Bisakah kita menghasilkan bilangan acak menggunakan bilangan irasional seperti π dan e?

Bilangan irasional seperti $\pi$ , $e$ dan $\sqrt{2}$ memiliki urutan unik dan tidak berulang setelah titik desimal. Jika kita mengekstrakdigit ke-$n$dari angka-angka seperti itu (di mana$n$adalah berapa kali metode ini dipanggil) dan membuat angka dengan digit seperti itu, bukankah kita seharusnya mendapatkan generator angka acak yang sempurna? Misalnya, jika kita menggunakan$\sqrt{2}$ ,$e$dan$\pi$, angka pertama adalah 123, yang kedua adalah 471, yang berikutnya adalah 184 dan seterusnya.

Kerugian yang paling jelas adalah kompleksitas yang tidak perlu dari algoritma PRNG berdasarkan bilangan irasional. Mereka membutuhkan lebih banyak perhitungan per digit yang dihasilkan daripada, katakanlah, LCG; dan kompleksitas ini biasanya tumbuh seiring Anda melangkah lebih jauh dalam urutan. Menghitung 256 bit π pada bit dua kuadriliunuta membutuhkan waktu 23 hari pada 1000 komputer (pada tahun 2010) - kompleksitas yang agak penghalang untuk RNG.

Untuk definisi sempurna yang masuk akal, mekanisme yang Anda gambarkan bukanlah penghasil angka acak yang sempurna.

• Tidak mengulangi tidak cukup. Angka desimal $0.101001000100001\dots$ tidak berulang tetapi merupakan penghasil angka acak yang mengerikan, karena jawabannya adalah "selalu" nol, kadang-kadang satu, dan tidak pernah yang lain.

• Kami tidak benar-benar tahu apakah setiap digit terjadi sama sering dalam ekspansi desimal $\pi$ atau  $\mathrm{e}$ (meskipun kami menduga mereka melakukannya).

• Dalam banyak situasi, kami memerlukan angka acak agar tidak dapat diprediksi (memang, jika Anda bertanya kepada orang secara acak apa arti "acak", mereka mungkin akan mengatakan sesuatu tentang ketidakpastian). Angka-angka dari konstanta terkenal benar-benar dapat diprediksi.

• Kami biasanya ingin menghasilkan angka acak dengan cukup cepat, tetapi menghasilkan digit konstanta matematika berturut-turut cenderung cukup mahal.

• Namun demikian, benar bahwa digit $\pi$ dan  $\mathrm{e}$ terlihat acak secara statistik, dalam arti bahwa setiap urutan digit yang mungkin tampaknya terjadi sesering yang seharusnya. Jadi, misalnya, setiap digit memang terjadi sangat dekat dengan satu kali dalam sepuluh; setiap urutan dua digit sangat dekat dengan satu dalam seratus, dan seterusnya.

Secara kriptografis tidak berguna karena musuh dapat memprediksi setiap digit. Ini juga sangat memakan waktu.

( diperbarui setelah banyak orang menunjukkan bahwa generator angka acak tidak sama dengan urutan normal tunggal)

Jika Anda bertanya apakah Anda bisa mendapatkan urutan normal dari $\pi$ (yaitu, semua angka muncul secara seragam), maka ada beberapa jawaban tentang aliran matematika. Misalnya, jawaban tentang Distribusi digit-digit Pi mengatakan:

... diyakini bahwa $\pi$ adalah angka normal (~ distribusi seragam dari setiap urutan digit).

Untuk data distribusi digit, lihat misalnya http://www.eveandersson.com/pi/precalculated-frequencies atau https://thestarman.pcministry.com/math/pi/RandPI.html (1000 digit pertama):

Di mathoverflow, ada juga jawaban bagus di:

• Bagaimana keadaan ketidaktahuan kita tentang normalitas pi?
• Apakah pi berisi 1000 nol berurutan?

Secara umum, pendekatan ini tidak berhasil: "keacakan" tidak berarti Anda mendapatkan banyak digit berbeda, tetapi ada aspek-aspek lain juga. Misalnya, tes klasik adalah untuk melihat apakah semua kombinasi dua digit, atau tiga digit, dll. Terjadi dengan frekuensi yang sama. Ini akan menjadi tes yang sangat sederhana, yang dapat mengesampingkan hasil non-acak yang jelas, tetapi masih terlalu sederhana untuk memeriksa perilaku yang benar-benar acak.

Lihat halaman Wikipedia tentang Tes Keacakan sebagai kumpulan tautan ke sumber utama mengenai hal ini. Mereka menyebutkan sejumlah konsep yang terdengar rumit; itu tidak begitu penting untuk masuk ke dalam perincian mendalam tentang ini - tetapi jelas bahwa tidak mungkin secara intuitif untuk menyatakan nomor tertentu untuk menjadi sumber yang baik untuk angka-angka tersebut.

Pada catatan positif: Untuk bilangan irasional tertentu, Anda tentu saja bebas untuk mencobanya; yaitu, menghitung angka ke tingkat digit yang cukup besar, dan menjalankannya melalui semua tes yang dikenal (ada alat untuk itu, lihat tautan di atas). Jika ukurannya cukup baik untuk kasus penggunaan Anda, dan jika Anda sadar bahwa ini jelas tidak berguna untuk aplikasi kriptografi, dan selalu mendapatkan angka yang sama jika Anda harus memulai dari awal, dan kualitasnya mungkin menurun jika Anda melewati yang nAnda pilih untuk menguji keacakan, Anda bisa menggunakan angka-angka itu. Tetapi akan jauh lebih baik untuk menggunakan generator nomor acak khusus (semu); dan tidak ada yang mengalahkan sumber fisik yang baik dari keacakan.

Ini memberikan angka acak yang baik sampai Anda menyadari bagaimana itu diproduksi, seperti halnya banyak angka acak semu. Angka-angka irasional (non aljabar dan non transendental) yang Anda pilih adalah umum dan dengan demikian lebih mudah ditebak daripada yang lain. Saya tidak melihat masalah dengan metode ini asalkan Anda memilih generator yang jarang terlihat.