Apakah pohon rentang minimum dari grafik berbobot memiliki jumlah sisi yang sama dengan bobot yang diberikan?


21

Jika grafik berbobot memiliki dua pohon rentang minimum yang berbeda dan , maka apakah benar bahwa untuk setiap tepi dalam , jumlah tepi dalam dengan jumlah tepi pada dengan bobot yang sama dengan (termasuk sendiri) sama dengan jumlah tepi dalam dengan bobot yang sama dengan ? Jika pernyataan itu benar, lalu bagaimana kita bisa membuktikannya?GT 2 = ( V 2 , E 2 ) e E 1 E 1 e e E 2 eT1=(V1,E1)T2=(V2,E2)eE1E1eeE2e


Salah satu pendekatan yang rumit tetapi layak adalah untuk menunjukkan 1) Algoritma Kruskal dapat menghasilkan setiap pohon spanning minimal dan 2) semua pohon spanning minimal yang ditemukan oleh Kruskal memiliki multiset berbobot tepi yang sama.
Raphael

Jawaban:


16

Klaim: Ya, pernyataan itu benar.

Sketsa Bukti: Misalkan menjadi dua pohon rentang minimum dengan multiset tepi-berat . Asumsikan dan tunjukkan perbedaan simetrisnya dengan .T1,T2W1,W2W1W2 W = W 1 Δ W 2W=W1ΔW2

Pilih tepi dengan , yaitu e adalah tepi yang hanya terjadi di salah satu pohon dan memiliki bobot minimum yang tidak disetujui. Keunggulan seperti itu, khususnya e \ di T_1 \ mathop {\ Delta} T_2 , selalu ada: jelas, tidak semua tepi bobot \ min W dapat berada di kedua pohon, jika tidakeT1ΔT2w(e)=minWeeT1ΔT2minWminWW . Wlog, biarkaneT1 dan anggapT1 memiliki lebih banyak tepi bobotminW daripadaT2 .

Sekarang perhatikan semua tepi di T2 yang juga ada di cut CT1(e) yang diinduksi oleh e di T1 . Jika ada tepi e di sana yang memiliki bobot sama dengan e , perbarui T1 dengan menggunakan e alih-alih ; perhatikan bahwa pohon baru masih merupakan pohon spanning minimal dengan multiset tepi-berat yang sama dengan . Kami mengulangi argumen ini, mengecilkan oleh dua elemen dan dengan demikian menghilangkan satu sisi dari set kandidat untuk dalam setiap langkah. Oleh karena itu, kami mendapatkan setelah banyak langkah ke pengaturan di mana semua tepi dieT1WeT2CT1(e)T 1 w ( e )(di mana adalah versi yang diperbarui) memiliki bobot selain .T1w(e)

Sekarang kita selalu dapat memilih sehingga kita dapat menukar dan ¹, yaitu kita dapat membuat pohon spanning barueCT1(e)T2ee

T3={(T1{e}){e},w(e)<w(e)(T2{e}){e},w(e)>w(e)

yang memiliki bobot lebih kecil dari danT1T2 ; ini bertentangan dengan pilihan sebagai pohon spanning minimal. Karenanya, .T1,T2W1=W2


  1. Insiden node berada di terhubung oleh jalur ;eT2Pe adalah keunggulan unik dalam .PCT1(e)

3
Mengacu pada komentar Dave , saya datang dengan bukti ini setelah 0) percaya saya punya contoh tandingan yang saya lihat salah setelah TikZing, 1) mencoba membuktikan pernyataan tetapi gagal, 2) mencoba membangun contoh tandingan berdasarkan di mana buktinya gagal dan gagal lagi, dan akhirnya 3) menggunakan cara contoh-contoh baru ini gagal untuk menghasilkan buktinya. Itu mungkin juga mengapa itu tidak sehalus mungkin.
Raphael

ya tepatnya, saya tidak mengerti apa yang dimaksud dengan cyt yang diinduksi oleh di Saya hanya melihat cut seperti cutT 1 ( S , V - S )eT1(S,VS)
dragoboy

@dragoboy Menghapus memutus ; satu komponen membentuk , yang lain komplemen. T 1 SeT1S
Raphael

5

Berikut adalah argumen yang sedikit lebih sederhana yang juga berfungsi untuk matroid lainnya. (Saya melihat pertanyaan ini dari yang lain .)

