Mengapa Miller – Rabin bukannya tes primality Fermat?

10

Dari bukti Miller-Rabin , jika suatu angka melewati tes primitif Fermat , ia juga harus lulus uji Miller-Rabin dengan basis sama (variabel dalam buktinya). Dan kompleksitas perhitungannya sama. $a$

Berikut ini dari tes primitif Fermat :

Sementara bilangan Carmichael secara substansial lebih jarang daripada bilangan prima, 1 ada cukup banyak dari mereka bahwa tes primitif Fermat sering tidak digunakan dalam bentuk di atas. Sebaliknya, ekstensi tes Fermat yang lebih kuat lainnya , seperti Baillie-PSW, Miller-Rabin, dan Solovay-Strassen lebih umum digunakan.

Apa manfaat Miller-Rabin dan mengapa dikatakan lebih kuat daripada tes primitif Fermat?

algorithms primes

— ZijingWu
sumber

7

Algoritma Rabin-Miller juga menguji, diberi nomor , apakah memiliki akar nontrivial dari Unity. $n$ $Z_n$

$a$ $n$ $a$ $a$ $a,2a,...,2^ra$

Jadi, kami memiliki yang berikut:

$n$ $1/2$

$1/2$

— Shaull
sumber

Apakah maksud Anda nomor Carmichael dan dapat berhasil pada tes Fermat tetapi gagal pada Rabin-Miller menggunakan basis yang sama a?

— ZijingWu

a

$a$

a

$a$

a

$a$

a

$a$

a

$a$

a

$a$

1

Inti dari tes "yang lebih kompleks" adalah bahwa fraksi basis yang terletak (katakanlah bilangan mungkin prima, ketika tidak) memiliki batas yang dijamin kurang dari 1. Yaitu, dalam Miller-Rabin dapat ditunjukkan bahwa paling banyak 1/4 berbohong (IIRC, dan batasnya cukup pesimistis).

— vonbrand

0

Saya percaya pernyataan Anda adalah kebalikan dari apa yang terjadi. Melewati tes Miller-Rabin untuk basis tertentu berarti akan lulus tes Fermat untuk basis yang sama. Sebaliknya, ada banyak komposit yang akan lulus uji Fermat untuk basa tertentu tetapi akan gagal dalam uji Miller-Rabin untuk basa yang sama.

Lihat, misalnya, makalah karya Pomerance / Selfridge / Wagstaff di halaman Wikipedia Miller-Rabin:

https://math.dartmouth.edu/~carlp/PDF/paper25.pdf

di mana kita melihat diagram pada halaman 2 yang menunjukkan pseudoprim Euler menjadi bagian dari pseudoprim Fermat, dan pseudoprim yang kuat menjadi bagian dari mereka. Tes Solovay-Strassen karena itu lebih cerdas daripada tes Fermat, dan tes Miller-Rabin lebih dari keduanya. Mereka berdua menghindari masalah kritis angka-angka Carmichael. Mereka pada dasarnya memiliki kinerja yang sama, jadi kami lebih suka menggunakan tes Miller-Rabin.

— DanaJ
sumber

0

Harus jelas bahwa Miller-Rabin lebih baik daripada Fermat.

$a^{p-1}$

$a^{p-1}$ $p-1 = s·2^k$ $a^s$ $a^{p-1}$

Sekali lagi, jika hasilnya bukan 1 (modulo p) maka p adalah komposit. Tetapi jika hasilnya adalah 1 modulo p, maka kami memeriksa apakah kami mendapatkan 1 dengan mengkuadratkan hasil antara yang bukan +1 atau -1, dan dalam hal ini x juga terbukti komposit.

Jadi kami melakukan jumlah pekerjaan yang persis sama, tetapi ada lebih banyak cara untuk membuktikan bahwa x adalah komposit.

— gnasher729
sumber