Ruang keadaan yang bisa dicapai dari 8-puzzle

Saya baru saja mulai mempelajari Kecerdasan Buatan dan bertanya-tanya mengapa ruang keadaan yang dapat dicapai dari 8-puzzle adalah $9!/2$ . Saya melihat bahwa jumlah permutasi ubin adalah $9!$ tetapi tidak segera jelas mengapa setengah dari keadaan yang mungkin dari teka-teki itu tidak dapat dijangkau pada keadaan tertentu. Adakah yang bisa menjelaskan?

Gambar 8-puzzle untuk referensi dengan konfigurasi acak di sebelah kiri dan status sasaran di sebelah kanan:

Contoh 8-puzzle

artificial-intelligence

— Cam
sumber

Karena grafik keadaan terdiri dari dua komponen yang terputus dengan ukuran yang sama (jumlah total inversi permutasi dari setiap state adalah modulo 2 invarian, sehingga dua state yang memiliki jumlah total inversi permutasi aneh dan bahkan tidak terhubung); Saya tidak menemukan contoh yang dijelaskan dengan baik, tetapi presentasi ini harus cukup jelas untuk membuat Anda memahaminya (kecuali kesalahan ketik "terhubung" yang harus diganti dengan "terputus")

— Vor

@ Atau berubah menjadi jawaban?

— Yuval Filmus

Ini merupakan perluasan dari presentasi ini .

Karena grafik keadaan terdiri dari dua komponen yang terputus dengan ukuran yang sama. Tanpa kehilangan sifat umum kita dapat mengasumsikan bahwa negara target adalah . $1\;2\;3\;...\;15\;\Box$

 1  2  3  4
 5  6  7  8
 9 10 11 12
13 14 15  *

Mengingat keadaan suatu inversi permutasi adalah genteng yang ditempatkan setelah tapi ; ini terjadi ketika (a) adalah di baris yang sama dari , tapi di kanan, atau (b) adalah berturut-turut lebih rendah: $S$ $T_i$ $T_j$ $i < j$ $T_i$ $T_j$ $T_i$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 3  .  .  1      .  7  .  .
 .  .  .  .      .  5  .  .
 .  .  .  .      .  .  .  .
    (a)             (b)

Kami mendefinisikan sebagai jumlah ubin , yang muncul setelah . Misalnya, di negara bagian: $N_j$ $T_i$ $i < j$ $T_j$

 1  2  3  4
 5 10  7  8
 9  6 11 12
13 14 15  *

kami memiliki bahwa setelah ada satu ubin ( ) yang seharusnya sebelum itu, jadi ; setelah ada empat ubin ( ) yang seharusnya ada sebelum itu, jadi . $T_{7}$ $T_6$ $N_7=1$ $T_{10}$ $T_7, T_8, T_9, T_6$ $N_{10}=4$

Misalkan adalah jumlah semua dan nomor baris dari ubin kosong $N$ $N_i$ $T_{\Box}$

N = \sum_{i = 1}^{15} N_{i} + r o w (T_{◻})

$N = \sum_{i=1}^{15} N_i + row(T_{\Box})$

Dalam contoh di atas kita memiliki: $N = N_7 + N_8 + N_9 + N_{10} + row(T_{\Box}) = 1 + 1 +1 + 4 + 4=11$

$N$ $N$

Sebagai contoh:

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  2  3      .  .  *  3
 4  5  *  .      4  5  2  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 3 \mbox{ (2 is placed after 3,4,5)} - 1 \mbox{ (empty tile is moved up)} = N + 2$

 .  .  .  .      .  .  .  .
 .  .  *  4      .  .  3  4
 2  5  3  .      2  5  *  .
 .  .  .  .      .  .  .  .

$N' = N + 1 \mbox{ (2 is placed after 3)} - 2 \mbox{ (4,5 are placed after 3)} + 1 \mbox{ (empty tile is moved down)} = N$

$N \bmod 2$

Kita dapat menyimpulkan bahwa ruang keadaan dibagi menjadi dua bagian terputus , satu memiliki dan yang lainnya memiliki . $N \bmod = 0$ $N \mod 2 = 1$

Misalnya, dua negara berikut ini tidak terhubung:

 1  2  3  4     1  2  3  4
 5  6  7  8     5  6  7  8
 9 10 11 12     9 10 11 12
13 14 15  *    13 15 14  *  
    N = 4         N = 5

— Vor
sumber

Ini adalah kasus untuk 15-puzzle tetapi tampaknya hasilnya dapat digeneralisasi untuk 8-puzzle juga. Terima kasih!

— Cam