Apakah kode biner dengan panjang 6, ukuran 32 dan jarak 2 ada?

Masalahnya adalah untuk membuktikan atau menyangkal keberadaan , st, ; ; d (c_i, c_j) \ geq2,1 \ leq i <j \ leq32 . ( d singkatan jarak hamming)$C$$|c| = 6,\forall c\in C$$|C| = 32$$d(c_i,c_j)\geq2,1\leq i<j\leq32$$d$

Saya mencoba membuat kode yang memuaskan. Yang terbaik yang bisa saya dapatkan adalah membiarkan $C = C'\times C'$ , gabungan dari $C' = \{000,011,110,101\}$ , yang berukuran 16. 32 kebetulan adalah batas atas teoritis ukuran, sekarang saya tidak tidak tahu apa yang harus dilakukan selanjutnya untuk menyelesaikan masalah.

Ya, ada set seperti itu. Anda sebenarnya berada di jalur yang benar untuk menemukan contoh berikut.

Biarkan $C = \{c : |c|=6 \text{ and there are even number of 1's in c}\}$ . Anda dapat memeriksa yang berikut ini.

• $|C|=32$ .
• $d(u,v)\geq2$ untuk semua , . (Faktanya, atau 4 atau 6.)$u,v\in C$$u\not=v$$d(u,v)=2$

Berikut adalah empat latihan terkait, yang tercantum dalam urutan meningkatnya kesulitan. Seperti dalam pertanyaan, hanya kode biner yang bersangkutan.

Latihan 1. Berikan contoh lain dari himpunan 32 kata dengan panjang 6 dan jarak berpasangan minimal 2.

Latihan 2. Perlihatkan bahwa hanya ada dua perangkat seperti itu, seperti yang diberikan dalam jawaban dan dalam latihan 1.

Latihan 3. Buat generalisasi kata-kata di atas dengan panjang berapa pun dan jarak berpasangan minimal 2. (Petunjuk, .)$32=2^{6-1}$

Latihan 4. (generalisasi lebih lanjut yang dinyatakan dalam jawaban Yuval) Jika adalah ukuran maksimum kode panjang dan jarak berpasangan minimum , maka .$A(n,d)$$n$$d$$A(d,2d)=A(n-1,2d-1)$

Semua kata paritas genap dari kode linier dengan $2^{n-1}$ codeword dan jarak minimum $2$ .

Lebih umum, jika $A_2(n,d)$ adalah ukuran maksimum dari kode panjang $n$ dan jarak minimum $d$ , maka $A_2(n,2d) = A_2(n-1,2d-1)$ .