Bisakah penyortiran daftar diverifikasi tanpa membandingkan tetangga?

Daftar $n$ item dapat diverifikasi sebagai diurutkan dengan membandingkan setiap item dengan tetangganya. Dalam aplikasi saya, saya tidak akan dapat membandingkan setiap item dengan tetangganya: sebagai gantinya, perbandingan terkadang akan berada di antara elemen yang jauh. Mengingat bahwa daftar berisi lebih dari tiga item dan juga perbandingan itu adalah satu-satunya operasi yang didukung, apakah pernah ada "jaringan" perbandingan yang akan membuktikan bahwa daftar diurutkan, tetapi hilang setidaknya satu tetangga-ke-tetangga langsung perbandingan?

Secara formal, untuk urutan elemen $e_i$ , saya memiliki satu set pasangan indeks $(j,k)$ yang saya tahu apakah $e_j > e_k$ , $e_j = e_k$ , atau $e_j < e_k$ . Ada pasangan $(l,l+1)$ yang hilang dari rangkaian perbandingan. Jadi, apakah mungkin untuk membuktikan bahwa urutannya diurutkan?

sorting

— Nama tampilan
sumber

Catatan kalau-kalau ada yang menemukan halaman ini nanti dengan pertanyaan apakah Anda dapat memverifikasi daftar diurutkan tanpa membandingkan apa pun; Hanya jika Anda dapat membatasi input, dan / atau mengetahui sesuatu tentang bentuk input; (mis., jenis radix).

— HammerN'Songs

Namun, ada kemungkinan mengoptimalkan jumlah perbandingan yang digunakan dalam kasus-kasus di mana itu tidak diurutkan.

— Akumulasi

@Akumulasi Apakah sebenarnya ada kemungkinan seperti itu? Seharusnya sepele untuk mengambil program semacam itu dan memasak daftar panjang yang berlawanan n yang memaksa program untuk melakukan perbandingan n-1. Lihat juga A Killer Musuh untuk QuickSort , yang membawa ide ini lebih jauh untuk memaksa quicksort ke bagian buruk dari analisis asimptotiknya.

— Daniel Wagner

@DanielWagner Ya, optimasi seperti itu harus dilakukan sehubungan dengan input yang diharapkan dari aplikasi tertentu.

— Akumulasi

Mungkin tidak mungkin. Namun tolong jelaskan: apakah maksud Anda bahwa Anda hanya mengetahui perbandingan bentuk (j, j + 1), bukan umum (j, k)? Misalnya, apakah Anda pernah tahu perbandingan dua item indeks (j, j + 3)?

— Ron

Itu tidak mungkin. Misalkan Anda memiliki hasil semua perbandingan kecuali untuk pasangan $(i,i+1)$ . Maka Anda tidak akan dapat membedakan antara dua kasus berikut:

1, 2, \dots, i - 1, i, i + 1, i + 2, \dots, n 1, 2, \dots, i - 1, i + 1, i, i + 2, \dots, n

$1,2,\ldots,i-1,i,i+1,i+2,\ldots,n \\ 1,2,\ldots,i-1,i+1,i,i+2,\ldots,n$

— Yuval Filmus
sumber