Memompa lemma untuk bahasa reguler terbatas yang sederhana

20

Wikipedia memiliki definisi berikut tentang lemma pemompaan untuk bahasa biasa ...

Biarkan menjadi bahasa biasa. Kemudian ada bilangan bulat ≥ 1 hanya bergantung pada sehingga setiap string dalam panjang setidaknya ( disebut "panjang pemompaan") dapat ditulis sebagai = (yaitu, dapat dibagi menjadi tiga substring), memenuhi ketentuan berikut: $L$ $p$ $L$ $w$ $L$ $p$ $p$ $w$ $xyz$ $w$

| | ≥ 1 $y$

| | ≤ $xy$ $p$

untuk semua ≥ 0, ∈ $i$ $xy^iz$ $L$

Saya tidak melihat bagaimana ini memuaskan untuk bahasa reguler yang terbatas dan sederhana. Jika saya memiliki alfabet { } dan ekspresi reguler maka terdiri dari hanya satu kata yang diikuti oleh . Saya sekarang ingin melihat apakah bahasa reguler saya memenuhi lemma pemompaan ... $a,b$ $ab$ $L$ $a$ $b$

Karena tidak ada yang berulang dalam ekspresi reguler saya, nilai harus kosong sehingga kondisi 3 terpenuhi untuk semua . Tetapi jika demikian maka gagal kondisi 1 yang mengatakan harus memiliki panjang setidaknya 1! $y$ $i$ $y$

Jika bukan aku membiarkan berupa , atau maka akan memenuhi kondisi 1 namun gagal kondisi 3 karena pernah benar-benar berulang. $y$ $a$ $b$ $ab$

Saya jelas kehilangan sesuatu pikiran yang sangat jelas. Yang mana?

— Phil Wright
sumber

29

Anda benar - kami tidak dapat mengizinkan "memompa" kata-kata terbatas . Hal yang Anda lewatkan adalah bahwa lemma mengatakan ada nomor , tetapi tidak memberi tahu kami nomornya. $L$ $p$

Semua kata yang lebih panjang dari dapat dipompa, oleh lemma. Untuk terbatas , hal itu terjadi sehingga lebih besar dari panjang kata terpanjang di . Dengan demikian, lemma hanya berlaku kosong, dan tidak dapat diterapkan pada kata apa pun dalam , yaitu, kata apa pun dalam tidak memenuhi kondisi "memiliki panjang setidaknya " seperti yang diminta lemma. $p$ $L$ $p$ $L$ $L$ $L$ $p$

Sebuah akibat wajar: jika memiliki panjang pemompaan , dan ada beberapa kata dengan panjang setidaknya , maka tidak terbatas. $L$ $p$ $w\in L$ $p$ $L$

— Ran G.
sumber

2

Contoh bagus dari set kosong yang memenuhi -statements.

\forall

$\forall$

— Raphael

7

Memompa lemma biasanya digunakan pada bahasa tak terbatas, yaitu bahasa yang mengandung jumlah kata tak terbatas. Untuk bahasa berhingga , karena selalu dapat diterima oleh DFA dengan jumlah negara terbatas, harus teratur. $L$ $L$

Menurut wikipedia ( http://en.wikipedia.org/wiki/Pumping_lemma_for_regular_languages#Formal_statement ), kata lemma pumping: $\begin{array}{l} (\forall L\subseteq \Sigma^*) \\ \quad (\mbox{regular}(L) \Rightarrow \\ \quad ((\exists p\geq 1) ( (\forall w\in L) ((|w|\geq p) \Rightarrow \\ \quad\quad ((\exists x,y,z \in \Sigma^*) (w=xyz \land (|y|\geq 1 \land |xy|\leq p \land (\forall i\geq 0)(xy^iz\in L)))))))) \end{array}$

Untuk bahasa berhingga , misalkan menjadi panjang maksimum kata dalam , dan biarkan dalam memompa lemma menjadi . Lemma pemompaan berlaku karena tidak ada kata dalam yang panjangnya . $L$ $l_{max}$ $L$ $p$ $l_{max}+1$ $L$ $\geq l_{max}+1$

— Wu Yin
sumber

2

Salah satu cara untuk memformalkan bagian inti dari lemma Pemompaan adalah dengan menggunakan : $L^{\geq k} = \{ w \in L \mid |w| \geq k\}$

Jika teratur, ada sehingga $L$ $p \in \mathbb{N}$

$\qquad \displaystyle \forall w \in L^{\geq p}.\ \exists x,y,z \dots$ (*).

Untuk semua hingga dan , jelas kita memiliki . Oleh karena itu (*) benar (kosong) berlaku untuk . $L$ $p > \max \{ |w| \mid w \in L\}$ $L^{\geq p} = \emptyset$ $p$

— Raphael
sumber