Cari median array disortir di


45

Untuk menemukan median array yang tidak disortir, kita dapat membuat min-heap dalam waktu untuk n elemen, dan kemudian kita dapat mengekstraksi satu per satu elemen n / 2 untuk mendapatkan median. Tetapi pendekatan ini akan membutuhkan waktu O ( n log n ) .O(nlogn)nn/2O(nlogn)

Bisakah kita melakukan hal yang sama dengan beberapa metode dalam waktu ? Jika kita bisa, lalu bagaimana caranya?O(n)



1
@JukkaSuomela Mengapa tidak membuat ini jawaban yang cepat dan sederhana (dengan penjelasan singkat tentang satu algoritma seperti itu, idealnya)?
Raphael

2
Perhatikan diskusi meta terkait ; ternyata, pencarian web sederhana mengarah ke jawaban untuk pertanyaan ini.
Raphael

Jawaban:


45

Ini adalah kasus khusus dari algoritma seleksi yang dapat menemukan th elemen terkecil dari sebuah array dengan k adalah setengah dari ukuran array. Ada implementasi yang linier dalam kasus terburuk.kk

Algoritma seleksi generik

Pertama mari kita lihat suatu algoritma find-kthyang menemukan th elemen terkecil dari sebuah array:k

find-kth(A, k)
  pivot = random element of A
  (L, R) = split(A, pivot)
  if k = |L|+1, return pivot
  if k ≤ |L|  , return find-kth(L, k)
  if k > |L|+1, return find-kth(R, k-(|L|+1))

Fungsi split(A, pivot)mengembalikan L,Rsedemikian rupa sehingga semua elemen di Rlebih besar daripada pivotdan Lyang lainnya (minus satu kemunculan pivot). Kemudian semua dilakukan secara rekursif.

O(n)O(n2)

Kasus terburuk linier: algoritma median-of-median

Pivot yang lebih baik adalah median semua median sub array Aukuran 5, dengan menggunakan prosedur memanggil pada larik median ini.

find-kth(A, k)
  B = [median(A[1], .., A[5]), median(A[6], .., A[10]), ..]
  pivot = find-kth(B, |B|/2)
  ...

O(n)

Perhatikan bahwa sebagian besar waktu menggunakan pivot acak lebih cepat.


Apakah ini ukuran 5standar? Bagaimana jika ukuran A kurang dari 5?
Jayesh

Untuk n tetap apa pun, kompleksitasnya konstan, kecuali tidak terbatas. Jadi, Anda dapat menggunakan algoritme apa pun yang valid dengan kerumitan hingga untuk kasus khusus seperti itu, meskipun itu O (2 ^ n). Untuk n tetap (yaitu paling banyak 4 dalam kasus keluar), kompleksitasnya paling banyak O (2 ^ 4) = O (1).
v6ak

3
Pada algoritma pertama: return A[k]tidak benar (kecuali Adiurutkan yang akan membuat algoritma diperdebatkan). Jika splitterjadi membagi Asehingga k = |L| + 1Anda masih tidak tahu di mana kelemen th. Kasing dasar Anda adalah kapan |A| = 1lagi Anda masih perlu melakukan salah satu dari dua panggilan rekursif.
wcochran

2
@NickCaplinger diperbaiki menggunakan web.archive.org
jmad

1
Bukankah kasus terburuk untuk algoritma pemilihan generik O (NlogN)? Bahkan jika panggilan rekursif hanya menyisakan 10% dari array setelah setiap panggilan, maka itu masih logaritma dasar 10.
oktavan

6

n1/4O(n)

Ide utama dari algoritma ini adalah menggunakan sampling. Kita harus menemukan dua elemen yang berdekatan dalam urutan susunan array dan yang memiliki median terletak di antara mereka. Lihat referensi [MU2017] untuk diskusi lengkap.


[MU2017] Michael Mitzenmacher dan Eli Upfal. "Probabilitas dan Komputasi: Pengacakan dan Teknik Probabilistik dalam Algoritma dan Analisis Data," bab 3, halaman 57-62. Cambridge University Press, Edisi kedua, 2017.

Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.