Pemisahan eksponensial antara NFA dan DFA di hadapan serikat pekerja

Baru-baru ini sebuah pertanyaan menarik diajukan dan kemudian dihapus.

Untuk bahasa biasa $L$ , kompleksitas DFA -nya adalah ukuran DFA minimal yang menerimanya, dan kompleksitas NFA -nya adalah ukuran NFA minimal yang menerimanya. Sudah diketahui bahwa ada pemisahan eksponensial antara dua kompleksitas, setidaknya ketika ukuran alfabet tidak terikat. Memang, pertimbangkan bahasa $L_n$ atas alfabet $\{1,\ldots,n\}$ terdiri dari semua kata yang tidak mengandung semua simbol. Menggunakan teorema Myhill-Nerode mudah untuk menghitung kompleksitas DFA $2^n$ . Di sisi lain, kompleksitas NFA hanya $n$ (jika beberapa negara awal diperbolehkan, jika tidak itu adalah ). $n+1$

Pertanyaannya dihapus menyangkut DFA meliputi kompleksitas dari bahasa, yang merupakan minimal sehingga dapat ditulis sebagai (tidak harus saling lepas) serikat bahasa kompleksitas DFA paling . DFA yang mencakup kompleksitas hanya . $C$ $L$ $C$ $L_n$ $2$

Apakah ada pemisahan eksponensial antara kompleksitas NFA dan kompleksitas DFA?

regular-languages finite-automata

— Yuval Filmus
sumber

Pertimbangkan bahasa , di mana adalah simbol baru. Kompleksitas NFA dari adalah . Kami akan menunjukkan bahwa kompleksitas penutupan DFA-nya adalah . $M_n = \epsilon +(L_n \#)^*L_n$ $\#$ $M_n$ $n$ $2^n$

Mari menjadi DFA menerima beberapa bahasa , dengan fungsi transisi . Panggil negara layak jika ada beberapa kata sehingga adalah negara penerima. Untuk dua keadaan non-kegagalan , misalkan $A$ $L(A) \subseteq M_n$ $q_A$ $s$ $w$ $q_A(s,w)$ $s,t$ Tidak sulit untuk memeriksa bahwa setiap kata dapat ditulis sebagai mana untuk beberapa viable .

A_{s, t} = {w \in (1 + \dots + n)^{*} : q_{A} (s, w) = t} .

$A_{s,t} = \{ w \in (1+\cdots+n)^* : q_A(s,w) = t \}.$

w \in L (A)

$w \in L(A)$

w = w_{1} # \dots # w_{l}

$w = w_1\# \cdots \#w_l$

w_{i} \in A_{s_{i}, t_{i}}

$w_i \in A_{s_i,t_i}$

s_{i}, t_{i}

$s_i,t_i$

Misalkan , di mana setiap adalah DFA. Biarkan menjadi kisi yang dihasilkan oleh semua bahasa . Kita dapat melihat sebagai bahasa atas , ruang di antara dua simbol yang terkait dengan . Di bawah sudut pandang ini, $M_n = \bigcup_{i=1}^N L(A^i)$ $A^i$ $P$ $A^i_{s,t}$ $L(A^i)$ $L_P(A^i)$ $P^*$ $\#$ $M_n$ sesuai dengan . $P^*$

Sebut universal jika untuk beberapa itu adalah kasus bahwa untuk semua ada sehingga . Kami mengklaim bahwa beberapa adalah universal. Kalau tidak, setiap mengandung paling banyak $L_P(A^i)$ $x \in P^*$ $y \in P$ $z \in P^*$ $xyz \in L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ $L_P(A^i)$ kata panjang . Secara total, harus mengandung semua kata-kata panjang , maka , yang dilanggar cukup besar . $(|P|-1)^l$ $l$ $L_P(A^i)$ $|P|^l$ $l$ $|P|^l \leq N (|P|-1)^l$ $l$

$L_P(A^i)$ $A = A^i$ $x' \in P^*$ $x \in M_n$ $y \in L_n$ $z_y \in M_n$ $x\#y\#z_y \in L(A_i)$

$S \subseteq \{1,\ldots,n\}$ $y_S$ $S$ $x\#y_S$ $A$ $S \neq T$ $a \in S \setminus T$ $x\#y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \in L(A)$ while $x\#y_S y_{\{1,\ldots,n\} - a} \# z_{y_T y_{\{1,\ldots,n\} - a}} \notin M_n$ . Therefore $A$ must have a least $2^n$ states.

— Yuval Filmus
sumber