Tugas nomor

Diberi angka sedemikian rupa sehingga apakah ada penetapan angka yang merupakan permutasi dari sedemikian rupa $k$ $A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$ $\sum\limits_{i=1}^k A_i = k(2k + 1)$ $i_1, i_2, ... , i_{2k}$ $1, 2, ... , 2k$

$i_1 + i_2 \leq A_1\\ i_3 + i_4 \leq A_2\\ .\\.\\.\\ i_{2k-1} + i_{2k} \leq A_k$

Saya tidak dapat menemukan algoritma yang efisien dan yang menyelesaikan masalah ini. Tampaknya menjadi masalah kombinatorial. Saya tidak dapat menemukan masalah NP-Complete yang sama. Apakah masalah ini terlihat seperti masalah NP-Complete yang diketahui atau dapatkah dipecahkan dengan algoritma polinomial?

np-complete decision-problem

— gprime
sumber

Sudahkah Anda membuat kemajuan dalam masalah ini?

— Yuval Filmus

Saya lupa menyebutkan bahwa

A_{1} \leq A_{2} \leq . . . \leq A_{k}

$A_1 \leq A_2 \leq ... \leq A_k$

— gprime

Terkait masalah , juga tanpa jawaban yang memuaskan. (Mungkin tidak jelas pada pandangan pertama bagaimana mereka terkait, tetapi jika , masalahnya setara dengan menemukan permutasi sehingga .

K = 2 N

$K=2N$

1 \dots 2 N

$1 \ldots 2N$

i_{2 a - 1} - i_{2 a} = A_{i}

$i_{2a-1} - i_{2a} = A_i$

— Peter Shor

Jawaban:

Masalah ini sangat lengkap dengan NP.

Misalkan semua aneh. Maka kita tahu bahwa karena adalah ganjil, salah satu dari dan adalah genap dan yang lainnya ganjil. Kita dapat mengasumsikan bahwa aneh dan adalah genap. Dengan membiarkan dan , kita dapat menunjukkan bahwa ini setara dengan meminta dua permutasi, dan , dari angka sehingga . $A_j$ $i_{2j-1} + i_{2j} = A_j$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $i_{2j-1}$ $i_{2j}$ $\pi_j = \frac{1}{2}(i_{2j-1}+1)$ $\sigma_j = \frac{1}{2}(i_{2j})$ $\pi$ $\sigma$ $1 \ldots n$ $\pi_j + \sigma_j = \frac{1}{2}(A_j+1)$

Masalah ini dikenal sebagai NP-complete; lihat masalah cstheory.se ini dan makalah W. Yu, H. Hoogeveen, dan JK Lenstra ini dirujuk dalam jawabannya.

— Peter Shor
sumber

Berikut ini adalah petunjuk untuk memulai: karena jumlah semua angka dari hingga adalah tepat , solusinya hanya mungkin jika faktanya , dan seterusnya. Jadi mengingat kita tahu , dan seterusnya. Juga, . $1$ $2k$ $k(2k+1)$ $i_1 + i_2 = A_1$ $i_3 + i_4 = A_2$ $i_1$ $i_2$ $3 \leq A_j \leq 4k-1$

— Yuval Filmus
sumber

Jadi bagaimana saya harus memilih

untuk memulai dengan? Saya tidak melihat solusinya. Tapi terima kasih untuk properti

i_{1}

$i_1$

3 \leq A_{j} \leq 4 k - 1

$3 \leq A_j \leq 4k -1$

— gprime

Jika

diurutkan, kita tahu

, dan sebagainya. Apakah kriteria ini, bersama-sama dengan

, cukup? Jika ya, mungkin ada algoritma sederhana untuk masalah ini.

A_{i}

$A_i$

3 \leq A_{1}

$3 \leq A_1$

10 \leq A_{1} + A_{2}

$10 \leq A_1 + A_2$

21 \leq A_{1} + A_{2} + A_{3}

$21 \leq A_1 + A_2 + A_3$

\sum_{i} A_{i} = k (2 k + 1)

$\sum_i A_i = k(2k+1)$

— Peter Shor

Ya, mereka disortir. Saya akan mencoba menggunakan ini ...

— gprime

@PeterShor Anda juga harus mempertimbangkan batasan dari arah yang berlawanan, yaitu

, dan seterusnya dan seterusnya. Melihat masalah secara anekdot, tampaknya algoritma serakah yang sederhana harus menemukan solusi ketika ada, dan gagal tepat ketika tidak ada - tetapi saya mengalami kesulitan untuk membuktikannya.

4 n - 1 \geq A_{n}, 8 n - 6 \geq A_{n - 1} + A_{n}

$4n-1 \geq A_n, 8n-6 \geq A_{n-1}+A_{n}$

— torquestomp

@torquestomp: Anda meningkatkan poin yang bagus. Sebenarnya, batas dari satu arah juga menyiratkan batas dari yang lain, tetapi itu sama sekali tidak jelas pada pandangan pertama. Saya melihat masalah yang sama, dan tidak dapat menemukan algoritma yang sederhana (tetapi juga tampak seperti analog dari kriteria ini memang cukup).

— Peter Shor

Ini masalah yang cocok, dan bisa diselesaikan dengan menggunakan algoritma Edmond. Lihat wikipedia

— Akan
sumber

Gagasan Stackexchange adalah untuk memiliki T&J yang selengkap mungkin. Apakah Anda dapat memperluas jawaban Anda menjadi lebih dari sekadar tautan ke wikipedia?

— Luke Mathies

Bisakah Anda menguraikan? Saya gagal melihat bagaimana saya dapat menggunakan algoritma itu untuk menyelesaikan pertanyaan saya.

— gprime

Sebenarnya, bagi saya sepertinya kasus khusus pencocokan 3, yang NP-lengkap. Ini tidak berarti bahwa masalah OP adalah NP-complete.

— Peter Shor

Mungkinkah itu pencocokan bipartit? Saya akan melihat ke dalam 3-matching untuk melihat apakah saya bisa mengetahuinya. Terima kasih!

— gprime