Alasan asumsi untuk fungsi distribusi microfacet?

Makalah Model Microfacet untuk Refraksi melalui Permukaan Kasar (antara lain) mengingatkan kita pada asumsi berikut tentang fungsi distribusi mikrofacet D:

Kepadatan microfacet bernilai positif
Total luas permukaan mikro setidaknya sama besar dengan luas permukaan makro yang sesuai
Wilayah yang diproyeksikan (ditandatangani) dari permukaan mikro adalah sama dengan daerah yang diproyeksikan dari permukaan makro untuk segala arah

Saya dapat melihat mengapa 1) kepadatan distribusi adalah nilai positif, dan secara intuitif percaya bahwa 2) berarti bahwa total area mikrofacet yang miring tidak boleh lebih kecil dari proyeksi mereka.
Namun saya tidak yakin untuk memahami pembenaran untuk 3). Apa arti kondisi ketiga artinya?

brdf distribution function

— usap
sumber

$v$ $v\dot\ \hat N$ $\hat N$

Sekarang bagi makrosurface menjadi microfacets. Luas total microfacets setidaknya sama (asumsi 2), tetapi masing-masing 'ketegaran' di permukaan membengkokkan normals dari microfacets yang terpisah jauh dari normal aslinya. Apa pun bentuk microfacets, jumlah area yang diproyeksikan tidak berubah. Dalam kasus di mana Anda melihat sepanjang normal, mudah untuk melihat bahwa total area yang diproyeksikan adalah sama: permukaan harus menjadi lebih besar atau lebih kecil agar dapat berubah.

Untuk segala arah, microfacet harus menutupi sebagian dari area proyeksi permukaan asli. Mengubah orientasi microfacet sambil tetap mengisi porsi itu tidak mengubah area yang diproyeksikan.

Ada satu kasus rumit, di mana microfacets saling menggantung. Dalam hal ini, total area lebih besar, karena beberapa area ditutupi oleh lebih dari satu microfacet. Tetapi dalam kasus ini, setidaknya satu dari mikrofacet harus berakhir dengan menunjuk menjauh dari arah pandangan, kembali ke permukaan. Dalam kasus ini, produk titik negatif, jadi ini membatalkan area yang dicakup oleh lebih dari satu mikrofacet. Inilah sebabnya mengapa teks berhati-hati untuk memilih bahwa itu adalah area yang diproyeksikan ditandatangani .

Ada satu lagi kasus rumit, yaitu di mana microfacets melampaui siluet objek. Ini mungkin terjadi ketika Anda melihat dari sudut yang sangat melirik, atau di mana aspek yang menggantung menggantung di luar batas permukaan. Dalam hal ini, area yang diproyeksikan dari microfacets akan lebih besar, melanggar asumsi ketiga. Kami biasanya tidak mempertimbangkan kasus ini. Secara intuitif, ini cocok dengan fakta bahwa teknik seperti bump-mapping tidak mengubah bentuk siluet objek.

— Dan Hulme
sumber

Saya pikir bahkan dalam kasus siluet, menggunakan area yang diproyeksikan ditandatangani (seperti yang Anda catat) berarti asumsi 3 tidak dilanggar, asalkan batas-batas microsurface cocok dengan yang makrosurface. Bahkan jika ada overhang di luar siluet, area yang diproyeksikan dari segi di sisi depan dan belakang overhang akan dibatalkan.

— Nathan Reed

(Juga, mungkin ini tidak perlu dikatakan, tapi saya pikir asumsi juga menjamin bahwa permukaan mikro adalah permukaan 2-manifold yang bagus tanpa lubang atau hal-hal aneh lainnya.)

— Nathan Reed

@NathanReed Itu benar, saya seharusnya lebih tepat tentang itu. Adapun apa asumsi asumsi, saya pikir itu sebaliknya: fakta bahwa permukaan, bagaimanapun segi, harus menjadi seluruh batas antara beberapa "di dalam" dan beberapa "di luar" memaksa untuk memiliki tiga sifat .

— Dan Hulme