Jika adalah himpunan bagian dari , lalu bagaimana kita dapat menunjukkan bahwa teratur?

Katakan, . Lalu bagaimana kita dapat membuktikan bahwa adalah teratur?$L \subseteq \{0\}^*$$L^*$

Jika teratur, maka tentu saja juga teratur. Jika terbatas, maka ia adalah biasa dan lagi adalah teratur. Saya juga memperhatikan bahwa, untuk , tidak teratur, dan teratur.$L$$L^*$$L$$L^*$$L = \{0^p \mid p \text{ is a prime}\}$$L$$L \subseteq \{0\}^*$$L^*$

Tetapi bagaimana cara menunjukkan ini untuk setiap subset dari ?$L$$\{0\}^*$

Asumsikan bahwa berisi dua kata dan sedemikian rupa sehingga panjang kata-kata ini,dan, tidak memiliki faktor yang sama. Kemudian, kita memiliki kata terpanjang yang tidak dapat dibentuk dengan menggabungkan kata-kata ini memiliki panjang ( nomor Frobenius ). Dengan kata lain, jika ada kata-kata dalam bahasa yang panjangnya tidak memiliki faktor umum, maka semua kata dengan panjang minimal tertentu adalah dalam bahasa . Sangat mudah untuk melihat ini biasa karena, tentu saja, ada sejumlah terbatas kelas kesetaraan di bawah hubungan indistinguishability Myhill-Nerode.w $L$$w_1$| w 1 | | w 2 | ( | w 1 | - 1 ) ( | w 2 | - 1 ) - $w_2$$|w_1|$$|w_2|$$(|w_1|-1)(|w_2|-1) - 1$$L^*$

Bagaimana jika panjang semua kata dalam memiliki faktor yang sama? Yah, tidak sulit untuk melihat bahwa dalam kasus seperti itu, juga teratur. Cukup perhatikan bahwa alih-alih semua kata yang panjangnya lebih besar dari beberapa panjang minimal berada di , itu akan menjadi benar bahwa semua kata yang panjangnya merupakan kelipatan dari GCD panjang kata akan berada di , dan tidak ada kata yang panjangnya bukan kelipatan dari GCD ini akan menjadi, dan karena biasa untuk setiap bilangan , juga teratur.L ∗ L ∗ L ∗ ( L k ) ∗ k L $L$$L^*$$L^*$$L^*$$(L^k)^*$$k$$L^*$

Ini cukup informal, tetapi semua yang Anda butuhkan untuk memformalkan ini harus ada di sini.

Ide dasarnya adalah bahwa dalam bahasa yang dibangun di atas alfabet satu huruf, setiap kata yang cukup panjang merupakan gabungan kata-kata yang lebih pendek. Jadi ketika Anda mengambil kata dalam , yaitu gabungan kata-kata dalam , ada inti sedemikian rupa sehingga adalah gabungan kata-kata dalam . Jadi . Ternyata terbatas, maka itu dan teratur.$w$$L^*$$L$$\mathring{L}$$w$$\mathring{L}$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$$L^*$

Mari menjadi bagian dari dan sebuah kata dalam . dapat diekspresikan sebagai gabungan kata dalam iffdapat dinyatakan sebagai jumlah dari elemen di mana adalah himpunan panjang kata-kata di . Jadi masalah berkurang untuk mengekspresikan integer sebagai jumlah integer dalam set tertentu (dengan pengulangan diizinkan): candinyatakan sebagai dengan dan ?$M$$L$$w$$L$$w$$L$$|w|$$S \subset \mathbb{N}$$S$$M$$|w|$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, s_i \in S$$k_1 \in \mathbb{N}$

Ini adalah masalah yang terkenal di aritmatika, dan jawabannya adalah jika koefisien bisa negatif ( ),dapat dinyatakan IFF merupakan kelipatan dari pembagi umum terbesar dari unsur-unsur : . Dengan persyaratan untuk koefisien non-negatif, ini masih berlaku untuk cukup besar.$(k_i)$$k_i \in \mathbb{Z}$$|w|$$S$$\gcd S$$|w|$

Pertimbangkan urutan tanpa batas didefinisikan oleh . Ini adalah urutan penurunan bilangan bulat (dimulai dengan , sehingga konstan setelah indeks tertentu ; dan Dengan teorema sisa Cina, setiap elemen dapat berupa dinyatakan sebagai dengan dan . Jika dan maka Anda dapat memilih semua koefisien non-negatif.$(g_i)_{i\ge\min S}$$g_i = \gcd (S \cap [0,i])$$g_{\min S} = \min S$$j$$g_j = \gcd S$$S$$k_1 s_1 + \ldots + k_m s_m$$\forall i, k_i \in \mathbb{Z}$$\{s_1, \ldots, s_m\} = S \cup [0,j]$$x \in S$$x \ge s_1 \cdot \ldots \cdot s_m$

Aritmatika yang cukup. Biarkan . Setiap kata dalam dapat diekspresikan sebagai gabungan kata-kata dalam yang panjangnya paling banyak adalah , yaitu . Karena kita juga memiliki , kita memiliki , yang teratur karena terbatas sehingga teratur.$\mathring{L} = \{w \in L \mid |w| \le g_j\}$$L$$L$$g_j$$L \subseteq \mathring{L}^*$$\mathring{L} \subseteq L$$L^* = \mathring{L}^*$$\mathring{L}$

Atau, gunakan karakterisasi bahasa biasa dalam huruf satu huruf .