Pengkodean batasan 1-dari-n untuk pemecah SAT


25

Saya menggunakan pemecah SAT untuk menyandikan masalah, dan sebagai bagian dari contoh SAT, saya memiliki variabel boolean x1,x2,,xn mana dimaksudkan bahwa salah satu dari ini harus benar dan sisanya harus salah. (Saya terkadang melihat ini digambarkan sebagai pengkodean "satu-panas".)

Saya ingin menyandikan batasan "tepat satu dari x1,,xn harus benar" di SAT. Apa cara terbaik untuk menyandikan batasan ini, untuk membuat pemecah SAT berjalan seefisien mungkin?

Saya dapat melihat banyak cara untuk menyandikan batasan ini:

  • Kendala berpasangan. Saya dapat menambahkan batasan berpasangan ¬xi¬xj untuk semua i,j untuk memastikan bahwa paling banyak satu xi adalah benar, dan kemudian menambahkan x1x2xn untuk memastikan bahwa setidaknya satu benar.

    Ini menambahkan Θ(n2) klausa dan tidak ada variabel boolean tambahan.

  • Pengkodean biner. Aku bisa memperkenalkan lgn variabel boolean baru i1,i2,,ilgn untuk mewakili (dalam biner) integer i sehingga 1in (menambahkan beberapa kendala boolean untuk memastikan bahwa i berada dalam kisaran yang diinginkan ). Lalu, saya dapat menambahkan kendala menegakkan bahwa xi adalah pohon dan bahwa semua lainnya xj 's adalah palsu. Dengan kata lain, untuk setiap j , kami menambahkan klausa yang menyatakan bahwa i=jxj .

    Ini menambahkan Θ(nlgn) klausa dan saya tidak tahu berapa banyak variabel boolean tambahan.

  • Hitung jumlah nilai sebenarnya. Saya dapat mengimplementasikan pohon rangkaian boolean adder dan mensyaratkan bahwa x1+x2++xn=1 , memperlakukan masing-masing xi sebagai 0 atau 1 sebagai ganti false atau true, dan menggunakan transformasi Tseitin untuk mengubah sirkuit ke SAT klausa. Pohon setengah-adders sudah mencukupi: membatasi output carry masing-masing setengah-penambah menjadi 0, dan membatasi output akhir dari setengah-penambah akhir di pohon menjadi 1. Pohon dapat dipilih dari segala bentuk ( pohon biner seimbang, atau tidak seimbang, atau apa pun).

    Ini dapat dilakukan di gerbang dan dengan demikian menambahkan Θ ( n ) klausa dan Θ ( n ) variabel boolean baru.Θ(n)Θ(n)Θ(n)

    Kasus khusus dari pendekatan ini adalah untuk memperkenalkan variabel boolean , dengan gagasan bahwa y i harus berisi nilai x 1x 2x i . Maksud ini dapat ditegakkan dengan menambahkan klausa y i¬ x i , y i¬ y i - 1 , dan ¬ y ix iy i -y1,,ynyix1x2xiyi¬xiyi¬yi1 (di mana kami memperlakukan y 0 sebagai sinonim untuk false) untuki=1,,n. Selanjutnya, kita dapat menambahkan batasan¬ y i¬ x i + 1 untuki=1,2,,n-1. Ini pada dasarnya setara dengan transformasi Tseitin dari pohon setengah-penambah, di mana pohon tersebut memiliki bentuk yang tidak seimbang secara maksimal.¬yixiyi1y0i=1,,n¬yi¬xi+1i=1,2,,n1

  • Jaringan kupu-kupu. Saya dapat membangun jaringan kupu - kupu pada bit, membatasi input n- bit menjadi 000 01 , membatasi output n- bit menjadi x 1 x 2x n , dan memperlakukan setiap gerbang kupu-kupu 2-bit sebagai gerbang independen yang bertukar atau tidak menukar inputnya dengan keputusan yang harus dilakukan berdasarkan variabel boolean baru yang dibiarkan tidak dibatasi. Lalu, saya bisa menerapkan transformasi Tseitin untuk mengubah rangkaian ke klausa SAT.nn00001nx1x2xn

