Partisi bahasa reguler yang tak terbatas menjadi 2 bahasa yang tak terbatas yang terpisah

Diberi bahasa reguler tak terbatas $L$, bagaimana saya bisa membuktikannya $L$ dapat dipartisi menjadi 2 bahasa reguler tak terhingga terpisah $L_1, L_2$? Itu adalah:$L_1 \cup L_2 = L$, $L_1 \cap L_2 = \varnothing$, dan $L_1$ dan $L_2$ keduanya tak terbatas dan teratur.

Sejauh ini, saya memikirkan:

1. menggunakan lemma pemompaan sedemikian rupa

   $$\begin{gather} L_1 &= \{ xy^nz \mid \text{\(n\) is even} \} \\ L_2 &= \{ xy^mz \mid \text{\(m\) is odd} \} \\ \end{gather}$$ tetapi tidak dapat membuktikan bahwa mereka dijoint atau menutupi $L$ sama sekali.

2. Menggunakan partisi bahasa biasa $\Sigma^*$ ke kelas-kelas kesetaraan dijoint, tapi saya belum menemukan cara untuk menentukan apakah kelas kesetaraan adalah reguler atau tak terbatas.

Membiarkan $S = \{ |w| : w \in L \}$. Teorema Parikh menunjukkan hal itu$S$adalah set akhirnya periodik. Biarkan periode akhirnya terjadi$\ell$. Sejak$L$ tidak terbatas, ada beberapa offset $a$ seperti yang $a + k\ell \in S$ untuk semua $k \geq 0$. Jadi bahasanya$L_1 = \{ w \in L : |w| \equiv a \pmod{2\ell} \}$ tidak terbatas (berisi semua kata panjangnya $a + 2k\ell$ untuk beberapa $k \geq 0$), dan bahasanya $L_2 = L \setminus L_1$ juga tak terbatas (berisi semua kata panjangnya $a + (2k+1)\ell$ untuk beberapa $k \geq 0$, serta mungkin kata lain). Saya akan membiarkan Anda menunjukkan itu$L_1,L_2$ keduanya biasa.

Setiap bahasa reguler diterima oleh DFA minimal. Untuk bahasa reguler yang tak terbatas$L$, sebut saja DFA $M_L$. Pertimbangkan kondisi apa pun$q$ yang dapat dikunjungi lebih dari sekali saat memproses beberapa string $L$. Jika$q$dapat dikunjungi lebih dari sekali, karena itu dapat dikunjungi beberapa kali. Menetapkan

$$L_1 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an odd number of times}\}$$ dan $$L_0 = \{w \in L \mid q\text{ is visited an even number of times}\}$$ Ini adalah DFA, jadi hanya ada satu jalur. Semua string$L$diterima oleh DFA, dan harus mengunjungi negara bagian beberapa kali (mungkin nol). Negara dapat dikunjungi dalam jumlah tidak terbatas; oleh karena itu, kita tahu bahwa ada banyak string tanpa batas$L_1$ (karena ada kata-kata yang menyebabkan negara dikunjungi 1 kali, 3 kali, dll.) dan bahwa ada banyak string dalam $L_0$(karena ada kata-kata yang menyebabkan negara dikunjungi 0 kali, 2 kali, dll.). String apa pun yang diberikan adalah dalam$L_1$ atau $L_0$, dan tidak bisa di keduanya, jadi $L_0 \cap L_1 = \emptyset$. Namun, kata apa pun di$L$ dijamin berada di salah satu dari dua set ini, jadi $L_0 \cup L_1 = L$.