Konvolusi Harmonik Hemispherical

Spherical Harmonics (SH) adalah cara untuk merepresentasikan fungsi bola frekuensi rendah dengan hanya sedikit koefisien. Mereka memiliki beberapa sifat matematika yang bagus, misalnya konvolusi dengan fungsi kernel h (x) (yang memiliki simetri lingkaran) dapat dihitung sebagai

$(h * f) ^ m_l = \ sqrt {\ frac {4 \ pi} {2l + 1}} h ^ 0_l f ^ m_l$

Dalam kasus konvolusi dengan lobang kosinus untuk peringkat 3 SH, ini menghasilkan penskalaan band dengan faktor-faktor sederhana

$[\ pi, \ frac {2 \ pi} {3}, \ frac {\ pi} {4}]$

Dalam banyak kasus, misalnya lampu insiden untuk titik tertentu pada permukaan buram, informasi bola penuh tidak diperlukan, karena setengah dari bola adalah nol / tidak terdefinisi / tidak terpakai pula. Maka, Hemispherical Harmonics (HSH) lahir.

Bagaimana konvolusi dengan kernel arbitrary (dengan sirkular simetri) bekerja untuk HSH? Bisakah konvolusi dari SH diperpanjang atau adakah kertas yang merinci hal ini?

hemisphere

— David Kuri
sumber

Anda menulis "kernel sewenang-wenang dengan simetri sirkular": Bukankah itu berarti Anda benar-benar hanya memerlukan konvolusi dengan bagian (Hemispheric) Zonal Harmonics? Jika sumbu simetri Anda berbeda, Anda masih dapat menggunakannya dengan menambahkan rotasi sebelum dan setelah konvolusi zona. Cara melakukan rotasi dijelaskan dalam kertas. Integrasi dengan bagian Zonal (m = 0) harus relatif mudah. Namun, seperti halnya Spherical Harmonics, itu tidak akan dapat dipecahkan secara analitik untuk fungsi arbitrer. Hal-hal sederhana seperti lobus cosinus harus bekerja dengan baik (belum mencoba).

— Wumpf

@ Wumpf Kau benar, cukup banyak itu intinya. Untuk SH, saya hanya perlu skala "setiap band dari f dengan m = 0 istilah yang sesuai dari [fungsi kernel] h" (mengutip Trik SH Stupid SH Sloan). Pertanyaannya adalah, bisakah saya melakukan hal yang sama untuk HSH?

— David Kuri

Jawaban ini mencoba memberikan gambaran singkat tentang beberapa aspek penting. Karena definisi HSH agak rumit dan saya tidak dapat menemukan gambaran umum atas beberapa fungsi yang telah dievaluasi, saya tidak memberikan contoh hanya karena itu akan memakan waktu terlalu banyak saat ini.

Deskripsi Masalah & Brute Force

Untuk menentukan konvolusi apa pun dengan setiap set fungsi dasar dan dengan demikian menghitung koefisien kita biasanya perlu menghitung integral atas domain (= bola untuk SH, belahan untuk HSH). Semua yang perlu kita lakukan, untuk merepresentasikan fungsi hemisfer f , yang didefinisikan pada sudut theta ("atas / bawah") dan phi ("kiri / kanan"), melalui koefisien c untuk fungsi basis HSH H adalah sebagai berikut:

$\ int_0 ^ {2 \ pi} \ int_0 ^ {\ frac {2} {\ pi}} f (\ theta, \ phi) \ cdot H_l ^ m (\ theta, \ phi) \ cdot sin (\ theta) \ , \, \ mathrm {d} \ theta \ mathrm {d} \ phi$

The sin (theta) ada karena kita mengintegrasikan atas permukaan (setengah) lingkup. Secara konseptual, ukuran sepotong area yang berasal dari perubahan phi lebih besar atau lebih kecil pada theta saat ini. Lebih lanjut tentang ini di sini

Jika kita tidak terlalu peduli dengan keakuratan atau waktu komputasi kita dapat menyelesaikan ini hanya dengan sampling: Hasilkan arah (!) Yang terdistribusi secara merata di belahan bumi, hitung produk dari f dan H dan rata-rata hasilnya (jika Anda benar-benar terdistribusi secara merata) poin Anda tidak perlu dosa (theta) ).

Memulai dengan Solusi Analitik

Tentu saja kami akan senang memiliki solusi analitik untuk fungsi kami, tetapi di sinilah segalanya menjadi sangat sulit. Sebagai langkah pertama kita mungkin perlu mengubah fungsi yang diberikan pada arah Cartesius menjadi koordinat bola. Bagian ini masih mudah, ganti saja semua x, y dan z Anda sebagai berikut:

$(x, y, z) \ rightarrow (\ sin \ theta \ cos \ phi, \ sin \ theta \ sin \ phi, \ cos \ theta)$

Perhatikan bahwa ini memberi kita sistem di mana sumbu z adalah "atas" dari belahan bumi (theta = 0) yang harus diwakili oleh HSH. Setelah itu mungkin sudah dimungkinkan untuk memasukkan semuanya ke dalam sistem aljabar komputer dan menyelesaikan persamaannya. Jangan mencoba menyelesaikan untuk semua m & l tetapi cobalah satu koefisien pada satu waktu, karena tidak mungkin ada ekspresi kompak yang menggambarkan semuanya sekaligus. Definisi HSH relatif kompleks, yang membuatnya sangat membosankan untuk mengevaluasi fungsi-fungsi ini. Dalam makalah ini fungsi dasar HSH nol dan 1 disebutkan dalam koordinat kartesius.

Catatan tentang Rotasi & Zonal Harmonik

Fungsi yang simetris rotasi di sekitar sumbu z ini adalah kandidat yang sangat baik untuk derivasi analitik yang sukses, karena mereka hanya mempengaruhi koefisien zonal , yang semuanya adalah koefisien dengan indeks m sama dengan nol. Ini sangat membantu untuk Harmonika Bulat yang lebih umum di mana terdapat rumus mudah yang memungkinkan untuk memutar representasi Zonal Spherical Harmonics ke arah yang sewenang-wenang, menghasilkan representasi Harmonik Bulat tanpa kehilangan data (lihat di sini). Ini berarti Anda dapat memperoleh koefisien ZSH dengan mengasumsikan bahwa "fungsi titik simetris radial Anda ke z" dan memutarnya kemudian ke arah yang diinginkan. Ini berfungsi sempurna misalnya dengan berbagai variasi lobus kosinus dan juga memberi Anda faktor-faktor yang Anda sebutkan dalam pertanyaan.

Sekarang berita buruknya: Untuk HSH, setiap rotasi fungsi di sekitar sumbu lain dari z adalah lossy, karena fungsi Anda akan "menyentuh" belahan bawah yang tidak terdefinisi setelah rotasi. Karena itu, tidak ada formula rotasi "Hemi Zonal ke HSH" yang nyaman. Sebagai gantinya, ada beberapa cara untuk melakukannya dengan kelemahan yang berbeda. Untuk lebih jelasnya lihat makalah dan presentasi .

Ngomong-ngomong: Semua ini lebih mudah dengan H-Basis , yang merupakan hemispherical juga (tetapi pada awalnya hanya didefinisikan untuk sejumlah pita frekuensi).

— Wumpf
sumber