Mesin Single-tape Turing dengan input yang dilindungi penulisan hanya mengenal Bahasa Reguler

Inilah masalahnya:

Buktikan bahwa Mesin Turing single-tape yang tidak dapat menulis pada bagian dari rekaman yang berisi string input hanya mengenali bahasa biasa.

Gagasan saya adalah untuk membuktikan bahwa TM khusus ini setara dengan DFA.

Menggunakan TM ini untuk mensimulasikan DFA sangat mudah.

Namun, ketika saya ingin menggunakan DFA ini untuk mensimulasikan TM, saya menghadapi masalah. Untuk transisi TM , DFA dapat mensimulasikan secara pasti dengan membaca rekaman di sebelah kanan dan melakukan transisi keadaan yang sama.$\delta(q,a)=(q',a,R)$

Untuk , saya tidak tahu cara menggunakan DFA atau NFA ini untuk mensimulasikan gerakan kiri karena DFA hanya membaca ke kiri dan tidak memiliki tumpukan atau sesuatu untuk disimpan.$\delta(q,a)=(q',a,L)$

Haruskah saya mempertimbangkan cara lain? Adakah yang bisa memberi saya petunjuk? Terima kasih.

pengantar

Saya pikir mungkin ada kesalahan dalam pernyataan asli pertanyaan itu, dan OP tidak ada lagi untuk bertanya. Jadi saya berasumsi bahwa rekaman itu hanya-baca di mana-mana, dan menulis bukti pertama berdasarkan asumsi itu, dimotivasi oleh fakta bahwa TM memiliki kekuatan Turing penuh di luar bagian input dari rekaman itu jika dapat menulisnya, yang menginduksi kesalahan keyakinan bahwa itu dapat mengenali bahasa RE.

Namun, itu tidak terjadi: pembatasan penulisan pada bagian input dari rekaman menyiratkan bahwa hanya informasi yang terbatas dapat diekstraksi dari input, dibatasi oleh jumlah negara bagian pada saat masuk dan keluar dari bagian rekaman itu (dikombinasikan dengan sisi masuk dan keluar). InstructedA harus dikreditkan karena berkomentar dalam komentar bahwa ada masalah dengan mengenali bahasa RE, karena tidak mungkin untuk membuat salinan input tanpa PERNAH menulis ke area input asli,

Oleh karena itu saya menulis bukti kedua yang mengasumsikan bahwa hanya bagian input dari rekaman itu hanya-baca, sisanya menjadi baca-tulis diperbolehkan.

Saya menyimpan kedua bukti di sini, karena yang pertama membantu saya menemukan solusinya, meskipun tidak perlu memahami bukti kedua, lebih kompleks, dan digabungkan dengan bukti kedua. Itu bisa dilewati. Namun, bukti yang lebih lemah memiliki keuntungan konstruktif (untuk mendapatkan setara FSA dengan Mesin Turing), sedangkan hasil yang lebih umum tidak konstruktif.

Namun saya memberikan yang pertama hasil terakhir dan lebih kuat. Saya sedikit terkejut bahwa saya tidak dapat menemukan hasil ini, bahkan tanpa bukti, di tempat lain di internet, atau dengan bertanya kepada beberapa pengguna yang kompeten, dan segala referensi tentang karya yang diterbitkan akan disambut baik.

Isi:

• Mesin Turing yang tidak menimpa input hanya menerima bahasa biasa. Bukti ini tidak konstruktif.

• Mesin Turing dengan kaset hanya-baca hanya menerima bahasa biasa. Ini dapat dilewati seperti digolongkan oleh bukti sebelumnya, tetapi menggunakan pendekatan yang berbeda, yang memiliki keuntungan konstruktif.

Mesin Turing yang tidak menimpa input hanya menerima bahasa biasa

$\Sigma^*$

Kami berasumsi bahwa TM menerima ketika memasuki kondisi penerimaan.

Bukti.

Kami mendefinisikan perhitungan input terbatas (IRC) sebagai perhitungan ( hanya baca) dari TM sehingga kepala TM tetap pada bagian input rekaman, kecuali mungkin untuk transisi terakhir yang dapat memindahkannya ke sel segera di kiri atau kanan area input.

Sebuah masukan kiri dibatasi perhitungan adalah IRC yang dimulai pada simbol paling kiri dari input. Sebuah masukan yang tepat dibatasi perhitungan adalah IRC yang dimulai pada simbol paling kanan dari input.

