Menemukan anagram yang menarik

31

Katakan bahwa dan adalah dua string dengan panjang yang sama. Sebuah anagramming dari dua string adalah pemetaan bijektif sehingga untuk setiap . $a_1a_2\ldots a_n$ $b_1b_2\ldots b_n$ $p:[1\ldots n]\to[1\ldots n]$ $a_i = b_{p(i)}$ $i$

Mungkin ada lebih dari satu anagram untuk pasangan string yang sama. Misalnya, jika `abcab` dan kami memiliki dan , antara lain. $a=$ $b=$ cabab $p_1[1,2,3,4,5]\to[4,5,1,2,3]$ $p_2[1,2,3,4,5] \to [2,5,1,4,3]$

Kita akan mengatakan bahwa bobot dari anagram adalah jumlah potongan yang harus dibuat dalam string pertama untuk mendapatkan potongan yang dapat disusun ulang untuk mendapatkan string kedua. Secara formal, ini jumlah nilai yang . Artinya, itu adalah jumlah titik di mana tidak tidak meningkat persis 1.Untuk contoh, dan , karena pemotongan sekali, ke dalam potongan dan , dan pemotongan empat kali, menjadi lima bongkahan. $w(p)$ $p$ $i\in[1\ldots n-1]$ $p(i)+1\ne p(i+1)$ $p$ $w(p_1) = 1$ $w(p_2) = 4$ $p_1$ 1234512345 $p_2$ 12345

Misalkan ada anagram untuk dua string dan . Maka setidaknya satu anagram harus memiliki bobot paling sedikit. Katakanlah ini yang paling ringan . (Mungkin ada beberapa anagram yang paling ringan; saya tidak peduli karena saya hanya tertarik pada bobotnya.) $a$ $b$

Pertanyaan

Saya menginginkan algoritma yang, mengingat dua string yang ada anagram, efisien menghasilkan berat yang tepat dari anagram yang paling ringan dari dua string. Tidak apa-apa jika algoritme juga menghasilkan anagram paling ringan, tetapi tidak perlu.

Ini adalah masalah yang cukup sederhana untuk menghasilkan semua anagram dan menimbangnya, tetapi mungkin ada banyak, jadi saya lebih suka metode yang menemukan anagram cahaya secara langsung.

Motivasi

Alasan masalah ini menarik adalah sebagai berikut. Sangat mudah untuk membuat komputer mencari kamus dan menemukan anagram, pasangan kata yang berisi huruf yang persis sama. Tetapi banyak dari anagram yang dihasilkan tidak menarik. Misalnya, contoh terpanjang yang dapat ditemukan dalam Kamus Internasional Kedua Webster adalah:

cholecystoduodenostomy
duodenocholecystostomy

Masalahnya harus jelas: ini tidak menarik karena mereka mengakui anagramming sangat ringan yang hanya pertukaran tersebut cholecysto, duedenodan stomybagian, untuk berat 2. Di sisi lain, contoh yang lebih pendek ini jauh lebih mengejutkan dan menarik:

penampang garis pantai

Di sini anagram yang paling ringan memiliki bobot 8.

Saya memiliki program yang menggunakan metode ini untuk menemukan anagram yang menarik, yaitu yang memiliki semua anagram berat. Tetapi ia melakukan ini dengan menghasilkan dan menimbang semua kemungkinan anagram, yang lambat.

— Mark Dominus
sumber

Hanya karena penasaran, bagaimana Anda menemukan pasangan anagram? Apakah Anda melakukan pencarian brute-force dalam semua kata dengan panjang yang sama?

O (n^{2})

$\mathcal O(n^2)$

— Pedro

4

Tidak, tentu saja tidak. Anda mengonversi setiap kata menjadi bentuk kanonik yang memiliki huruf yang sama dalam urutan abjad. (Misalnya, bentuk kanonik cholecystoduodenostomyis ccddeehlmnooooossttuyy.) Dua kata adalah anagram jika dan hanya jika mereka memiliki bentuk kanonik yang sama. Anda menyimpan kata-kata dalam tabel hash, dikunci oleh bentuk kanonik mereka, dan setiap kali Anda menemukan tabrakan, Anda memiliki anagram.

— Mark Dominus

Sekarang saya memiliki sejumlah besar informasi terkait atau kurang lebih tentang ini di blog saya: (α) (β) (γ) (δ)

— Mark Dominus

21

Masalah ini dikenal sebagai "masalah partisi string umum minimum." (Lebih tepatnya, jawaban dalam masalah partisi string umum minimum sama dengan jawaban dalam masalah Anda ditambah 1.) Sayangnya, ini adalah NP-hard, bahkan dengan batasan yang setiap huruf muncul paling banyak dua kali di setiap string input, seperti yang dibuktikan oleh Goldstein, Kilman, dan Zheng [GKZ05]. Ini berarti bahwa tidak ada algoritma waktu polinomial yang ada kecuali P = NP. (Tentu saja, jika setiap huruf muncul paling banyak satu kali, maka masalahnya sepele karena hanya ada satu anagram.)

