Intuisi di balik nilai eigen dari matriks kedekatan

Saat ini saya sedang bekerja untuk memahami penggunaan ikatan Cheeger dan ketidaksetaraan Cheeger, dan penggunaannya untuk partisi spektral, konduktansi, ekspansi, dll, tetapi saya masih berjuang untuk memulai intuisi mengenai nilai eigen kedua dari matriks adjacency.
Biasanya, dalam teori grafik, sebagian besar konsep yang kami temui cukup sederhana untuk intuisi, tetapi dalam kasus ini, saya bahkan tidak dapat menemukan grafik seperti apa yang akan memiliki nilai eigen kedua yang sangat rendah, atau sangat tinggi.
Saya telah membaca pertanyaan serupa yang diajukan di sana-sini pada jaringan SE, tetapi mereka biasanya merujuk pada nilai eigen di berbagai bidang ( analisis multivarian , matriks jarak Euclidian , matriks korelasi ...).
Tapi tidak ada tentang partisi spektral dan teori grafik.

Dapatkah seseorang mencoba dan membagikan intuisi / pengalamannya tentang nilai eigen kedua ini dalam kasus grafik dan matriks kedekatan?

Nilai eigen kedua (dalam besaran) mengontrol laju konvergensi jalan acak pada grafik. Ini dijelaskan dalam banyak catatan kuliah, misalnya catatan kuliah Luca Trevisan . Secara kasar, jarak L2 ke keseragaman setelah $t$ langkah dapat dibatasi oleh $\lambda_2^t$ .

Tempat lain di mana nilai eigen kedua muncul adalah masalah klik yang ditanam . Titik awal adalah pengamatan bahwa acak $G(n,1/2)$ grafik berisi sebuah klik dari ukuran $2\log_2 n$ , tetapi algoritma serakah hanya menemukan sebuah klik dari ukuran $\log_2 n$ , dan tidak ada algoritma yang lebih baik efisien dikenal. (Algoritma serakah hanya mengambil simpul acak, membuang semua non-tetangga, dan mengulangi.)

Hal ini menunjukkan menanam sebuah kelompok besar di atas $G(n,1/2)$ . Pertanyaannya adalah: seberapa besar seharusnya klik itu, sehingga kita dapat menemukannya secara efisien. Jika kita menanam klik ukuran $C\sqrt{n\log n}$ , maka kita bisa mengidentifikasi simpul dari klik hanya dengan derajat mereka; tetapi metode ini hanya berfungsi untuk klik ukuran$\Omega(\sqrt{n\log n})$. Kita dapat meningkatkan ini menggunakan teknik spektral: jika kita menanam klik ukuran$C\sqrt{n}$ , makavektor eigen keduamengkodekan klik tersebut, seperti yangditunjukkan Alon, Krivelevich, dan Sudakovdalam sebuah makalah klasik.

Secara umum, beberapa vektor eigen pertama berguna untuk mempartisi grafik menjadi sejumlah kecil cluster. Lihat misalnya Bab 3 catatan kuliah Luca Trevisan , yang menggambarkan ketidaksetaraan Cheeger tingkat tinggi.

(Penafian: Jawaban ini adalah tentang nilai eigen dari grafik secara umum, bukan nilai eigen kedua secara khusus. Saya harap ini sangat membantu.)

Cara berpikir yang menarik tentang nilai eigen grafik $G = (V, E)$ adalah dengan mengambil ruang vektor $\mathbb{R}^n$ mana $n = |V|$dan mengidentifikasi setiap vektor dengan fungsi $f\colon V \to \mathbb{R}$ (yaitu, pelabelan titik). Vektor eigen dari matriks adjacency, kemudian, adalah elemen dari $f \in \mathbb{R}^n$ sehingga ada $\lambda \in \mathbb{R}$ (yaitu, nilai eigen) dengan $A f = \lambda f$ , $A$ menjadi matriks ketetanggaan dari $G$ . Catat itu$A f$ adalah vektor yang terkait dengan peta yang mengirimkan setiap simpul$v \in V$ ke$\sum_{u \in N(v)} f(u)$ ,$N(v)$ adalah himpunan tetangga (yaitu, simpul yang berdekatan dengan)$u$ . Oleh karena itu, dalam pengaturan ini, properti vektor e$f$ darisesuai dengan properti yangmenjumlahkan nilai fungsi(di bawah$f$ )tetangga dari simpul menghasilkan hasil yang sama dengan mengalikan nilai fungsi simpul dengan konstanta $\lambda$ .

Saya pikir untuk sebagian besar hal itu lebih produktif untuk melihat Laplacian dari grafik $G$ , yang terkait erat dengan matriks adjacency. Di sini Anda dapat menggunakannya untuk menghubungkan nilai eigen kedua dengan properti "lokal vs global" dari grafik.

Untuk mempermudah, mari kita anggap bahwa $G$ adalah $d$ -regular. Maka Laplacian yang dinormalisasi dari $G$ adalah $L= I - \frac1d A$, dengan$I$adalah$n\times n$identitas, dan$A$adalah matriks kedekatan. Yang menyenangkan tentang Laplacian adalah, menulis vektor sebagai fungsi$f: V\to \mathbb{R}$ seperti @dkaeae, dan menggunakan$\langle \cdot, \cdot \rangle$ untuk produk dalam biasa, kami memiliki ungkapan ini sangat bagus untuk bentuk kuadrat yang diberikan oleh$L$ :

$$\langle f, Lf\rangle = \frac{1}{d} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}.$$

Nilai eigen terbesar dari $A$ adalah $d$ , dan sesuai dengan nilai eigen terkecil dari $L$ , yaitu $0$ ; nilai eigen terbesar kedua $\lambda_2$ dari $A$ sesuai dengan nilai eigen terkecil kedua $L$ , yaitu $1 - \frac{\lambda_2}{d}$ . Dengan prinsipmin-max, kami punya

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f, f\rangle}:\sum_{v \in V}{f(v)} = 0, f \neq 0\right\}.$$

Perhatikan bahwa $\langle f, Lf\rangle$ tidak berubah ketika kita menggeser $f$ oleh konstan yang sama untuk setiap vertex. Jadi, secara ekivalen, Anda dapat mendefinisikan, untuk setiap $f:V \to \mathbb{R}$ , fungsi "terpusat"$f_0$ oleh$f_0(u) = f(u) - \frac{1}{n}\sum_{v \in V}{f(v)}$, dan tulis

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\langle f, Lf\rangle}{\langle f_0, f_0\rangle}: f \text{ not constant}\right\}.$$

Sekarang sedikit perhitungan menunjukkan bahwa $\langle f_0, f_0\rangle = \frac{1}{n}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}$, dan mengganti di atas dan membagi pembilang dan penyebut dengan$\frac{n}{2}$ , kami punya

$$1 - \frac{\lambda_2}{d}=\min\left\{\frac{\frac{2}{nd} \sum_{(u,v) \in E}{(f(u) - f(v))^2}}{\frac{2}{n^2}\sum_{\{u,v\}\in {V\choose 2}}{(f(u) - f(v))^2}}: f \text{ not constant}\right\}.$$

Ini artinya, jika kita menempatkan setiap titik $u$$G$$f(u)$$\frac{d}{d - \lambda_2}$$G$