Misalkan memiliki tepi . Tanpa kehilangan generalitas, asumsikan bahwa fungsi bobot mengambil nilai dalam , jadi kami memiliki partisi ke dalam set untuk . Kita dapat melakukan induksi pada jumlah dari kosong dan jumlah simpul dalam ; untuk dan apa sajam w [ m ] E E i : = w - 1 ( i ) i [ m ] j E i n G j = 1 nGmw[m]EEi:=w1(i)i[m]jEinGj=1n , pernyataannya jelas.

Fakta standar tentang matroid adalah bahwa untuk setiap MST ada ekstensi linear dari urutan yang disebabkan oleh sehingga algoritma serakah menghasilkanw TTwT .

Untuk menutup induksi, ambil menjadi angka terbesar sehingga tidak kosong. Set . Perhatikan bahwa setiap ekstensi linier dari menempatkan setiap sisi dalam sebelum sisi apa pun dalam . Menurut fakta, setiap MST terdiri dari hutan spanning dari subgraph yang diinduksi oleh dan beberapa tepi dari . Dengan hipotesis induktif, setiap komponen yang terhubung dari memiliki jumlah tepi yang sama dari setiap untukE t E = E 1E t - 1 w E E t F E E t F E i i < t F E t F FtEtE=E1Et1wEEtFEEtFEii<t . Karena semua pilihanFmemiliki ukuran yang sama, jumlah tepi dari diperlukan untuk menyelesaikan ke spanning tree tidak tergantung pada pilihan dan kita selesai.EtFF


Bisakah Anda memberikan matroid untuk masalah MST? Saya sepertinya ingat bahwa itu adalah hal yang sulit untuk muncul, dan saya belum melihatnya selesai (dengan keras). Ya, kita menggunakan algoritma serakah, tapi tidak dengan (kanonik) serakah dari teori matroid.
Raphael

Yang mengatakan, saya pikir argumen inti Anda berfungsi (dan tidak perlu matroid sama sekali): dengan kebenaran algoritma Kruskal dan fakta bahwa setiap MST dapat diperoleh dari serangkaian Kruskal dengan permutasi spesifik (diurutkan) dari multiset berat ( bukti ketat tertunda), klaim berikut. Saya menulis "bukti tertunda" karena ini tidak sepele atau langsung: tanpa menggunakan klaim itu sendiri sama sekali tidak jelas mengapa Kruskal harus menemukan semua MST. Jelas, jika seseorang memiliki multiset berat yang berbeda, Kruskal tidak akan pernah menemukannya!
Raphael

1. Matroid adalah matroid grafis. Selesai!
Louis

2. Anda bingung. Secara abstrak, kami melakukan optimasi linier atas basis polytope. Salah satu penokohan standar matroid adalah bahwa algoritma serakah bekerja untuk semua pilihan bobot. Semua pohon span- minimal adalah simpul-simpul dari muka polytope ini. Sekarang ide standar dari LP mengarah ke fakta standar yang saya sebutkan. w
Louis

1. Bisakah Anda memberikan referensi? Saya tidak tahu yang matroid grafis. 2. Sekarang Anda seret LP ke dalamnya juga! Yang saya katakan adalah bahwa jawaban Anda tidak memiliki matroid, dan bahwa tanpa matroid, garis penalaran tampaknya bergantung pada klaim itu sendiri. Jika Anda memiliki jalan keluarnya, harap edit / klarifikasi jawabannya.
Raphael
Dengan menggunakan situs kami, Anda mengakui telah membaca dan memahami Kebijakan Cookie dan Kebijakan Privasi kami.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.