Apakah bahasa bebas konteks dalam

20

Bahasa bebas konteks tidak ditutup di bawah pelengkap, kami tahu itu.

Sejauh yang saya mengerti, bahasa bebas konteks yang merupakan bagian dari $a^*b^*$ untuk beberapa huruf $a,b$ ditutup di bawah pelengkap (!?)

Inilah argumen saya. Setiap bahasa CF $L$ memiliki gambar Parikh semi-linear $\pi(L) = \{ (m,n) \mid a^mb^n \in L \}$ . Set semilinear ditutup dengan komplemen. Himpunan vektor yang mewakili himpunan semi-linier dapat dengan mudah diubah menjadi tata bahasa linier.

Pertanyaan. Apakah ada referensi yang mudah diakses tentang fakta ini?

Secara teknis bahasa-bahasa ini disebut dibatasi , yaitu, bagian dari $w_1^* \dots w_k^*$ untuk beberapa kata $w_1,\dots,w_k$ .

Motivasi saya untuk pertanyaan ini adalah dari pertanyaan baru-baru ini tentang konteks-kelayakan $\{ a^nb^m \mid n^2 \neq m \}$ . Its pelengkap dalam $a^*b^*$ tampaknya lebih mudah untuk menangani.

— Hendrik Jan
sumber

Sudahkah Anda memeriksa "Teori Matematika Bahasa Bebas Konteks" dari Ginsburg? Rupanya, Teorema 5.4.2 memberikan karakterisasi bahasa bebas konteks terbatas yang Anda maksud, dan saya yakin Ginsburg akan menyebutkan implikasi untuk melengkapi bahasa bebas konteks terbatas (dalam kasus dua dimensi).

— Yuval Filmus

12

Karakterisasi bahasa terikat-konteks bebas ini disebabkan oleh Ginsburg ("Teori Matematika Bahasa Bebas Konteks"), dan muncul sebagai Corollary 5.3.1 dalam bukunya. Untuk umum ada beberapa batasan pada set semilinear, tetapi untuk pembatasan ini selalu dipenuhi, dan dengan demikian mudah untuk menyimpulkan bahwa pelengkap bahasa seperti itu (dalam ) bebas konteks . $k$ $k \leq 2$ $w_1^* w_2^*$

Ginsburg menyebutkan implikasi ini dalam bukunya.

Konsuler 5.6.1 Jika dan adalah bahasa [bebas konteks], dan kata, maka adalah bahasa [bebas konteks]. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1\cap M_2$

Konsol 5.6.2 Jika dan adalah bahasa [bebas konteks], dan kata, maka dan adalah [bebas konteks] bahasa. $M_1 \subseteq w_1^*w_2^*$ $M_2$ $w_1$ $w_2$ $M_1 - M_2$ $M_2-M_1$

— Yuval Filmus
sumber

2

Bukti lain menggunakan karakterisasi berikut yang dibuktikan dalam jawaban ini :

Bahasa bebas konteks jika dapat didefinisikan dalam aritmatika Presburger. $\{ a^i b^j : (i,j) \in A \}$ $A$

Jelas adalah didefinisikan dalam Presburger IFF aritmatika adalah didefinisikan dalam Presburger aritmatika. $A$ $\overline{A}$

$L_i \subseteq a^*b^*$

— Yuval Filmus
sumber