasan untuk percaya bahwa fungsi jumlah persegi panjang pada berlian Aztec yang diperluas m>nterkait dengan jumlah 2k*2(n-k)persegi panjang yang dilapiskan pada minus berlian F(m-1,n-1). Lebih banyak hasil ketika saya memilikinya.

Pembaruan: Saya mencoba rute yang berbeda dan berakhir dengan formula lain untuk berlian Aztec tambahan yang sebagian besar dapat dijelaskan tetapi memiliki satu istilah yang belum saya mengerti. Sabas! : D

def f(m,n):
 if n > m:
     return f(n,m)
 if n == 0:
     return 0
 else:
     return(m-n+1)*(4*n**4-n*n-3*n)/6-f(m-1,n-1)+(m-n)*2+(m-n)*(n-2)-(m-n-1)*f(n-1,n-1)

Rincian cepat dari formula terakhir itu:

• (m-n+1)*(4*n**4-n*n-3*n)/6adalah jumlah berlian Aztec ditumpangkan ukuran ndalam struktur, seperti f(n,n) = (4*n**4-n*n-3*n)/6. f(7,3)memiliki 5 ukuran berlian Aztec3 , sementara f(3,3)hanya memiliki 1 berlian.
• -f(m-1,n-1) menghapus beberapa duplikat persegi panjang dari tengah berlian yang dilapiskan.
• +(m-n)*2menyumbang 2 ekstra- 2oleh-(2n-1) persegi panjang untuk setiap berlian ekstra.
• +(m-n)*(n-2)menyumbang tambahan n-by- npersegi untuk setiap berlian ekstra.
• -(m-n-1)*f(n-1,n-1)Ini adalah istilah baru yang membingungkan. Tampaknya saya belum menghitung beberapa kotak tambahan dalam penghitungan saya, tapi saya belum menemukan di mana mereka berada di berlian diperpanjang.

Catatan: kapan m==n,, m-n-1 = -1artinya istilah terakhir ini menambahkan kotak ke penghitungan. Saya mungkin kehilangan sesuatu dalam formula biasa saya. Pengungkapan penuh, ini hanya dimaksudkan sebagai tambalan untuk rancangan awal formula ini yang baru saja berfungsi. Jelas, saya masih perlu menggali apa yang terjadi, dan mungkin formula saya mengandung beberapa bug di dalamnya. Saya akan membuat Anda diposting.

_{Russell, Gary dan Weisstein, Eric W. "Aztec Diamond." Dari MathWorld - Sumber Daya Web Wolfram. http://mathworld.wolfram.com/AztecDiamond.html}

C, 71 64 byte

f(m,n){return n>m?f(n,m):m*~m*n*~n/4+n*((2*m-n)*(4*n*n-1)-3)/6;}

Cobalah di Ideone

Python, 73 68 byte

x=lambda m,n:m*~m*n*~n/4+n*((2*m-n)*(4*n*n-1)-3)/6if m>n else x(n,m)

Dan sementara versi berikut memiliki bytecount yang lebih tinggi (75), itu adalah latihan yang bagus dalam menemukan tempat untuk digunakan ~:

def f(r,c):
 if r<c:r,c=c,r
 x=(4*c**3-c)/3
 return r*c*~r*~c/4+x*r--~x*c/2

Cembung, 37 36 byte

__:)+×½½\~æ<{\}&:N\¦\-N¦¦N*(*3-N*6/+

Cobalah online!

Menggunakan algoritma betseg yang dimodifikasi dan dioptimalkan untuk bahasa berbasis stack. Penjelasan yang akan datang ketika saya memiliki waktu luang lagi. Saya yakin ini bisa dipersingkat tapi saya tidak akan repot saat ini.

Batch, 82 byte

@if %2 gtr %1 %0 %2 %1
@cmd/cset/a%1*~%1*%2*~%2/4+((%1+%1-%2)*(%2*%2*4-1)-3)*%2/6