Kesetaraan Büchi automata dan linear -calculus

Ini adalah fakta yang diketahui bahwa setiap formula LTL dapat diekspresikan oleh Büchi -automaton. Tetapi, tampaknya, Büchi automata adalah model yang lebih kuat dan ekspresif. Saya pernah mendengar bahwa Büchi automata setara dengan linear-time -calculus (yaitu, -calculus dengan fixpoint biasa dan hanya satu operator temporal: ). $\omega$ $\mu$ $\mu$ $\mathbf{X}$

Apakah ada algoritma (bukti konstruktif) dari kesetaraan ini?

— Daniil
sumber

Saya tidak tahu banyak tentang logika. NBA setara dengan MSO, afaik; apakah Anda tahu sesuatu tentang hubungan MSO dan logika Anda?

— Raphael

@Raphael sayangnya, saya tidak tahu banyak tentang MSO

— Daniil

Perhatikan bahwa bahasa reguler, DFA, NFA, dan NBA setara dengan MSO di atas string , tetapi tidak "setara" dengan MSO dalam arti umum (lebih dari struktur arbitrer). Sebenarnya, logika orde dua (SO), bila dianggap melebihi string, juga setara dengan logika orde dua monadik (MSO), tetapi SO secara umum jauh lebih ekspresif daripada LTL.

— Janoma

REG, DFA dan NFA sesuai dengan WMSO, bukan MSO.

— Raphael

@Raphael hal.archives-ouvertes.fr/docs/00/06/06/08/PDF/LogicOnWords.pdf - artikel ini adalah titik awal yang baik bagi saya, meskipun saya sendiri bukan ahli dan belum sepenuhnya memahami aljabar. dan metode automata untuk -bahasa.

ω

$\omega$

— Daniil

Jawaban:

Persamaan konstruktif dari rumus titik tetap linear-waktu (logika ini disebut TL oleh sebagian orang) dan Buechi automata diberikan dalam makalah oleh Dam Mads dari tahun 1992. $\nu$

Poin Tetap dari Buchi Automata , FST & TCS 1992.

Lihat halaman 4 untuk pembangunan TL rumus dari robot Buechi. Pembangunan robot Buechi dari TL rumus lebih rumit dan memakan sisa kertas. $\nu$ $\nu$

Sisa dari jawaban ini adalah argumen singkat bahwa hasil ini ada dalam literatur dalam bentuk yang jauh lebih langsung. Pierre Wolper menunjukkan bahwa ada sifat omega-reguler yang tidak dapat didefinisikan LTL dan memberikan ekstensi LTL (disebut ETL) yang dapat mengekspresikan sifat omega-reguler.

Temporal Logic dapat lebih ekspresif , Pierre Wolper, Information and Computation, 1983.

Hal ini juga diketahui bahwa salah satu dapat menerjemahkan formula ETL ke dalam formula TL, sehingga dengan menggabungkan hasil ini Anda dapat membaca dari sebuah terjemahan dari Buechi automata ke TL. Sebaliknya, dari karya Buechi bahwa rumus S1S (teori urutan kedua dari satu penerus) dapat dikompilasi ke dalam Buechi automata dan dengan menerjemahkan rumus TL ke dalam S1S, kami memperoleh terjemahan TL ke Buechi automata. Jika Anda ingin pengantar yang lebih mendalam tentang topik ini, saya sarankan catatan kuliah Mads Dam, atau karya Roope Kaivola (sayangnya tidak banyak dikenal sebagai banyak pekerjaan terkait). $\nu$ $\nu$ $\nu$ $\nu$

Logika Temporal, Automata, dan Teori Klasik - Suatu Pengantar , Bendungan Mads, ESSLLI 1994.

Menggunakan Automata untuk Mengkarakterisasi Logika Temporal Titik Tetap , Roope Kaivola

— Vijay D
sumber

Apakah ada hasil untuk pertanyaan OP dalam referensi ini, atau terbuka?

— Raphael

Saya sudah mengklarifikasi jawaban saya.

— Vijay D

IIRC, ada masalah yang sama dalam pembicaraan Moshe Vardi di Fields Institute (ini bukan tentang calculus). $\mu$

Anda mungkin ingin memeriksa slide atau memeriksa makalah Vardi. Pasti ada suatu algoritma tetapi IIRC negasinya menyebabkan peningkatan besar dalam waktu yang diperlukan untuk melakukan terjemahan.

— Kaveh
sumber

Jawaban Anda sepertinya tidak lengkap.

— Dave Clarke

@Dave, ya, tidak.

— Kaveh