    Ini membutuhkan gerbang dan dengan demikian menambahkan Θ ( n lg n ) klausa dan Θ ( n lg n ) variabel boolean baru.Θ(nlgn)Θ(nlgn)Θ(nlgn)

Apakah ada metode lain yang saya abaikan? Yang mana yang harus saya gunakan? Adakah yang menguji ini atau mencobanya secara eksperimental, atau adakah yang punya pengalaman dengan semua ini? Apakah jumlah klausa dan / atau jumlah variabel boolean baru metrik stand-in yang baik untuk memperkirakan dampak ini pada kinerja pemecah SAT, atau jika tidak, metrik apa yang akan Anda gunakan?


Saya hanya melihat bahwa jawaban ini memiliki beberapa referensi tentang menegakkan kendala kardinalitas untuk SAT, yaitu, menegakkan kendala yang tepat keluar dari n variabel adalah benar. Jadi, pertanyaan saya sampai pada kasus khusus di mana k = 1 . Mungkin literatur tentang batasan kardinalitas akan membantu menjelaskan pertanyaan saya.knk=1


Sebagian besar pemecah SAT modern mendukung klausa kardinalitas dan kendala khusus lainnya (non-CNF).
Dávid Horváth

Jawaban:


12

Untuk kasus khusus k dari n variabel true di mana k = 1, ada pengkodean variabel komandan seperti yang dijelaskan dalam Pengkodean CNF yang Efisien untuk Memilih Objek 1 ke N oleh Klieber dan Kwon. Sederhana: Bagilah variabel menjadi kelompok-kelompok kecil dan tambahkan klausa yang menyebabkan status variabel komandan menyiratkan bahwa sekelompok variabel semuanya salah atau semuanya salah. Kemudian secara rekursif menerapkan algoritma yang sama untuk variabel komandan. Pada akhir proses, tuntutan bahwa salah satu dari segelintir variabel komandan akhir benar. Hasilnya adalah O (n) klausa baru dan O (n) variabel baru.

Mengingat keberadaan dua literal yang ditonton dalam pemecah berbasis DPLL, saya pikir pertumbuhan klausa O (n) adalah keuntungan yang menentukan atas skema pengkodean yang akan menambah lebih banyak klausa.


2
Jika "kelompok kecil" memiliki ukuran dua, maka ini hanya penambahan biner, di mana "komandan" adalah bit hasil, dan carry dinyatakan salah. Dilakukan secara rekursif, metode ini sepenuhnya umum (berfungsi untuk 1 dari N) dan memang praktis layak.
d8d0d65b3f7cf42

3

Sebuah makalah karya Magnus Björk menjelaskan dua teknik yang layak untuk dicoba.

Untuk 1-out-of- , seseorang dapat menggunakan pengkodean satu-panas dan biner secara bersamaan. Jadi, kita memiliki x 1 , ... , x n sebagai pengkodean satu-panas, dan y 1 , ... , y b sebagai pengkodean biner, di mana b = lg n . Kita dapat mengkodekan batasan "setidaknya satu" dengan mudah, dalam satu klausa tunggal: ( x 1nx1,,xny1,,ybb=lgn . Kita juga bisa memaksa dua pengkodean agar konsisten dengan 2 lg n(x1xn)2lgnklausa: kita hanya menambahkan atau x ixi¬yj , berdasarkan apakahbit j dari pengkodean biner dari i adalah 0 atau 1. Akhirnya, batasan "paling banyak" mengikuti secara otomatis. Ini juga memungkinkan sisa instance SAT untuk menggunakan pengkodean mana pun yang lebih nyaman.xiyjji

knx1,,xny1,,ynykyk+1O(nlg2n)O(nlg2n)

Kertas itu

Magnus Björk. Teknik Penyandian SAT yang Berhasil . 25 Juli 2009.

nkn

Alan M. Frisch, Paul A. Giannaros. Pengodean SAT dari At-Most-k Constraint: Some Old, Some New, Some Fast, Some Slow . ModRef 2010.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.