Jumlah siklus Hamiltonian pada grafik Sierpiński

Saya baru di forum ini dan hanya seorang fisikawan yang melakukan ini untuk menjaga otaknya tetap bugar, jadi tolong tunjukkan rahmat jika saya tidak menggunakan bahasa yang paling elegan. Juga silakan tinggalkan komentar, jika menurut Anda tag lain akan lebih sesuai.

Saya mencoba untuk memecahkan masalah ini yang saya perlu menghitung jumlah siklus Hamiltonian $C(n)$ dalam urutan ke- $n$ Sierpinski-graph $S_n$ . (Harap lihat juga tautan di atas untuk definisi dan gambar-gambar grafik Sierpinski)

Saya telah menemukan , tetapi saya pasti mengacaukan sesuatu, karena solusi saya tidak cocok dengan nilai yang diberikan C ( 5 ) = 71328803586048 . Argumen saya terdiri dari pemikiran yang sangat mendasar, dan saya tidak dapat menemukan kesalahan. Setiap bantuan sangat dihargai. Bahkan jika tampaknya panjang, pikiran menjadi sepele jika Anda melihat grafik sambil mengikuti.$C(n)$$C(5) = 71328803586048$

(a) Pada grafik yang diberikan memanggil sudut luar A , B , C . Lalu saya mendefinisikan jumlah berikut:$S_n$$A,B,C$

jumlah jalur Hamiltonian dari A ke C .$N(n) :=$$A$$C$

jumlah jalur dariAkeCyang mengunjungi setiap node sekali kecualiB.$\bar{N}(n) :=$$A$$C$$B$

Saya juga akan memanggil jalur tersebut - atau ˉ N -jenis jalur di berikut ini.$N$$\bar{N}$

(B) Mudah untuk melihat bahwa .$N(n)=\bar{N}(n)$

Alasannya adalah sebagai berikut: Pertimbangkan jalur tipe- . Mulai dari A jalan ini adalah dari bentuk ( A , . . . , X 1 , B , X 2 , . . . , C ) . Dengan mengganti segmen ( X 1 , B , X 2 ) dengan ( X 1 , X 2 ) kita memperoleh jalur tipe ˉ N. Operasi ini secara unik memetakan semua $N$$A$$(A,...,X_1,B,X_2,...,C)$$(X_1,B,X_2)$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$N$-tipe paths ke -type paths.$\bar{N}$

(c) Kami memperoleh rekursi .$N(n+1)=2N(n)^3$

Pertimbangkan jalur -jenis dari A ke B dan menyatakan subtriangles di sudut luar A , B , C dengan T A , T B , T C , masing-masing. Hal ini jelas bahwa N jalur -jenis akan mengunjungi setiap subtriangle tepat sekali mulai dari T A lebih T B ke T C . Sekarang perhatikan node Z di mana subtriangles T A dan T $N$$A$$B$$A,B,C$$T_A,T_B,T_C$$N$$T_A$$T_B$$T_C$$Z$$T_A$$T_C$ touch. Ada dua kemungkinan, ketika titik ini dikunjungi oleh jalan, baik (i) sebelum meninggalkan atau (ii) setelah memasuki T C . Dalam kasus ini, tiga subpath di dalam T A , T B$T_A$$T_C$ adalah tipe(i) N , N , ˉ N atau(ii) ˉ N , N , N , masing-masing. Dengan mengingat hal ini kita dapat menghitung$T_A,T_B,T_C$ $N,N,\bar{N}$ $\bar{N},N,N$

dan dengan(b)kita sampai pada rekursi atas.$N(n+1)=N(n)N(n)\bar{N}(n)+\bar{N}(n)N(n)N(n)$

(d) Kami menyelesaikan rekursi (c) dengan dan memperoleh N ( n ) = 2 3 0 + 3 1 + . . . + 3 n - 2 .$N(1)=1$$N(n)=2^{3^0+3^1+...+3^{n-2}}$

(e) Pertimbangkan siklus Hamiltonian dalam grafik . Karena masing-masing dari tiga subtriangles terhubung ke yang lain melalui dua node saja, jelas bahwa siklus akan memasuki setiap subtriangle tepat sekali melalui satu simpul penghubung, kemudian "mengisinya", dan akhirnya meninggalkannya melalui simpul penghubung lainnya. Karenanya siklus Hamilton di S n terdiri dari tiga sub-tipe N di subtriangles yang semuanya memiliki struktur S n - 1 . Kita dapat menyimpulkan untuk jumlah siklus Hamilton$S_n$$S_n$$N$$S_{n-1}$

.$C(n) = N(n-1)^3$

Namun demikian untuk $n=5$

$C(5) = N(4)^3 = 8192^3=549755813888 \neq 71328803586048$

di mana yang terakhir harus diperoleh sesuai dengan halaman masalah (tautan di atas).

Sekali lagi terima kasih atas bantuan atau komentarnya.

Ide bagus! Masalahnya tampaknya pada langkah . Mengganti ( X 1 , B , X 2 ) di jalur- N oleh ( X 1 , X 2 ) menghasilkan ˉ jalur- N , tetapi tidak setiap ˉ jalur N akan berisi ( X 1 , X 2 ) . Jadi ini bukan sebuah bujukan. Ini hanya mengatakan N ( n ) ≤ ˉ N ( n ) .$(b)$$(X_1,B,X_2)$$N$$(X_1,X_2)$$\bar{N}$$\bar{N}$$(X_1,X_2)$$N(n) \leq \bar{N}(n)$

Atau Anda sebenarnya dapat menunjukkan bahwa , menghasilkan N ( n + 1 ) = 3 N 3 .$\bar{N}(n) = 3N(n)/2$$N(n+1) = 3N^3$