Diberikan grafik chordal

Grafik adalah chordal jika tidak memiliki siklus panjang atau lebih. Sebuah pohon klik dari adalah pohon di mana simpul dari pohon adalah geng maksimal . Tepi dalam sesuai dengan pemisah minimal. Jumlah pohon clique yang berbeda dapat eksponensial dalam jumlah simpul dalam grafik chordal.$G$$4$$T$$G$$G$$T$

The berkurang klik grafik adalah gabungan dari semua pohon klik dari . Artinya, ia memiliki semua simpul yang sama, dan semua tepi yang mungkin. Apa kompleksitas komputasi untuk diberikan ?$C_r(G)$$G$$C_r(G)$$G$

Saya pikir saya pernah melihat presentasi mengklaim dapat dihitung dalam waktu tanpa bukti. Ini berarti itu adalah semudah komputasi pohon klik dari . Apakah ada referensi yang mengkonfirmasi ini, atau memberikan algoritma yang lebih lambat untuk menghitungnya?$C_r(G)$$O(m+n)$$G$

Kompleksitasnya adalah O (nm) ... dari G menghitung klik maksimal dan membuatnya simpul dalam grafik Anda H (awalnya tanpa tepi) ... kemudian menghitung semua pemisah minimal dan memesannya berdasarkan ukuran ... pilih pemisah terbesar S dan membuat dua klik C, C 'bersebelahan dalam H (hubungkan mereka dengan tepi dengan label S) jika C, C' keduanya mengandung S dan berada dalam komponen terhubung yang berbeda dari H (awalnya ini tentu saja selalu benar, tetapi tidak boleh nanti) ... kemudian pilih pemisah terbesar berikutnya dan lakukan hal yang sama ... ulangi sampai semua pemisah diproses ... grafik yang dihasilkan H adalah grafik klik tereduksi dari G ... menghitung klik maksimal dan pemisah minimal membutuhkan O (n + m) ... ada O (n) klik dan O (n) pemisah ... sisa konstruksi adalah O (nm) karena pemrosesan setiap pemisah dapat memakan waktu O (m) ... .. .ini tidak dapat diperbaiki di bawah O (n ^ 2) kecuali Anda dapat memecahkan masalah berikut: diberi grafik G menemukan dua simpul u, v sedemikian rupa sehingga N (u) berisi N (v) ... yang terakhir tidak diketahui memiliki Solusi O (n + m) ... ... oleh karena itu tidak mungkin bahwa algoritma O (n + m) untuk menghitung grafik klik yang diperkecil adalah mungkin ...

lihat Bagian 5 dalam M. Habib, J. Stacho: Algoritma waktu-polinomial untuk leafage dari grafik chordal, Dalam: Algoritma - ESA 2009, Catatan Kuliah dalam Ilmu Komputer 5757/2009, hlm. 290-300. ( http://www.cs.toronto.edu/~stacho/public/leafage-esa1.pdf )