Di sisi positif, penulis yang sama [GKZ05] memberikan algoritma perkiraan polinomial waktu 1,1037 di bawah batasan yang sama. ("Algoritma aproksimasi 1.1037- " berarti suatu algoritma yang tidak dapat menampilkan jawaban yang benar A tetapi dijamin menghasilkan nilai B sehingga A ≤ B ≤ 1,1037 A. ) Mereka juga memberikan algoritma aproksimasi 4 waktu linier di bawah pembatasan yang lebih lemah bahwa setiap huruf muncul paling banyak tiga kali di setiap string input.

[GKZ05] Avraham Goldstein, Petr Kolman, dan Jie Zheng. Masalah partisi string umum minimum: Kekerasan dan perkiraan. Jurnal Elektronik Kombinatorik , 12, artikel R50, 2005. http://www.combinatorics.org/ojs/index.php/eljc/article/view/v12i1r50

— Tsuyoshi Ito
sumber

Saya telah mengirim tindak lanjut .

— Mark Dominus

9

Ini adalah kelanjutan dari jawaban Tsuyoshi Ito di atas , merangkum bagian paling relevan dari makalah GKZ05 yang dikutipnya.

Makalah ini membuktikan pengurangan masalah Maximal Independent Set ( MIS ). Buatlah grafik yang simpul adalah pasangan sehingga dan . Hubungkan simpul dan (di mana ) dengan tepi setiap kali tidak mungkin bahwa anagram dapat memetakan semua $G$ $(i, j)$ $a_i = b_j$ $a_{i+1} = b_{j+1}$ $(i, j)$ $(k, \ell)$ $i≤k$ dan dan dan . Ini mudah dideteksi; pemetaan seperti itu tidak mungkin terjadi jika salah satu dari yang berikut ini berlaku: $i\mapsto j$ $i+1\mapsto j+1$ $k\mapsto\ell$ $k+1\mapsto\ell+1$

dan $i=k$ $j\ne\ell$
dan $i+1=k$ $j+1\ne\ell$
dan terpisah dari $i+1<k$ $\{j, j+1\}$ $\{\ell, \ell+1\}$

Mengatakan grafik yang dihasilkan memiliki seperangkat independen maksimal ukuran . Maka berat anagram minimum adalah , di mana adalah panjang string dan . (Kebalikannya berlaku juga: anagram berat rendah diterjemahkan langsung ke MIS besar untuk Untuk detailnya, lihat hal. 4–5 dari makalah.) $G$ $s$ $n-s-1$ $n$ $a$ $b$ $G$

yttrioustouristyouriououriri $s=2$ y|t|t|ri|ou|st|ou|ri|s|t|y

Di sisi lain, pertimbangkan deraterdan treader. Kali ini grafik memiliki tiga simpul:

DErater + treaDEr
dERater + treadER
deratER + treadER

$s=2$ der|a|t|e|rt|r|e|a|der

— Mark Dominus
sumber

2

Terima kasih atas posting tindak lanjutnya, tetapi ini bukan bukti NP-menyelesaikan masalah Anda. Untuk membuktikan kelengkapan NP dari masalah Anda, Anda harus mengurangi beberapa masalah NP-complete yang diketahui untuk masalah Anda, dan itu adalah Teorema 2.2 dari [GKZ05]. Apa yang Anda sajikan di sini (Lemma 1.1 dari [GKZ05]) adalah pengurangan arah yang berlawanan.

— Tsuyoshi Ito

Ini adalah reformulasi yang bagus. Perubahan sepele yang merupakan penyederhanaan kecil secara konseptual (setidaknya untuk saya): alih-alih menggambar tepi antara pasangan yang tidak kompatibel dan meminta set independen maksimum, kita dapat menggambar tepi antara pasangan yang kompatibel, dan meminta klik maksimum. (Saya merasa lebih mudah untuk berpikir tentang "berapa jumlah maksimum pasangan yang bisa kita pertahankan bersama".)

— ShreevatsaR

2

Itu tidak mencakup algoritma yang tepat yang ada dalam pikiran Anda (yang dijawab oleh Tsuyoshi Ito ), tetapi mencoba untuk mendapatkan masalah mendasar dalam menemukan anagram "menarik" ...

Pikiran pertama saya adalah untuk menggunakan beberapa variasi pada jarak sunting, di mana perubahan atom tertimbang menurut "ketertarikan" mereka daripada bobot "kesulitan" atau "kebingungan" yang biasa. Tentu saja, tampaknya tidak mungkin bahwa Anda dapat secara efisien menyandikan transformasi yang sangat menarik dengan cara ini, karena mereka cenderung non-lokal dan karenanya mengalami masalah MIS lengkap NP, dll.

