MST: Kompleksitas algoritma Prim, mengapa tidak ?

Menurut CLRS, algoritma Prim diimplementasikan seperti di bawah ini -

$\mathtt{\text{MST-PRIM}}(G,w,r)$

• untuk setiap lakukan$u \in V[G]$
  
  • $\mathtt{\text{key}}[u] \leftarrow \infty$
  • $\pi[u] \leftarrow \mathtt{\text{NIL}}$
• $\mathtt{\text{key}}[r] \leftarrow 0$
• $Q \leftarrow V[G]$
• sementara lakukan // ...$Q \ne \emptyset$$O(V)$
  • $u$ $\leftarrow$ $\mathtt{\text{EXTRACT-MIN}}(u)$ // ...$O(\lg V)$
    
    • untuk setiap do // ...$v \in \mathtt{\text{adj}}[u]$$O(E)$
      
      • jika dan$v \in Q$$w(u,v) \gt \mathtt{\text{key}}[v]$
        • lalu$\pi[v] \leftarrow u$
          • $\mathtt{\text{key}} \leftarrow w(u,v)$ // ...$\mathtt{\text{DECREASE-KEY}}$$O(\lg V)$

Buku itu mengatakan kompleksitas totalnya adalah . Namun, apa yang saya pahami adalah bahwa loop dalam dengan operasi akan dikenakan biaya , dan loop luar mencakup baik loop dan dalam , sehingga kompleksitas total harus .$O(V \lg V + E \lg V) \approx O(E \lg V)$forDECREASE-KEY$O(E \lg V)$whileEXTRACT-MINfor$O(V (\lg V + E \lg V)) = O(V \lg V + EV \lg V) \approx O(EV \lg V)$

Mengapa analisis kompleksitas tidak dilakukan seperti itu? dan Apa yang salah dengan formulasi saya?

Kompleksitas diturunkan sebagai berikut. Fase inisialisasi menghabiskan . The loop dieksekusiwaktu. The lingkaran bersarang dalam loop dieksekusi kali. Akhirnya, lemma handshaking menyiratkan bahwa ada implisit DECREASE-KEY. Karenanya, kerumitannya adalah: .$O(V)$$while$$\left| V \right|$$for$$while$$degree(u)$$\Theta(E)$$\Theta(V)* T_{EXTRACT-MIN} + \Theta(E) * T_{DECREASE-KEY}$

Kompleksitas aktual tergantung pada struktur data yang sebenarnya digunakan dalam algoritma. Menggunakan array, , kompleksitas adalah dalam kasus terburuk.$T_{EXTRACT-MIN} = O(V), T_{DECREASE-KEY} = O(1)$$O(V^2)$

Menggunakan tumpukan biner, , kompleksitasnya adalah dalam kasus terburuk. Inilah sebabnya: karena grafik terhubung, maka , dan paling banyak (kasus terburuk, untuk grafik padat). Mungkin, Anda melewatkan poin ini.$T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V), T_{DECREASE-KEY} = O(\log V)$$O(E \log V)$$\left| E \right| \ge \left| V \right| - 1$$E$$V^2$

Menggunakan Fibonacci Heap, diamortisasi, diamortisasi, kompleksitasnya adalah dalam kasus terburuk.$T_{EXTRACT-MIN} = O(\log V)$$T_{DECREASE-KEY} = O(1)$$O(E + V \log V)$

Ide Anda sepertinya benar. Mari kita ambil kompleksitas sebagai . Kemudian perhatikan bahwa di bagian dalam untuk loop, kita benar-benar melewati semua simpul, dan bukan tepi, jadi mari kita modifikasi sedikit ke , yang berarti . Tetapi untuk analisis kasus terburuk (grafik padat), kira-kira sama dengan jumlah sisi, , memberikan tetapi karena , maka .$V(\lg v + E\lg v)$$V(\lg v + V\lg v)$$V\lg v + V^2\lg v$$V^2$$E$$V\lg v + E\lg v = (V+E)\lg v$$V \ll E$$E\lg v$