Jumlah klik dalam grafik acak

Ada keluarga grafik acak dengan node ( karena Gilbert ). Setiap tepi yang mungkin dimasukkan secara independen ke dalam dengan probabilitas . Mari adalah jumlah geng ukuran di . $G(n, p)$ $n$ $G(n, p)$ $p$ $X_k$ $k$ $G(n, p)$

Saya tahu bahwa , tetapi bagaimana saya membuktikannya? $\mathbb{E}(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$

Bagaimana cara menunjukkan bahwa untuk ? Dan bagaimana cara menunjukkan bahwa untuk dan konstanta yang tetap dan sewenang-wenang ? $\mathbb{E}(X_{\log_2n})\ge1$ $n\to\infty$ $\mathbb{E}(X_{c\cdot\log_2n}) \to 0$ $n\to\infty$ $c>1$

— pengguna1374864
sumber

Jadi pada dasarnya ada tiga pertanyaan yang terlibat.

Saya tahu bahwa , tetapi bagaimana saya membuktikannya? $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$

Anda menggunakan linearitas harapan dan beberapa penulisan ulang yang cerdas. Pertama-tama, perhatikan bahwa Sekarang, ketika mengambil harapan, satu dapat hanya menarik sum keluar (karena linearitas) dan memperoleh

X_{k} = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 [T is clique] .

$X_k = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathbb{1}[T \text{ is clique}].$

X_{k}

$X_k$

Dengan menggambar jumlah, kami menghilangkan semua dependensi yang mungkin antara subset node. Maka, berapakah probabilitas bahwa

adalah sebuah klik? Nah, tidak peduli apa yangterdiri dari

, semua probabilitas edge sama. Oleh karena itu,

E (X_{k}) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} E (1 [T is clique]) = \sum_{T \subseteq V, | T | = k} P r [T is clique]

$\mathrm{E}(X_k) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{E}(\mathbb{1}[T \text{ is clique}]) = \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} \mathrm{Pr}[T \text{ is clique}]$

T

$T$

T

$T$

, karena semua tepi dalam subgraph ini harus ada. Dan kemudian, istilah inner dari jumlah tidak tergantung pada

lagi, meninggalkan kami dengan

P r [T is clique] = p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{Pr}[T \text{ is clique}] = p^{k \choose 2}$

T

$T$

E (X_{k}) = p^{(\binom{k}{2})} \sum_{T \subseteq V, | T | = k} 1 = (\binom{n}{k}) \cdot p^{(\binom{k}{2})}

$\mathrm{E}(X_k) = p^{k \choose 2} \sum_{T \subseteq V, \, |T|=k} 1 = {n \choose k} \cdot p^{k \choose 2}$

Bagaimana menunjukkannya untuk : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$

Saya tidak sepenuhnya yakin apakah ini benar. Menerapkan ikatan pada koefisien binomial, kami dapatkan

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n} = {(\frac{n e \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n})}^{\log n} .

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n} = \left(\frac{ne \cdot n^{(\log p) / 4}}{\log n}\right)^{\log n}.$

p^{\frac{- 1 + \log n}{2}}

$p^\frac{-1 + \log n}{2}$

p^{\frac{\log n}{4}}

$p^\frac{\log n}{4}$

p = 0.001

$p = 0.001$

\log_{2} 0.001 \approx - 9.96

$\log_2 0.001 \approx -9.96$

0

$0$

n

$n$

p

$p$

— HdM
sumber

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log n}) \cdot p^{(\binom{\log n}{2})} \leq {(\frac{n e p^{\frac{(\log n)}{4}}}{\log n})}^{\log n}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log n} \cdot p^{\log n \choose 2} \leq \left(\frac{n e p^\frac{(\log n)}{4}}{\log n}\right)^{\log n}$

E (X_{\log n}) = (\binom{n}{\log_{2} n}) \cdot p^{(\binom{\log_{2} n}{2})} \leq {(\frac{n e}{\log_{2} n})}^{\log n} \cdot p^{\frac{(\log_{2} (n) \cdot e)^{2}}{4}}

$E(X_{\log n}) = {n \choose \log_2 n} \cdot p^{\log_2 n \choose 2} \leq \left(\frac{n e}{\log_2 n}\right)^{\log n}\cdot p^\frac{(\log_2 (n)\cdot e)^2}{4}$

(\binom{n}{\log n})

${n \choose \log n}$

p

$p$

(\binom{\log n}{2}) = (\log n) (\log n - 1) / 2

${\log n \choose 2} = (\log n) (\log n -1)/2$

p \leq 1

$p \leq 1$

n

$n$

(\log n) (\log n - 1) / 2 > (\log n)^{2} / 4

$(\log n) (\log n -1)/2 > (\log n)^2 / 4$

Ada apa dengan pertanyaan ketiga?

— Antrian

Itu menderita masalah yang sama dengan pertanyaan kedua. Maaf, saya harus mengklarifikasi itu.

— HdM

Jumlah klik dalam grafik acak

Saya tahu bahwa , tetapi bagaimana saya membuktikannya?E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(Xk)=(nk)⋅p(k2)E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}

Bagaimana menunjukkannya untuk : E ( X log 2 n ) ≥ 1n→∞n→∞n\rightarrow\inftyE(Xlog2n)≥1E(Xlog2⁡n)≥1E(X_{\log_2n})\ge1

Saya tahu bahwa , tetapi bagaimana saya membuktikannya? $E(X_k)=\tbinom{n}{k}\cdot p^{\tbinom{k}{2}}$

Bagaimana menunjukkannya untuk : $n\rightarrow\infty$ $E(X_{\log_2n})\ge1$