Jadi, pemikiran kedua adalah membangun keberpihakan huruf-ke-huruf di antara kata-kata (à la machine translation alignment), dan kemudian untuk menilai keberpihakan itu sendiri untuk "ketertarikan" (misalnya, menghitung keberpihakan yang mengambil huruf yang berdekatan dengan non- huruf-huruf yang berdekatan, atau berapa banyak keberpihakan yang dilewati oleh setiap penyelarasan, dll; dan kemudian gabungkan semuanya melalui model loglinear atau semacamnya).

Gagasan ketiga adalah sepenuhnya mengabaikan melihat struktur anagram itu sendiri, dan sebaliknya melihat semantik kata-kata itu. Seringkali yang membuat anagram "menarik" adalah ketidaksesuaian antara makna kata-kata yang terlibat. Jadi cobalah sesuatu seperti menghitung jarak mereka di WordNet, atau yang serupa.

— wren romano
sumber

0

Masalahnya dapat diutarakan dalam hal kelompok permutasi .

Sekarang grup permutasi berisi semua "anagram move", baik primitif (menukar dua huruf) dan gabungan dari urutan gerakan primitif. Tampaknya Anda hanya tertarik pada sebagian dari permutasi yang mungkin. Saya akan mencoba untuk mendefinisikan ini.

Pertama, ingatkan notasi untuk permutasi, yaitu, yang disebut notasi siklus :

$()$
$(1)$
$(12)$
$(123)$
dan jadi satu

'Siklus' sederhana ini disusun untuk menggambarkan permutasi yang lebih kompleks.

$n$

$(12)$
$(a\ b)(a+1\ b+1)$ $a>0$ $b<a+1$ $b+1\le n$
...
$(a\ b)(a+1\ b+1)\cdots(a+i-1\ b+i-1)$ $a>0$ $a+i-1\le b$ $b+i-1\le n$

Bergerak ini membentuk dasar untuk algoritma Anda. Yang Anda minati adalah menemukan urutan terkecil dari gerakan ini untuk berpindah dari satu kata ke kata berikutnya.

Saya tidak tahu algoritma apa pun untuk menghitung ini, selain dari pencarian brute force, tapi setidaknya sekarang ada deskripsi yang lebih jelas (saya harap) tentang apa gerakan primitif itu. (Dan mungkin beberapa teori grup di antara kita dapat menunjuk ke algoritma yang sesuai.)

— Dave Clarke
sumber

1

Terima kasih. Mungkin saya pesimis, tetapi bagi saya tampaknya pendekatan ini akan sulit. Saya tidak berpikir pendekatan teori-kelompok akan menghasilkan buah kecuali kita pertama-tama mengetahui kelompok permutasi apa yang menarik, dan itu bervariasi tergantung pada string input. Saya pikir representasi yang efisien dari kelompok hingga adalah masalah yang sangat dalam dan kaya. Tapi saya ingin salah.

— Mark Dominus

1

“Yang Anda minati adalah menemukan urutan terkecil dari gerakan ini untuk berpindah dari satu kata ke kata berikutnya.” Saya tidak berpikir ini benar. Misalnya, jika n = 4, swap (1 2) memiliki bobot 2, tetapi swap (2 3) memiliki bobot 3. Cara Anda menghitung tidak membedakan keduanya.

— Tsuyoshi Ito

Saya menjawab larut malam. Saya tidak mengerti ukuran berat badan dengan benar. Sebenarnya, saya tidak mengerti sekarang. Saya pikir Anda ingin membiarkan gerakan balok surat, itulah sebabnya saya bersusah payah mendefinisikan primitif ini. Jawaban saya mungkin memberikan inspirasi, jadi saya akan meninggalkannya, meskipun itu salah.

— Dave Clarke

0

Untuk cholecystoduodenostomy / duodenocholecystostome, saya perhatikan bahwa jika Anda menetapkan angka untuk setiap karakter yang menggambarkan berapa banyak itu dipindahkan sebagai delta, Anda akan memiliki beberapa hal seperti 7 7, lalu 8 -7, lalu 6 0. Itu tidak benar karena beberapa karakter mungkin telah diulang (yang kedua c hanya bergerak maju 2, tidak mundur 7) dll tetapi masih sangat "run length encodable" karena Anda melihat delta yang sama secara berurutan.

Bandingkan dengan garis pantai / bagian, di mana Anda melihat sesuatu seperti (+2) (+5) (+5) (- 3) (- 1) (+ 3) .... apalagi "run length encodable".

Mungkin keacakan dari delta bisa memberi Anda "skor" seberapa menarik anagram itu?

— Dan Gelder
sumber