Buktikan bahwa bahasa reguler ditutup di bawah operator siklus

Saya mendapat ujian beberapa hari dan memiliki masalah untuk menyelesaikan tugas ini.

Membiarkan $L$ menjadi bahasa biasa di atas alfabet $\Sigma$. Kami memiliki operasi $\operatorname{cycle}(L) = \{ xy \mid x,y\in \Sigma^* \text{ and } yx\in L\}$ Dan sekarang kita harus menunjukkan itu $\operatorname{cycle}(L)$ juga biasa.

Referensi adalah bahwa kita dapat membangun dari DFA $D=(Q,\Sigma,\delta, q_0, F)$ dengan $L(D) = L$ Sebuah $\epsilon$-NFA $N$ dengan $L(N) = \operatorname{cycle}(L)$ dan $2 · |Q|^2 + 1$ menyatakan.

Idenya adalah untuk memutuskan secara nondeterministis pada awal berapa banyak kata tersebut didaur ulang, dan memiliki salinan otomat untuk setiap kasus. Dalam hal otomat, itu berarti kita menebak di negara mana$D$ akan setelah mengkonsumsi awalan kata (yang merupakan akhiran dari input kami), dan mulai di negara itu.

Sekarang konstruksinya. Untuk setiap negara bagian$q \in Q$, terpisah $D$ menjadi dua bagian $A_1$ dan $A_2$. $A_1$ berisi status dari mana $q$ terjangkau dan $A_2$ negara yang dapat dijangkau dari $q$:

^{[ sumber ]}

Perhatikan bahwa setiap node yang diberikan dapat terkandung di keduanya $A_1$ dan $A_2$. Oleh karena itu, jumlah negara dapat berlipat ganda jika kita membuat langkah ini eksplisit.

Sekarang kami memasang ulang otomat ini sehingga menerima semua kata $q$ menandai "titik siklus":

^{[ sumber ]}

Kita mendapatkan $|Q|$automata dari formulir ini; buat keadaan awal baru yang sudah$\varepsilon$-transisi ke semua status awal mereka. Otomat yang dihasilkan menerima$\operatorname{cycle}(L)$. Secara keseluruhan, kami mendapatkan paling banyak$|Q|\cdot(2|Q|+1) + 1$ hanya menyatakan $|Q|$ lebih banyak status daripada klaim referensi yang dimungkinkan.

Anda bisa meraihnya $2|Q|^2 + 1$menyatakan dengan memodifikasi komponen automata sedikit; hilangkan semua$q_0$ dengan mengganti yang masuk $\varepsilon$-transisi dengan salinan transisi keluarnya. Yaitu, untuk setiap pasangan transisi$(q_1,\varepsilon,q_0), (q_0,a,q_2)$, perkenalkan suatu transisi $(q_1,a,q_2)$.

Konstruksi yang ketat dan bukti ketelitian tetap sebagai latihan.