Apa algoritma tercepat untuk perkalian dua angka n-digit?

Saya ingin tahu algoritma mana yang tercepat untuk perkalian dua angka n-digit? Kompleksitas ruang bisa santai di sini!

Sampai sekarang algoritma Fürer oleh Martin Fürer memiliki kompleksitas waktu yang menggunakan transformasi Fourier atas bilangan kompleks. Algoritma-nya sebenarnya didasarkan pada algoritma Schönhage dan Strassen yang memiliki kompleksitas waktu Θ ( n log ( n ) log ( log ( n ) ) $n \log(n)2^{Θ(log*(n))}$$Θ(n\log(n)\log(\log(n)))$

Algoritma lain yang lebih cepat daripada algoritma Multiplikasi Sekolah Tingkat adalah perkalian Karatsuba yang memiliki kompleksitas waktu $O(n^{\log_{2}3})$ ≈ $O(n^{1.585})$ dan algoritma Toom 3 yang memiliki kompleksitas waktu dari $Θ(n^{1.465})$

Perhatikan bahwa ini adalah algoritma cepat. Menemukan algoritma tercepat untuk perkalian adalah masalah terbuka dalam Ilmu Komputer.

Referensi :

1. Algoritma Fürer
2. Multiplikasi berbasis FFT dalam jumlah besar
3. Transformasi Fourier Cepat
4. Perbanyakan Toom – Cook
5. Algoritma Schönhage – Strassen
6. Algoritma Karatsuba

Perhatikan bahwa algoritma FFT yang dicantumkan oleh avi menambahkan konstanta besar, menjadikannya tidak praktis untuk angka yang kurang dari ribuan + bit.

Selain daftar itu, ada beberapa algoritma menarik lainnya, dan pertanyaan terbuka:

• Penggandaan waktu linier pada model RAM (dengan prakomputasi)
• Perkalian dengan sebuah Konstanta adalah Sublinear ( PDF ) - ini berarti jumlah tambahan sublinear yang didapat untuk totalkompleksitas. Ini pada dasarnya setara dengan perkalian panjang (di mana Anda menggeser / menambah berdasarkan angkas di angka yang lebih rendah), yaitu, tetapi denganPercepatan.1O(n2)O(logn$\mathcal{O}\left(\frac {n^2} {\log n} \right)$$1$$\mathcal{O}\left({n^2} \right)$$\mathcal{O}\left(\log n\right)$
• Sistem angka residu dan representasi angka lainnya; perkalian adalah waktu yang hampir linier. Kelemahannya adalah, perkaliannya adalah modular dan {deteksi meluap, paritas, perbandingan magnitudo} semuanya sekeras atau hampir sekeras mengubah angka kembali ke representasi biner atau serupa dan melakukan perbandingan tradisional; konversi ini setidaknya sama buruknya dengan perkalian tradisional (saat ini, AFAIK).
  • Representasi lain:
    • [ Representasi logaritmik ]: multiplikasi adalah penambahan representasi logaritmik. Contoh: $$16 \times 32 = 2^{\log_2 16 + \log_2 32} = 2^{4+5} = 2^{9}$$
      • Kelemahannya adalah konversi ke dan dari representasi logaritmik bisa sekeras penggandaan atau lebih sulit, representasi juga bisa fraksional / irasional / perkiraan dll. Operasi lain (tambahan?) Cenderung lebih sulit.
    • Representasi kanonik : mewakili angka sebagai eksponen faktorisasi utama. Perkalian adalah penambahan eksponen. Contoh: $$36 \times 48 = 3^2\cdot 5^1\times 2^{2}\cdot 3^1\cdot 4^1 = {2^2}\cdot {3^2} \cdot 4^1 \cdot 5^1$$
    • Kelemahannya adalah, membutuhkan faktor, atau faktorisasi, masalah yang jauh lebih sulit daripada perkalian. Operasi lain seperti penambahan kemungkinan sangat sulit.