Contoh bahasa bebas konteks dengan pelengkap non-konteks bebas

Bahasa bebas konteks tidak ditutup dengan komplementasi. Dalam kuliah kita telah diberi argumen yang sama seperti di sini di Wikipedia : Untuk

$$A = \{\mathtt a^n \mathtt b^n \mathtt c^m;~m, n ∈ ℕ_0\}\quad\text{and}\quad B = \{\mathtt a^m \mathtt b^n \mathtt c^n;~m, n ∈ ℕ_0\},$$ baik$A$ dan$B$ bebas konteks, tetapi persimpangan mereka$A ∩ B$ tidak. Karena bahasa bebas konteks ditutup di bawah serikat pekerja, mereka tidak dapat ditutup dengan pelengkap juga.

Namun, ini hanya menunjukkan bahwa salah satu dari tiga bahasa $A$ , $B$ , dan $\overline A \cup \overline B$ adalah bahasa bebas konteks dengan pelengkap non-konteks bebas, tetapi tidak untuk yang mana ini benar. Jadi apa itu?

Juga, apakah ada contoh minimal dan elegan dari bahasa bebas konteks dengan pelengkap non-konteks bebas, mungkin lebih dari alfabet biner?

Bahasa tidak bebas konteks (seperti dapat ditampilkan dengan menggunakan lemma memompa, lihat di sini ). Komplemen L 2 = { a , b } ∗ ∖ L 1 bebas konteks (seperti yang ditunjukkan di sini ). Ini memberikan contoh sederhana dan elegan dari bahasa bebas konteks (lebih dari alfabet biner) yang komplemennya tidak bebas konteks, seperti yang Anda minta.$L_1= \{ww \mid w \in \{a,b\}^*\}$$L_2 = \{a,b\}^* \setminus L_1$

Contoh yang Anda lihat di Wikipedia: cantumkan , B = { a m b n c n } . Sangat mudah untuk melihat ¯ A dan ¯ B bebas konteks dengan mendefinisikan PDA; Anda dapat mencatat bahwa mereka adalah bahasa bebas konteks-deterministik, yang merupakan kelas yang ditutup dengan pelengkap. Oleh karena itu ¯ A ∪ ¯ B adalah bahasa bebas konteks dengan komplemen bebas-kontekstual A ∩ B = { $A=\{a^n b^n c^m\}$$B=\{a^m b^n c^n\}$$\overline{A}$$\overline{B}$$\overline{A} \cup \overline{B}$ .$A \cap B=\{a^n b^n c^n\}$

Dalam nada yang sama, bahasa tidak bebas konteks tetapi pelengkapnya.$\{a^n b^m c^n d^m\}$