Suatu kondisi yang cukup dan perlu tentang keteraturan suatu bahasa

Manakah dari pernyataan berikut ini yang benar?

1. kondisi yang memadai dan perlu tentang keteraturan bahasa ada tetapi belum ditemukan.

2. Tidak ada syarat yang cukup dan perlu tentang keteraturan suatu bahasa.

3. Memompa lemma adalah kondisi yang diperlukan untuk ketidakteraturan bahasa.

4. Memompa lemma adalah kondisi yang cukup untuk ketidakteraturan suatu bahasa.

Saya tahu # (4) benar dan # (3) salah karena "kebalikan dari pernyataan ini tidak benar: bahasa yang memenuhi persyaratan ini mungkin masih non-reguler", tetapi apa yang bisa dikatakan tentang (1) dan (2)

Berikut adalah beberapa syarat yang diperlukan dan cukup untuk suatu bahasa menjadi teratur.

Dalil. Biarkan . Kondisi berikut ini setara:$L\subseteq\Sigma^*$

• dihasilkan oleh ekspresi reguler (yaitu, definisi bahasa reguler).$L$
• dikenali oleh otomat terbatas nondeterministik (Kleene).$L$
• dikenali oleh otomat terbatas nondeterministis tanpa ε -transisi.$L$$\varepsilon$
• dikenali oleh otomat terbatas deterministik (Scott dan Rabin).$L$
• dihasilkan oleh tata bahasa ( N , Σ , P , S ) , di mana N adalah himpunan bagian terbatas dari Σ ∗ (Frazier dan Page).$L$$(N,\Sigma,P,S)$$N$$\Sigma^*$
• dihasilkan oleh tata bahasa reguler bebas konteks kiri (resp. Kanan).$L$
• Indeks hubungan Nerode adalah terbatas (Anil Nerode, Transformasi otomat linear , 1958). Ini secara luas (dan salah) dikenal sebagai teorema Myhill-Nerode. ≡ L adalah relasi yang digunakan untuk membangun DFA minimal bahasa reguler.$\equiv_L$$\equiv_L$
• Indeks hubungan Myhill adalah terbatas (John Myhill, Finite Automata dan Representasi Peristiwa , 1957). ∼ $\sim_L$$\sim_L$ adalah relasi yang digunakan untuk membangun mono sintaksis dari bahasa yang arbitrer.
• Monoid sintaksis adalah terbatas (konsekuensi dari hasil Myhill). Kami mencatat di sini bahwa monoid sintaksis, selain didefinisikan dengan menggunakan relasi ∼ L , dapat didefinisikan sebagai monoid minimal (dalam ukuran) yang mengakui L sebagai preimage dari homomorfisme.$L$$\sim_L$$L$
• dapat dikenali oleh Mesin Turing hanya baca (sepele).$L$
• dapat didefinisikan dengan rumus dalam logika urutan kedua Monadic atas string (Büchi).$L$

Jika suatu bahasa tidak memenuhi kondisi lemma pemompaan untuk bahasa reguler , maka itu tidak teratur. Ini berarti memompa lemma adalah kondisi yang cukup untuk ketidakteraturan suatu bahasa.

Singkatnya, pernyataan 1, 2 dan 3 salah, sedangkan pernyataan 4 benar, seperti yang Anda sebutkan.

Cukuplah (dan perlu) untuk menunjukkan keberadaan DFA, NFA, atau ekspresi reguler untuk membuktikan bahwa bahasa itu teratur, yang membantah (1) dan (2). Untuk menunjukkan bahwa suatu bahasa tidak teratur diperlukan untuk menunjukkan bahwa DFA, NFA atau ekspresi reguler tidak ada.

Lemma pemompaan adalah alat yang berguna untuk menunjukkan (mungkin dengan kontradiksi) bahwa bahasa tidak teratur, dengan menunjukkan bahwa tidak ada DFA.

$L$$L$

Kondisi ini sebenarnya tidak membuatnya mudah untuk membuktikan ketidakteraturan bahasa. Saya tidak mengetahui adanya kondisi yang mudah diperiksa yang selalu membuktikan ketidakteraturan bahasa yang tidak teratur.

Ada dua 'tes' lagi yang dapat membuktikan non-keteraturan suatu bahasa (meskipun mereka mungkin tidak berfungsi): Anda dapat mencoba memberikan beberapa bahasa reguler sedemikian rupa sehingga penyatuan / persimpangan / perbedaan / penggabungan / hasil / nonientalnya ( ada lebih banyak operasi seperti ini), dan Anda dapat mencoba menghitung berapa banyak kata yang dihasilkan dan memeriksa apakah itu bertentangan dengan ekspresi untuk jumlah kata dalam bahasa biasa (seperti dapat ditemukan di halaman Wikipedia yang Anda tautkan).

Ada hubungan yang luar biasa antara teori bahasa formal dan seri kekuatan formal yang dibuktikan oleh Chomsky dan Schützenberger [CS63] . Dalam bentuk yang ditemukan di [SS78] Bab. II, Teorema 5.1

$L$$\mathbb{K}$$\mathrm{char}(L)$$\mathbb{K}$

$\mathrm{char}(L)$ suatu bahasa dan ternyata tidak rasional, itu tidak bisa menjadi bahasa biasa. Jadi Anda tidak harus menggunakan lemma pemompaan sepanjang waktu. Dengan bantuan sistem aljabar komputer, pemeriksaan semacam itu tidak terlalu sulit dilakukan.

[SS78] Arto Salomaa dan Matti Soittola. Aspek Automata-Theoretic dari Power Series Resmi. Springer-Verlag, New York, 1978.

[CS63] Noam Chomsky dan Marcel P. Schützenberger. Teori aljabar bahasa bebas konteks. Dalam P. Braffort dan D. Hirschberg, editor, Pemrograman Komputer dan Bahasa Formal, halaman 118–161. Belanda Utara, 1963.

$I_{L}$$x$$y$$x I_{L} y$

1. $z_{x}$$xz_{x} \in L$$yz_{x} \in L$
2. $z_{y}$$yz_{y} \in L$$xz_{y} \in L$

$I_{L}$$L$

$I_{L}$