Menemukan kasus tumpukan terburuk

Saya sedang mengerjakan masalah H dalam ACM ICPC 2004–2005 kontes Eropa Timur Laut .

Masalahnya pada dasarnya adalah untuk menemukan kasus terburuk yang menghasilkan jumlah maksimal dari pertukaran dalam algoritma (sift down) untuk membangun heap.

• Input: File input berisi ( ).$n$$1 \le n \le 50{,}000$
• Output: Output array yang berisi angka integer yang berbeda dari ke , sedemikian rupa sehingga merupakan heap, dan ketika mengonversinya menjadi array yang diurutkan, jumlah total pertukaran dalam operasi pengayakan maksimal mungkin.$n$$1$$n$

Input sampel: 6
Output yang sesuai:6 5 3 2 4 1

Dan dasar-dasar output:

[2, 1]   
[3, 2, 1]   
[4, 3, 1, 2] 
[5, 4, 3, 2, 1] 
[6, 5, 3, 4, 1, 2]

Diberikan kasus terburuk untuk $n$, kita dapat membuat kasus terburuk untuk $n+1$ sebagai berikut: kami melakukan 'siklus swap' sebagai berikut: kami ambil $n+1$, masukkan $a[0]$, dan kami bertukar $a[0]$ dengan elemen maksimal anak-anaknya, yaitu $a[1]$ atau $a[2]$, yang kami tukar lagi dengan elemen maksimum anak-anaknya dan seterusnya, hingga kami meninggalkan $n$tumpukan elemen, pada titik mana kita meletakkan elemen terakhir di $n+1$posisi ke-5.

Contoh: kasus terburuk untuk $n=5$ adalah $[5, 4, 3, 2, 1]$. Kami bertukar dalam 6 yang menciptakan tumpukan$[\textbf{6}, \textbf{5}, 3, \textbf{4}, 1]$, setelah itu kita berakhir dengan 2, yang kita masukkan di akhir: $[\textbf{6}, \textbf{5}, 3, \textbf{4}, 1, \textbf{2}]$.

Metode di atas bekerja dengan induksi: kita mulai dari hasil terburuk untuk $n-1$ elemen dan melakukan operasi sift-down secara terbalik, memaksimalkan jumlah swap yang harus dilakukan ($\lfloor\log(n)\rfloor$swap). Anda tidak dapat melakukan lebih banyak swap daripada ini, jadi Anda memaksimalkan jumlah swap setelah operasi ekstrak-min pertama, setelah itu Anda dibiarkan dengan kasus terburuk untuk$n-1$elemen untuk operasi ekstrak-min berikutnya. Ini menyiratkan bahwa jumlah swap memang maksimal.

Perhatikan bahwa metode ini memberikan hasil yang berbeda dari yang Anda dapatkan:

[1]
[2, 1]
[3, 2, 1]
[4, 3, 1, 2]
[5, 4, 1, 3, 2]
[6, 5, 1, 4, 2, 3]
[7, 6, 1, 5, 2, 4, 3]
[8, 7, 1, 6, 2, 4, 3, 5]
[9, 8, 1, 7, 2, 4, 3, 6, 5]
[10, 9, 1, 8, 2, 4, 3, 7, 5 ,6]

Namun, kedua solusi itu benar:

[5, 4, 1, 3, 2]
[2, 4, 1, 3| 5]
[4, 2, 1, 3| 5]
[4, 3, 1, 2| 5]
[2, 3, 1| 4, 5]
[3, 2, 1| 4, 5]

[5, 4, 3, 2, 1]
[1, 4, 3, 2| 5]
[4, 1, 3, 2| 5]
[4, 2, 3, 1| 5]
[1, 2, 3| 4, 5]
[3, 2, 1| 4, 5]

[6, 5, 1, 4, 2, 3]
[3, 5, 1, 4, 2| 6]
[5, 3, 1, 4, 2| 6]
[5, 4, 1, 3, 2| 6]
[2, 4, 1, 3| 5, 6]
[4, 2, 1, 3| 5, 6]
[4, 3, 1, 2| 5, 6]
[2, 3, 1| 4, 5, 6]
[3, 2, 1| 4, 5, 6]

[6, 5, 3, 4, 1, 2]
[2, 5, 3, 4, 1| 6]
[5, 2, 3, 4, 1| 6]
[5, 4, 3, 2, 1| 6]
[1, 4, 3, 2| 5, 6]
[4, 1, 3, 2| 5, 6]
[4, 2, 3, 1| 5, 6]
[1, 2, 3| 4, 5, 6]
[3, 2, 1| 4, 5, 6]