Teorema master tidak berlaku?

Diberikan persamaan rekursif berikut

kita ingin menerapkan teorema Master dan perhatikan itu

T (n) = 2 T (\frac{n}{2}) + n \log n

$T(n) = 2T\left(\frac{n}{2}\right)+n\log n$

n^{\log_{2} (2)} = n .

$n^{\log_2(2)} = n.$

Sekarang kita periksa dua case pertama untuk , yaitu apakah $\varepsilon > 0$

atau $n\log n \in O(n^{1-\varepsilon})$
. $n\log n \in \Theta(n)$

Kedua kasus tidak puas. Jadi kita harus memeriksa kasus ketiga, yaitu apakah

. $n\log n \in \Omega(n^{1+\varepsilon})$

Saya pikir kondisi ketiga juga tidak terpenuhi. Tapi kenapa? Dan apa penjelasan yang bagus mengapa teorema Tuan tidak bisa diterapkan dalam kasus ini?

— Joachim
sumber

Lihat kasus 2 bentuk umum di wiki .

Kasus tiga tidak puas karena

tidak

untuk

. Gunakan aturan l'Hôpital pada

batas

\log n

$\log n$

Ω (n^{ϵ})

$\Omega(n^\epsilon)$

ϵ > 0

$\epsilon > 0$

\frac{\log n}{n^{ϵ}}

$\frac{\log n}{n^{\epsilon}}$

— sdcvvc

Setelah Anda menunjukkan bahwa tidak ada kasus yang berlaku, itu adalah bukti bahwa Anda tidak dapat menerapkan teorema master seperti yang dinyatakan.

— Raphael

Siapa yang butuh Teorema Master? Gunakan pohon rekursi.

— JeffE

Pertanyaan serupa pada math.SE .

— Raphael

Jawaban:

Tiga kasus Teorema Master yang Anda rujuk dibuktikan dalam Pengantar Algoritma oleh Thomas H. Cormen, Charles E. Leiserson, Ronald L. Rivest dan Clifford Stein (Edisi ke-2, 2001).

Telah diamati dengan benar bahwa perulangan yang dimaksud jatuh antara Kasus 2 dan Kasus 3. Yaitu tumbuh lebih cepat dari tetapi lebih lambat dari untuk setiap . $f(n) = n \log n$ $n$ $n^{1+\varepsilon}$ $\varepsilon > 0$

Namun teorema dapat digeneralisasi untuk menutupi pengulangan ini. Mempertimbangkan

$f(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^k n)$ $k\geq 0$

$k = 0$ $f(x)$ $\Theta (\log_b n)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n)

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n)$

Dalam Pengantar algoritma pernyataan ini dibiarkan sebagai latihan.

T (n) = Θ (n \cdot \log^{2} n) .

$T(n) = \Theta(n \cdot \log^2 n).$

Rincian lebih lanjut tentang Teorema Master dapat ditemukan di halaman Wikipedia yang luar biasa .

lim_{x \to c} \frac{f (x)}{g (x)} = lim_{x \to c} \frac{f^{'} (x)}{g^{'} (x)}

$\lim_{x\to c} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x\to c} \frac{f^\prime(x)}{g^\prime(x)}$

f (x)

$f(x)$

g (x)

$g(x)$

c

$c$

f (n) = n \log n

$f(n) = n \log n$

g (n) = n^{1 + ε}

$g(n) = n^{1+\varepsilon}$

\log n \notin Θ (n^{1 + ε}) .

$\log n \not\in \Theta (n^{1+\varepsilon}).$

Sketsa Bukti Teorema Master untuk Kasus 2A.

Ini adalah reproduksi bagian dari bukti dari Pengantar ke Algoritma dengan modifikasi yang diperlukan .

Pertama kita buktikan Lemma berikut.

Lemma A:

g (n) = \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} h (n / b^{j})

$g(n) = \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b {n-1}} a^j h(n/b^j)$

h (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n .

$h(n) = n^{\log_b a} \log_b^k n.$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

$h(n)$ $g(n)$

g (n) = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} {(\frac{a}{b^{\log_{b} a}})}^{j} = n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n .

$g(n) = \displaystyle n^{\log_b a} \log_b^k n \; \sum_{j=0}^{\log_b{n-1}} \left(\frac{a}{b^{\log_b a}}\right)^j = n^{\log_b a} \log_b^{k +1} n.$

QED

$n$ $b$

T (n) = a T (n / b) + f (n), T (1) = Θ (1)

$T(n) = a T(n/b) + f(n),\quad T(1) = \Theta(1)$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a}) + \sum_{j = 0}^{\log_{b} n - 1} a^{j} T (n / b^{j}) .

$T(n) = \Theta(n^{\log_b a}) + \displaystyle \sum_{j=0}^{\log_b n - 1} a^j T(n/b^j).$

f (n)

$f(n)$

Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k} n)

$\Theta(n^{\log_b a} \log_b^k n)$

Θ

$\Theta$

T (n) = Θ (n^{\log_{b} a} \log_{b}^{k + 1} n) .

$T(n) = \Theta (n^{\log_b a }\log_b^{k+1} n).$

$n$ $b$

— Dmitri Chubarov
sumber

Teorema Akra-Bazzi adalah generalisasi ketat dari teorema master. Sebagai bonus, buktinya adalah badai integral yang akan membuat kepala Anda berputar ;-)

$T(n) \sim g(n)$

— vonbrand
sumber