$p$

• $K_{Lp\to Lq}$$p$$q$

• $K_{Lp\to Rq}$$p$$q$

• $A_{Lp}$$p$

$p$$K_{Rp\to Lq}$$K_{Rp\to Rq}$$A_{Rp}$

Keenam bukti tersebut bergantung pada fakta bahwa automata state terbatas dua arah non-deterministik (2NFA) dua arah mengenali set reguler (lihat Hopcroft + Ullman 1979, hlm. 36-41, dan jalankan 2.18 halaman 51). Sebuah 2NFA bekerja seperti TM hanya-baca pada rekaman yang terbatas pada inputnya, mulai awalnya dari simbol paling kiri, dan menerima dengan bergerak melampaui ujung kanan dalam keadaan penerimaan.

$K_{??\to ??}$

$p$$q$

$k$$4k^2$$K_{??\to ??}$$2k$$A_{??}$$4k^2+2k$

$4k^2+2k$$\Sigma^*$$4k^2+2k$

$\mathcal P$$\Sigma^*$$2^{4k^2+2k}$

$u$$v$$\mathcal P$$u$$v$$\mathcal P$

Agar sangat lengkap, kami melewatkan case dari string input kosong. Dalam hal ini, kami hanya memiliki TM normal, yang dapat membaca atau menulis di mana saja. Jika mencapai kondisi penerimaan, string kosong dalam bahasa, kalau tidak, tidak. Tetapi itu tidak banyak berpengaruh pada fakta bahwa bahasa yang dikenali itu teratur.

Tentu saja, tidak dapat diputuskan apakah kelas ekivalensi adalah atau tidak dalam bahasa (yang sama berlaku untuk string kosong). Ini adalah bukti yang tidak konstruktif.

QED

Mesin Turing dengan kaset hanya-baca hanya menerima bahasa biasa

Ini dimasukkan oleh hasil sebelumnya. Itu disimpan karena menggunakan pendekatan yang berbeda, mungkin kurang elegan, dan membantu saya menemukan bukti sebelumnya dengan memahami apa yang penting. Tapi itu bisa dilewati oleh pembaca. Namun, satu keuntungan dari bukti ini adalah bahwa itu adalah bukti konstruktif yang menghasilkan FSA yang menerima bahasa. Sebuah sketsa bukti serupa diberikan oleh Hendrik Jan dalam jawabannya untuk pertanyaan serupa sebelumnya , yang mengasumsikan bahwa seluruh rekaman itu hanya bisa dibaca.

$\Box$

Langkah pertama dari buktinya adalah untuk menunjukkan bahwa kepala tidak perlu meninggalkan area input rekaman. Kami dengan demikian menganalisis apa yang terjadi ketika kepala bergerak dari simbol input paling kanan. Analisis ketika bergerak dari yang paling kiri identik.

$q$

1. TM terus menghitung selama-lamanya, tanpa kepala kembali pada bagian input rekaman;

2. TM mencapai (a) menerima atau (b) berhenti dalam keadaan tidak menerima;

3. $r$

$q$

$\Box$$1$$0$

$0$

Kami mewakili bagian yang relevan dari kontrol keadaan terbatas dengan grafik terarah di mana simpul adalah keadaan TM, dan di mana ujungnya adalah transisi kosong, dengan bobot +1 atau -1 tergantung pada apakah kepala seharusnya bergerak kanan atau kiri.

$A_R$$q$

$E_R$$(q,r)$$-1$$q$$r$

$\Box$

$q_A$

$p,a\mapsto R,q$$p,a\mapsto R,q_A$$q\in A_R$

$p,a\mapsto R,q$$(q,r)\in E_R$$p,a\mapsto S,r$$S$

$a$$F_a=\{(p,r)\mid \text{ there is a dummy transition } p,a\mapsto S,r\}$$F_a^*$$F_a$$r,a\mapsto L,s$$(p,r)\in F_a^*$$p,a\mapsto L,s$

$+1$$-1$

$q_A$

Kami sekarang harus melakukan beberapa perubahan kosmetik, sehingga TM ini berperilaku persis seperti NDA dua arah (penerimaan hanya dengan keluar dari input di sebelah kanan ke keadaan eccpting). Kemudian kita bisa mengandalkan pada kesetaraan pengetahuan antara 2-NDA dan FSA (lihat misalnya Hopcroft + Ullman 1979, halaman 40) untuk mendapatkan bukti bahwa bahasa itu teratur.

QED

Bergerak ke kiri atau ke kanan bukan masalah, karena automata terbatas dua arah mengenali ketepatan bahasa biasa (ini tidak jelas). Namun jika TM Anda dapat menulis di luar bagian dari kata input, saya pikir Anda dapat menggunakan bagian dari rekaman ini untuk mengenali dalam bahasa biasa. Mungkin saya tidak mengerti pertanyaannya.